Набор Бореля

В математике борелевское множество — это любое множество в топологическом пространстве , которое может быть сформировано из открытых множеств (или, что то же самое, из закрытых множеств ) посредством операций счетного объединения , счетного пересечения и относительного дополнения . Множества Бореля названы в честь Эмиля Бореля .

Для топологического пространства X совокупность всех борелевских множеств на X образует σ-алгебру , известную как борелевская алгебра или борелевская σ-алгебра . Алгебра Бореля на X — это наименьшая σ-алгебра, содержащая все открытые множества (или, что то же самое, все замкнутые множества).

Борелевские множества важны в теории меры , поскольку любая мера, определенная на открытых множествах пространства или на замкнутых множествах пространства, должна также быть определена на всех борелевских множествах этого пространства. Любая мера, определенная на борелевских множествах, называется борелевской мерой . Борелевские множества и связанная с ними борелевская иерархия также играют фундаментальную роль в дескриптивной теории множеств .

В некоторых контекстах борелевские множества определяются как порожденные компактами топологического пространства, а не открытыми множествами. Эти два определения эквивалентны для многих пространств с хорошим поведением , включая все хаусдорфовые σ-компактные пространства , но могут отличаться в более патологических пространствах.

Генерация борелевской алгебры

В случае, когда X — метрическое пространство , алгебра Бореля в первом смысле может быть описана генеративно следующим образом.

Для набора T подмножеств X (то есть для любого подмножества набора степеней P( X ) из X ) пусть

$T_{\sigma }$ — все счетные объединения элементов из T
$T_{\delta }$ — все счетные пересечения элементов T
$T_{\delta \sigma }=(T_{\delta })_{\sigma }.$

Теперь определим трансфинитной индукцией последовательность Gm , где m ^— порядковый номер , следующим образом:

В качестве базового случая определения пусть будет совокупность открытых подмножеств X . $G^{0}$
Если я не является предельным ординалом , то у меня есть непосредственно предшествующий ординал i - 1. Пусть $G^{i}=[G^{i-1}]_{\delta \sigma }.$
Если я являюсь предельным порядковым номером, установите $G^{i}=\bigcup _{j<i}G^{j}.$

Утверждается, что борелевская алгебра — это Gω ^₁ , где ω ₁ — первое несчетное порядковое ^число . То есть борелевскую алгебру можно сгенерировать из класса открытых множеств повторением операции

G\mapsto G_{\delta \sigma }.

Чтобы доказать это утверждение, любое открытое множество в метрическом пространстве представляет собой объединение возрастающей последовательности замкнутых множеств. В частности, дополнение множеств отображает Gm в себя для любого предельного порядкового номера ^m ; более того, если m — несчетный предельный ординал, то Gm ^{замкнуто} относительно счетных объединений.

Для каждого борелевского множества B существует некоторый счетный ординал α _B такой, что B можно получить, повторяя операцию над α _B . Однако, поскольку B изменяется по всем борелевским наборам, α _B будет меняться по всем счетным ординалам, и, таким образом, первый порядковый номер, при котором получены все борелевские множества, равен ω ₁ , первый несчетный порядковый номер.

Полученная последовательность множеств называется иерархией Бореля .

Пример

Важным примером, особенно в теории вероятностей , является алгебра Бореля на множестве действительных чисел . Это алгебра, на которой определена мера Бореля . Учитывая действительную случайную величину , определенную в вероятностном пространстве , ее распределение вероятностей по определению также является мерой алгебры Бореля.

Алгебра Бореля на действительных числах — это наименьшая σ-алгебра на R , содержащая все интервалы .

При построении методом трансфинитной индукции можно показать, что на каждом шаге количество множеств не превышает мощности континуума . Итак, общее количество борелевских множеств меньше или равно

\aleph _{1}\cdot 2^{\aleph _{0}}\,=2^{\aleph _{0}}.

Фактически мощность совокупности борелевских множеств равна мощности континуума (сравните с числом существующих измеримых по Лебегу множеств, которое строго больше и равно ). $2^{2^{\aleph _{0}}}$

Стандартные борелевские пространства и теоремы Куратовского

Пусть X — топологическое пространство. Борелевское пространство , ассоциированное с X , — это пара ( X , B ), где B — σ-алгебра борелевских множеств X.

Джордж Макки определил борелевское пространство несколько иначе, написав, что оно представляет собой «множество вместе с выделенным σ-полем подмножеств, называемых его борелевскими множествами». ^[1] Однако в современном использовании выделенную подалгебру называют измеримыми множествами , а такие пространства - измеримыми пространствами . Причина этого различия в том, что борелевские множества представляют собой σ-алгебры, порожденные открытыми множествами (топологического пространства), тогда как определение Макки относится к множеству, снабженному произвольной σ -алгеброй. Существуют измеримые пространства, не являющиеся борелевскими пространствами, для любого выбора топологии базового пространства. ^[2]

Измеримые пространства образуют категорию , в которой морфизмы являются измеримыми функциями между измеримыми пространствами. Функция измерима, если она извлекает измеримые множества, т. е. для всех измеримых множеств B в Y это множество измеримо в X. $f:X\rightarrow Y$ $f^{-1}(B)$

Теорема . Пусть X — польское пространство , то есть такое топологическое пространство, что существует метрика d на X , которая определяет топологию X и делает X полным сепарабельным метрическим пространством. Тогда X как борелевское пространство изоморфно одному из

Р ,
З ,
конечное пространство.

(Этот результат напоминает теорему Махарама .)

Если рассматривать борелевские пространства, вещественная прямая R , объединение R со счетным множеством и Rn ^{изоморфны} .

Стандартное борелевское пространство — это борелевское пространство, связанное с польским пространством . Стандартное борелевское пространство характеризуется с точностью до изоморфизма своей мощностью ^[3] , а любое несчетное стандартное борелевское пространство имеет мощность континуума.

Для подмножеств польских пространств борелевские множества можно охарактеризовать как множества, которые представляют собой области непрерывных инъективных отображений, определенных в польских пространствах. Однако обратите внимание, что образ непрерывного неинъективного отображения может не быть борелевским. См. аналитический набор .

Каждая вероятностная мера в стандартном борелевском пространстве превращает его в стандартное вероятностное пространство .

Неборелевские множества

Ниже описан пример подмножества действительных чисел, которое не является борелевским, согласно Лусину [ ^{4] .}Напротив, пример неизмеримого множества невозможно привести, хотя его существование можно доказать.

Каждое иррациональное число имеет уникальное представление бесконечной цепной дроби.

x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}

где – некоторое целое число , а все остальные числа – целые положительные числа. Пусть – множество всех иррациональных чисел, соответствующих последовательностям со следующим свойством: существует бесконечная подпоследовательность такая, что каждый элемент является делителем следующего элемента. Этот набор не Борель. Фактически оно аналитично и полно в классе аналитических множеств. Более подробную информацию см. в дескриптивной теории множеств и книге Кехриса , особенно в упражнении (27.2) на стр. 209, определении (22.9) на стр. 169 и упражнении (3.4)(ii) на стр. 14. $a_{0}$ $a_{k}$ $A$ $(a_{0},a_{1},\dots )$ $(a_{k_{0}},a_{k_{1}},\dots )$ $A$

Важно отметить, что, хотя ZF достаточно, чтобы формализовать конструкцию , невозможно доказать, что она является неборелевской только в ZF. Фактически, это согласуется с ZF, который представляет собой счетное объединение счетных множеств ^[5] , так что любое его подмножество является борелевским множеством. $A$ $A$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Другое неборелевское множество является обратным образом бесконечной функции четности . Однако это доказательство существования (через аксиому выбора), а не явный пример. $f^{-1}[0]$ $f\colon \{0,1\}^{\omega }\to \{0,1\}$

Альтернативные неэквивалентные определения

Согласно Паулю Халмошу [ ^6] подмножество локально компактного топологического хаусдорфова пространства называется борелевским множеством, если оно принадлежит наименьшему σ-кольцу , содержащему все компактные множества.

Норберг и Верваат ^[7] переопределяют борелевскую алгебру топологического пространства как -алгебру, порожденную своими открытыми подмножествами и компактными насыщенными подмножествами . Это определение хорошо подходит для приложений в случае, когда не Хаусдорф. Оно совпадает с обычным определением, если оно счетно во вторую очередь или если каждое компактное насыщенное подмножество замкнуто (что, в частности, имеет место, если оно является хаусдорфовым). $X$ $\sigma$ $X$ $X$ $X$

Смотрите также

Иерархия Бореля
Борелевский изоморфизм
Комплект Байре
Цилиндрическая σ-алгебра
Описательная теория множеств - раздел математической логики
Польское пространство – концепция в топологии

Примечания

^ Макки, GW (1966), «Эргодическая теория и виртуальные группы», Math. Анна. , 166 (3): 187–207, doi : 10.1007/BF01361167, ISSN 0025-5831, S2CID 119738592.
^ Йохен Венгенрот, Является ли каждая сигма-алгебра борелевской алгеброй топологии?
^ Шривастава, С.М. (1991), Курс борелевских множеств , Springer Verlag , ISBN 978-0-387-98412-4
^ Лусин, Николя (1927), «Sur les ансамбли Analytiques», Fundamenta Mathematicae (на французском языке), 10 : Sect. 62, страницы 76–78, doi : 10.4064/fm-10-1-1-95
^ Джех, Томас (2008). Аксиома выбора . Курьерская корпорация. п. 142.
^ (Халмос 1950, стр. 219)
^ Томми Норберг и Вим Верваат, Емкости в нехаусдорфовых пространствах, в: Вероятность и решетки , в: CWI Tract, vol. 110, Матем. Центрум Центрум Виск. Информ., Амстердам, 1997, стр. 133-150.

Внешние ссылки

«Борелевское множество», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Формальное определение борелевских множеств в системе Мицар и список теорем, заархивированных 1 июня 2020 г. в Wayback Machine , которые были формально доказаны в этом отношении.
Вайсштейн, Эрик В. «Борелевский набор». Математический мир .