В алгебраической топологии теорема о клеточной аппроксимации утверждает, что отображение между CW-комплексами всегда можно считать определенного типа. Конкретно, если X и Y являются CW-комплексами, а f : X → Y является непрерывным отображением, то f называется клеточным , если f переводит n -остов X в n -остов Y для всех n , т.е. если для всех n . Содержание теоремы о клеточной аппроксимации заключается в том, что любое непрерывное отображение f : X → Y между CW-комплексами X и Y гомотопно клеточному отображению , и если f уже является клеточным на подкомплексе A комплекса X , то мы можем , кроме того, выбрать гомотопию, которая будет стационарной на A . С алгебраической топологической точки зрения любое отображение между CW-комплексами можно, таким образом, считать клеточным.
Доказательство можно дать индукцией после n , с утверждением, что f является клеточным на скелете X n . Для базового случая n=0 обратите внимание, что каждый компонент пути Y должен содержать 0-ячейку. Таким образом, изображение под f 0-ячейки X может быть соединено с 0 - ячейкой Y путем, но это дает гомотопию из f в карту, которая является клеточной на 0-скелете X.
Предположим индуктивно, что f является клеточным на ( n − 1)-скелете X , и пусть e n будет n -клеткой X. Замыкание e n компактно в X , будучи образом характеристического отображения клетки, и, следовательно, образ замыкания e n при f также компактен в Y . Тогда общим результатом CW-комплексов является то, что любое компактное подпространство CW-комплекса пересекается (то есть нетривиально ) только с конечным числом клеток комплекса. Таким образом, f ( e n ) пересекается не более чем с конечным числом клеток Y , поэтому мы можем взять клетку наивысшей размерности, пересекающуюся с f ( e n ). Если , то отображение f уже является клеточным на e n , поскольку в этом случае только клетки n -скелета Y пересекаются с f ( e n ), поэтому мы можем предположить, что k > n . Тогда это технический, нетривиальный результат (см. Хэтчер), что ограничение f на может быть гомотопировано относительно X n -1 к отображению, пропускающему точку p ∈ e k . Поскольку деформация Y k − { p } втягивается в подпространство Y k - e k , мы можем далее гомотопировать ограничение f на отображению, скажем, g , со свойством, что g ( e n ) пропускает ячейку e k из Y , все еще относительно X n-1 . Поскольку f ( e n ) встречалась только с конечным числом ячеек Y изначально, мы можем повторить этот процесс конечное число раз, чтобы пропустить все ячейки Y размерности больше n .
Мы повторяем этот процесс для каждой n -клетки X , фиксируя клетки подкомплекса A , на котором f уже является клеточным, и таким образом получаем гомотопию (относительно ( n − 1)-скелета X и n -клеток A ) ограничения f на X n до отображения, клеточного на всех клетках X размерности не более n . Затем, используя свойство расширения гомотопии для расширения этого до гомотопии на все X , и соединяя эти гомотопии вместе, мы завершим доказательство. За подробностями обратитесь к Хэтчеру.
Теорема клеточной аппроксимации может быть использована для немедленного вычисления некоторых гомотопических групп . В частности, если то Дайте и их каноническую CW-структуру, с одной 0-ячейкой каждая, и с одной n -ячейкой для и одной k -ячейкой для Любое сохраняющее базовую точку отображение тогда гомотопно отображению, образ которого лежит в n -скелете которого состоит только из базовой точки. То есть, любое такое отображение является нульгомотопным.
Пусть f : (X,A) → (Y,B) будет отображением CW-пар , то есть f является отображением из X в Y , а образ под f находится внутри B . Тогда f гомотопно клеточному отображению (X,A) → (Y,B) . Чтобы увидеть это, ограничим f до A и используем клеточное приближение для получения гомотопии f к клеточному отображению на A . Используйте свойство расширения гомотопии, чтобы расширить эту гомотопию на все X , и снова примените клеточное приближение для получения отображения, клеточного на X , но без нарушения свойства клеточности на A .
Как следствие, мы имеем, что CW-пара (X,A) является n-связной , если все клетки имеют размерность строго больше n : Если , то любое отображение → (X,A) гомотопно клеточному отображению пар, и поскольку n -скелет X находится внутри A , любое такое отображение гомотопно отображению, образ которого находится в A , и, следовательно, оно равно 0 в относительной гомотопической группе .
В частности, мы имеем, что является n -связным, поэтому из длинной точной последовательности гомотопических групп для пары следует , что у нас есть изоморфизмы → для всех и сюръекция → .
Для каждого пространства X можно построить CW-комплекс Z и слабую гомотопическую эквивалентность , которая называется CW-аппроксимацией для X. CW-аппроксимация, будучи слабой гомотопической эквивалентностью, индуцирует изоморфизмы на группах гомологии и когомологии X. Таким образом, часто можно использовать CW-аппроксимацию, чтобы свести общее утверждение к более простой версии, которая касается только CW-комплексов.
CW-приближение строится индукцией по скелетам , так что отображения изоморфны для и являются на для (для любой базовой точки). Затем строится из путем присоединения (i+1)-ячеек, которые (для всех базовых точек)
Клеточное приближение гарантирует, что добавление (i+1)-клеток не влияет на , в то время как факторизуется по классам отображений прикрепления этих клеток, давая . Сюръективность очевидна из второго шага построения.
