Теорема о вычетах

Концепция комплексного анализа

В комплексном анализе теорема о вычетах , иногда называемая теоремой о вычетах Коши , является мощным инструментом для вычисления линейных интегралов аналитических функций по замкнутым кривым; его часто можно использовать для вычисления действительных интегралов и бесконечных рядов . Он обобщает интегральную теорему Коши и интегральную формулу Коши . Теорему о вычетах не следует путать со специальными случаями обобщенной теоремы Стокса ; однако последнее можно использовать как составную часть доказательства.

Формулировка теоремы Коши о вычетах

Заявление заключается в следующем:

Иллюстрация обстановки

Пусть – односвязное открытое подмножество комплексной плоскости , содержащее конечный список точек и голоморфную на функции .​​​​​​​​​ равен умноженной на сумму остатков, каждая из которых учитывается столько раз, сколько раз обходит соответствующую точку: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},}$ ${\displaystyle U_{0}=U\smallsetminus \{a_{1},\ldots ,a_{n}\},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U_{0}.}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle U_{0},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a_{k})}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,a_{k}),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 2\pi i}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}$$

Если — положительно ориентированная простая замкнутая кривая , то это если находится внутри, а если нет, то ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,a_{k})}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})}$$

с суммой по тем, что внутри ^[1] ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle \gamma .}$

Связь теоремы о вычетах с теоремой Стокса определяется теоремой Жордана о кривой . Общая плоская кривая γ должна сначала быть сведена к набору простых замкнутых кривых, общая сумма которых эквивалентна для целей интегрирования; это сводит задачу к нахождению интеграла по жордановой кривой с внутренней частью. Требование голоморфности на эквивалентно утверждению, что внешняя производная на. Таким образом, если две плоские области и заключают в себе одно и то же подмножество областей и целиком лежат в ней, ${\displaystyle \{\gamma _{i}\}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f\,dz}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U_{0}=U\smallsetminus \{a_{k}\}}$ ${\displaystyle d(f\,dz)=0}$ ${\displaystyle U_{0}.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{a_{j}\}}$ ${\displaystyle \{a_{k}\},}$ ${\displaystyle V\smallsetminus W}$ ${\displaystyle W\smallsetminus V}$ ${\displaystyle U_{0},}$

$${\displaystyle \int _{V\smallsetminus W}d(f\,dz)-\int _{W\smallsetminus V}d(f\,dz)}$$

корректно определен и равен нулю. Следовательно, контурный интеграл вдоль равен сумме множества интегралов по путям, каждый из которых охватывает сколь угодно малую область вокруг одного — остатков (с точностью до обычного множителя при суммировании восстанавливаем окончательное выражение контурного интеграла по количеству намоток ${\displaystyle f\,dz}$ ${\displaystyle \gamma _{j}=\partial V}$ ${\displaystyle \gamma _{j},}$ ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 2\pi i}$ ${\displaystyle \{a_{j}\}.}$ ${\displaystyle \{\gamma _{j}\},}$ ${\displaystyle \{\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\}.}$

Для вычисления действительных интегралов теорема о вычетах используется следующим образом: подынтегральное выражение расширяется на комплексную плоскость и вычисляются его вычеты (что обычно несложно), а часть вещественной оси расширяется до замкнутой кривой. путем прикрепления полукруга в верхней или нижней полуплоскости, образуя полукруг. Интеграл по этой кривой затем можно вычислить с помощью теоремы о вычетах. Часто часть интеграла в форме полукруга будет стремиться к нулю по мере увеличения радиуса полукруга, оставляя только часть интеграла по действительной оси, которая нас изначально интересовала.

Расчет остатков

Предположим, проколотый диск D = { z  : 0 < | г - с | < R } в комплексной плоскости задано, а f — голоморфная функция , определенная (по крайней мере) на D . Остаток Res( f , c ) f в точке c является коэффициентом a ₋₁ числа ( z − c ) ⁻¹ в разложении f в ряд Лорана вокруг c . Существуют различные методы вычисления этой величины, и выбор того, какой метод использовать, зависит от рассматриваемой функции и природы особенности.

По теореме о вычетах имеем:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz}$

где γ очерчивает окружность вокруг c против часовой стрелки и не проходит через нее и не содержит в себе других особенностей. Мы можем выбрать путь γ как круг радиуса ε вокруг c. Поскольку ε может быть настолько малым, насколько мы хотим, его можно заставить содержать только особенность c из-за природы изолированных особенностей. Это можно использовать для расчета в тех случаях, когда интеграл можно вычислить напрямую, но обычно вычеты используются для упрощения расчета интегралов, а не наоборот.

Устранимые особенности

Если функцию f можно продолжить до голоморфной функции на всем диске , то Res( f ,  c ) = 0. Обратное, вообще говоря, неверно. ${\displaystyle |y-c|<R}$

Простые столбы

Если c является простым полюсом f , остаток f определяется как:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$

Если этот предел не существует, то вместо этого f имеет существенную особенность в точке c . Если предел равен 0, то f либо аналитична в точке c , либо имеет там устранимую особенность. Если предел равен бесконечности, то порядок полюса больше 1.

Возможно, функция f может быть выражена как частное двух функций, где g и h — голоморфные функции в окрестности c , причем h ( c ) = 0 и  h( c ) ≠ 0. В таком случае Правило Лопиталя можно использовать для упрощения приведенной выше формулы: ${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned}}}$

Предельная формула для полюсов высшего порядка

В более общем смысле, если c является полюсом порядка n , то остаток f вокруг z = c можно найти по формуле:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-c)^{n}f(z)\right).}$

Эта формула может быть очень полезна при определении вычетов для полюсов низкого порядка. Для полюсов более высокого порядка расчеты могут стать неуправляемыми, и расширение серии обычно проще. Для существенных особенностей такой простой формулы не существует, и вычеты обычно следует брать непосредственно из разложения в ряд.

Остаток на бесконечности

В общем случае остаток на бесконечности определяется как:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\operatorname {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right).}$

Если выполняется следующее условие:

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,}$

тогда остаток на бесконечности можно вычислить по следующей формуле:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z).}$

Если вместо этого

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,}$

тогда остаток на бесконечности равен

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z).}$

Для функций, мероморфных на всей комплексной плоскости с конечным числом особенностей, сумма вычетов в (обязательно) изолированных особенностях плюс вычет на бесконечности равна нулю, что дает:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\sum _{k}\operatorname {Res} (f(z),a_{k}).}$

Методы серии

Если части или всю функцию можно разложить в ряд Тейлора или ряд Лорана , что может быть возможно, если части или вся функция имеет стандартное разложение в ряд, то вычисление остатка существенно проще, чем другими методами. Вычет функции просто задается коэффициентом разложения функции в ряд Лорана . ${\displaystyle (z-c)^{-1}}$

Примеры

Интеграл по вещественной оси

Интеграл $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx}$$

Контур С.​

возникает в теории вероятностей при вычислении характеристической функции распределения Коши . Он не поддается методам элементарного исчисления , но его можно оценить, выразив его как предел контурных интегралов .

Предположим, t > 0, и определим контур C , который идет вдоль вещественной линии от − a до a , а затем против часовой стрелки вдоль полукруга с центром в точке 0 от a до − a . Возьмем a больше 1, чтобы мнимая единица i была заключена в кривую. Теперь рассмотрим контурный интеграл $${\displaystyle \int _{C}{f(z)}\,dz=\int _{C}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz.}$$

Поскольку e ^itz — целая функция (не имеющая особенностей ни в одной точке комплексной плоскости), эта функция имеет особенности только там, где знаменатель z ² + 1 равен нулю. Поскольку z ² + 1 = ( z + i )( z − i ) , это происходит только там, где z = i или z = − i . Только одна из этих точек находится в области, ограниченной этим контуром. Поскольку f ( z ) является остатком f ( z ) в точке z = i ,​ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}&={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{z-i}}-{\frac {1}{z+i}}\right)\\&={\frac {e^{itz}}{2i(z-i)}}-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i)}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=i}f(z)={\frac {e^{-t}}{2i}}.}$$

Тогда согласно теореме о вычетах имеем $${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} \limits _{z=i}f(z)=2\pi i{\frac {e^{-t}}{2i}}=\pi e^{-t}.}$$

Контур C можно разбить на прямую часть и изогнутую дугу, так что и, таким образом, $${\displaystyle \int _{\mathrm {straight} }f(z)\,dz+\int _{\mathrm {arc} }f(z)\,dz=\pi e^{-t}}$$ $${\displaystyle \int _{-a}^{a}f(z)\,dz=\pi e^{-t}-\int _{\mathrm {arc} }f(z)\,dz.}$$

Используя некоторые оценки , мы имеем и $${\displaystyle \left|\int _{\mathrm {arc} }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz\right|\leq \pi a\cdot \sup _{\text{arc}}\left|{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\right|\leq \pi a\cdot \sup _{\text{arc}}{\frac {1}{|z^{2}+1|}}\leq {\frac {\pi a}{a^{2}-1}},}$$ $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }{\frac {\pi a}{a^{2}-1}}=0.}$$

Оценка числителя следует, поскольку t > 0 , а для комплексных чисел z вдоль дуги (которая лежит в верхней полуплоскости) аргумент φ числа z лежит между 0 и π . Так, $${\displaystyle \left|e^{itz}\right|=\left|e^{it|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )}\right|=\left|e^{-t|z|\sin \varphi +it|z|\cos \varphi }\right|=e^{-t|z|\sin \varphi }\leq 1.}$$

Поэтому, $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{-t}.}$$

Если t < 0 , то аналогичный аргумент с дугой C ′ , которая вьется вокруг − i , а не i , показывает, что

Контур C ′ .

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{t},}$$

и наконец у нас есть $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.}$$

(Если t = 0 , то интеграл немедленно поддается элементарному исчислению и его значение равно π .)

Оценка дзета-функций

Тот факт, что π cot( πz ) имеет простые полюса с вычетом 1 в каждом целом числе, можно использовать для вычисления суммы $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n).}$$

Рассмотрим, например, f ( z ) = z ⁻² . Пусть Γ _N — прямоугольник, являющийся границей [− N −1/2, Н +1/2] ² с положительной ориентацией, с целым числом N . По формуле остатка

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\,dz=\operatorname {Res} \limits _{z=0}+\sum _{n=-N \atop n\neq 0}^{N}n^{-2}.}$$

Левая часть стремится к нулю при N → ∞, поскольку она равномерно ограничена на контуре благодаря использованию на левой и правой стороне контура, и поэтому подынтегральная функция имеет порядок по всему контуру. С другой стороны, ^[2] ${\displaystyle |\cot(\pi z)|}$ ${\displaystyle x=\pm \left({\frac {1}{2}}+N\right)}$ ${\displaystyle O(N^{-2})}$

$${\displaystyle {\frac {z}{2}}\cot \left({\frac {z}{2}}\right)=1-B_{2}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots }$$где число Бернулли ${\displaystyle B_{2}={\frac {1}{6}}.}$

(Фактически,я/2кроватка(я/2"="из/1 - е ^{- из}−из/2.) Таким образом, остаток Res _{z =0} равен —π ²/3. Мы заключаем:

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$что является доказательством Базельской проблемы .

Тот же аргумент работает для всех, где – положительное целое число, что дает нам трюк не работает, когда , так как в этом случае остаток в нуле исчезает, и мы получаем бесполезное тождество . ${\displaystyle f(x)=x^{-2n}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}.}$$ ${\displaystyle f(x)=x^{-2n-1}}$ ${\displaystyle 0+\zeta (2n+1)-\zeta (2n+1)=0}$

Оценка серии Эйзенштейна

Тот же прием можно использовать для определения суммы ряда Эйзенштейна : $${\displaystyle \pi \cot(\pi z)=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}(z-n)^{-1}.}$$

Доказательство

Выберите произвольный . Как и выше, определите ${\displaystyle w\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} }$

$${\displaystyle g(z):={\frac {1}{w-z}}\pi \cot(\pi z)}$$

По теореме Коши о вычетах для всех достаточно больших, таких, что окружает , ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Gamma _{N}}$ ${\displaystyle w}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{N}}g(z)dz=-\pi \cot(\pi z)+\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{z-n}}}$$

Осталось доказать, что интеграл сходится к нулю. Так как функция четная и симметрична относительно начала координат, имеем , и поэтому ${\displaystyle \pi \cot(\pi z)/z}$ ${\displaystyle \Gamma _{N}}$ ${\displaystyle \oint _{\Gamma _{N}}\pi \cot(\pi z)/zdz=0}$

$${\displaystyle \oint _{\Gamma _{N}}g(z)dz=\oint _{\Gamma _{N}}\left({\frac {1}{z}}+{\frac {1}{w-z}}\right)\pi \cot(\pi z)dz=-w\oint _{\Gamma _{N}}{\frac {1}{z(z-w)}}\pi \cot(\pi z)dz=O(1/N)}$$

Смотрите также

• Остаток (комплексный анализ)
• Интегральная формула Коши
• Основная теорема Глассера
• Лемма Джордана
• Методы контурного интегрирования
• Теорема Мореры
• Теорема Нахбина
• Остаток на бесконечности
• Логарифмическая форма

Примечания

1. Уиттакер и Уотсон 1920, с. 112, §6.1.
2. Уиттакер и Уотсон 1920, с. 125, §7.2. Обратите внимание, что число Бернулли обозначается в книге Уиттакера и Ватсона. ${\displaystyle B_{2n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$

Рекомендации

• Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ . МакГроу Хилл. ISBN 0-07-085008-9.
• Линделеф, Эрнст Л. (1905). Le Calcul des Résidus et ses Applications à la theorie des fonctions (на французском языке). Издания Жака Габе (опубликовано в 1989 г.). ISBN 2-87647-060-8.
• Митринович, Драгослав; Кечкич, Йован (1984). Метод вычетов Коши: Теория и приложения . Издательство Д. Рейделя. ISBN 90-277-1623-4.
• Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж. Н. (1920). Курс современного анализа (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета.

Внешние ссылки

• «Интегральная теорема Коши», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Теорема о вычетах в MathWorld