Рауль Ботт (24 сентября 1923 – 20 декабря 2005) [1] был венгерско-американским математиком, известным многочисленными фундаментальными вкладами в геометрию в ее широком смысле. Он наиболее известен своей теоремой о периодичности Ботта , функциями Морса-Ботта , которые он использовал в этом контексте, и теоремой Бореля-Ботта-Вейля .
Ботт родился в Будапеште , Венгрия , в семье Маргит Ковач и Рудольфа Ботта. [2] Его отец имел австрийское происхождение, а мать была венгерского еврейского происхождения; Мать и отчим воспитали Ботта в католической семье. [3] [4] Ботт вырос в Чехословакии и провел свою трудовую жизнь в Соединенных Штатах . Его семья эмигрировала в Канаду в 1938 году, и впоследствии он служил в канадской армии в Европе во время Второй мировой войны .
Позже Ботт поступил в колледж Университета Макгилла в Монреале , где изучал электротехнику . Затем он получил докторскую степень по математике в Университете Карнеги-Меллона в Питтсбурге в 1949 году. Его диссертация под названием «Теория электрических сетей » была написана под руководством Ричарда Даффина . После этого он начал преподавать в Мичиганском университете в Анн-Арборе . Ботт продолжил обучение в Институте перспективных исследований в Принстоне. [5] Он был профессором Гарвардского университета с 1959 по 1999 год. В 2005 году Ботт умер от рака в Сан-Диего .
Вместе с Ричардом Даффином из Карнеги-Меллона Ботт изучал существование электронных фильтров , соответствующих заданным положительно-действительным функциям . В 1949 году они доказали [6] фундаментальную теорему синтеза фильтров . Даффин и Ботт расширили более раннюю работу Отто Брюна о том, что необходимые функции комплексной частоты могут быть реализованы с помощью пассивной сети катушек индуктивности и конденсаторов . Доказательство опиралось на индукцию по сумме степеней многочленов в числителе и знаменателе рациональной функции. [7] В своем интервью 2000 года [8] с Аллином Джексоном из Американского математического общества он объяснил, что рассматривает «сети как дискретные версии гармонической теории», поэтому его опыт сетевого синтеза и топологии электронных фильтров познакомил его с алгебраической топологией .
Ботт познакомился с Арнольдом С. Шапиро в IAS, и они работали вместе. Он изучал гомотопическую теорию групп Ли , используя методы теории Морса , что привело к теореме периодичности Ботта (1957). В ходе этой работы он ввел функции Морса–Ботта — важное обобщение функций Морса .
Это привело к тому, что он на протяжении многих лет сотрудничал с Майклом Атьей , первоначально через роль, которую играет периодичность в К-теории . Ботт внес важный вклад в развитие теоремы об индексе , особенно в формулировке связанных теорем о неподвижной точке , в частности, так называемой « теоремы Вудса Хоула о неподвижной точке », комбинации теоремы Римана-Роха и теоремы Лефшеца о неподвижной точке (это назван в честь Вудс-Хоул, штат Массачусетс , места конференции, на которой коллективное обсуждение сформулировало его). [9] [ нужна цитация ] Основные статьи Атьи-Ботта о том, что сейчас называется теоремой Атьи-Ботта о неподвижной точке, были написаны в период до 1968 года; они сотрудничали далее в восстановлении на современном языке Ивана Петровского о лакунах Петровского гиперболических уравнений в частных производных , по инициативе Ларса Гординга . В 1980-х годах Атья и Ботт исследовали калибровочную теорию , используя уравнения Янга–Миллса на римановой поверхности , чтобы получить топологическую информацию о пространствах модулей стабильных расслоений на римановых поверхностях. В 1983 году он выступил перед Канадским математическим обществом с докладом, который назвал «Тополог восхищается физикой». [10]
Он также хорошо известен в связи с теоремой Бореля–Ботта–Вейля о теории представлений групп Ли через голоморфные пучки и их группы когомологий; и для работы над слоениями . Вместе с Черном он работал над теорией Неванлинны , изучал голоморфные векторные расслоения над комплексными аналитическими многообразиями и ввел классы Ботта-Черна, полезные в теории геометрии Аракелова , а также в теории алгебраических чисел .
Он ввел многообразия Ботта – Самельсона , формулу вычета Ботта для комплексных многообразий и каннибалистический класс Ботта .
В 1964 году Американское математическое общество присудило ему премию Освальда Веблена по геометрии . В 1983 году Канадское математическое общество присудило ему премию Джеффри-Уильямса . В 1987 году он был награжден Национальной медалью науки . [11]
В 2000 году он получил премию Вольфа . В 2005 году он был избран зарубежным членом Лондонского королевского общества .
У Ботта было 35 аспирантов, в том числе Стивен Смейл , Лоуренс Конлон, Дэниел Куиллен , Питер Ландвебер , Роберт Макферсон , Роберт В. Брукс , Робин Форман, Рама Кочерлакота, Сьюзен Толман , Андраш Сенеш, Кевин Корлетт [12] и Эрик Вайнштейн . [13] [14] [15] Смейл и Куиллен выиграли медали Филдса в 1966 и 1978 годах соответственно.
Рауль Ботт Маргит Ковач.