В математике теорема Блумберга утверждает, что для любой действительной функции существует плотное подмножество такое , что ограничение на является непрерывным . Она названа в честь ее первооткрывателя, российско-американского математика Генри Блумберга.
Например, ограничение функции Дирихле ( индикаторной функции рациональных чисел ) на является непрерывным, хотя функция Дирихле нигде не является непрерывной в
В более общем смысле пространство Блумберга — это топологическое пространство , для которого любая функция допускает непрерывное ограничение на плотное подмножество . Таким образом, теорема Блумберга утверждает, что (оснащенное своей обычной топологией) является пространством Блумберга.
Если является метрическим пространством , то является пространством Блюмберга тогда и только тогда, когда оно является пространством Бэра . [1] Проблема Блюмберга заключается в определении того, должно ли компактное хаусдорфово пространство быть пространством Блюмберга. Контрпример был дан в 1974 году Ронни Леви, обусловленным гипотезой Лузина , что [2] Проблема была решена в 1975 году Уильямом А. Р. Вайсом, который дал безусловный контрпример. Он был построен путем взятия несвязного объединения двух компактных хаусдорфовых пространств, одно из которых, как можно было бы доказать, не является пространством Блюмберга, если гипотеза континуума верна, а другое — если она ложна. [3]
Ограничение любой непрерывной функции на любое подмножество ее области определения (плотной или иной) всегда непрерывно, поэтому заключение теоремы Блумберга интересно только для функций, которые не являются непрерывными. Если задана функция, которая не является непрерывной, обычно неудивительно обнаружить, что ее ограничение на некоторое подмножество снова не является непрерывным, [примечание 1] , и поэтому только те ограничения, которые непрерывны, (потенциально) интересны. Однако не все такие ограничения интересны. Например, ограничение любой функции (даже такой интересной, как функция Дирихле ) на любое подмножество, на котором она постоянна, будет непрерывным, хотя этот факт так же неинтересен, как и постоянные функции. Аналогично неинтересно ограничение любой функции (непрерывной или нет) на одну точку или на любое конечное подмножество (или, в более общем смысле, на любое дискретное подпространство , такое как целые числа ) будет непрерывным.
Один случай, который значительно интереснее, — это случай ненепрерывной функции , ограничение которой на некоторое плотное подмножество (ее области определения) является непрерывным. Важным фактом о непрерывных -значных функциях, определенных на плотных подмножествах, является то, что непрерывное расширение на все из , если оно существует, будет уникальным (существуют непрерывные функции, определенные на плотных подмножествах , такие как , которые не могут быть непрерывно расширены на все из ).
Например, функция Тома не является непрерывной (на самом деле она разрывна при каждом рациональном числе), хотя ее ограничение на плотное подмножество иррациональных чисел непрерывно. Аналогично, каждая аддитивная функция , которая не является линейной (то есть не имеет вида для некоторой константы ), является нигде не непрерывной функцией , ограничение на которой непрерывно (такие функции являются нетривиальными решениями функционального уравнения Коши ). Это поднимает вопрос: всегда ли можно найти такое плотное подмножество? Теорема Блумберга отвечает на этот вопрос утвердительно. Другими словами, каждая функция − независимо от того, насколько плохо она себя ведет − может быть ограничена некоторым плотным подмножеством, на котором она непрерывна. Говоря иначе, теорема Блумберга показывает, что не существует функции , которая ведет себя настолько плохо (относительно непрерывности), что все ее ограничения на все возможные плотные подмножества разрывны.
Вывод теоремы становится интереснее, когда функция становится более патологической или плохо себя ведет. Представьте себе, например, определение функции путем выбора каждого значения совершенно случайным образом (так что ее график будет выглядеть как бесконечное множество точек, разбросанных случайным образом по плоскости ); как бы вы в итоге это ни представляли, теорема Блумберга гарантирует, что даже эта функция имеет некоторое плотное подмножество, на котором ее ограничение непрерывно.
