Условия причинности

При изучении лоренцевых многообразий- пространств-временей существует иерархия условий причинности , которые важны для доказательства математических теорем о глобальной структуре таких многообразий. Эти условия были собраны в конце 1970-х годов. ^[1]

Чем слабее условие причинности в пространстве-времени, тем более нефизическим является пространство-время. Например, пространство-время с замкнутыми времяподобными кривыми представляет серьезные трудности для интерпретации. См. парадокс дедушки .

Разумно полагать, что любое физическое пространство-время будет удовлетворять сильнейшему условию причинности: глобальной гиперболичности . Для таких пространств-временей уравнения общей теории относительности могут быть сформулированы как начальная задача на поверхности Коши .

Иерархия

Существует иерархия условий причинности, каждое из которых строго сильнее предыдущего. Иногда ее называют причинно-следственной лестницей . Условия, от самого слабого к самому сильному, следующие:

• Не совсем порочный
• хронологический
• Причинно-следственный
• Отличительный
• Сильно причинно-следственная связь
• Стабильно причинно-следственная связь
• Причинно непрерывный
• Причинно просто
• Глобально гиперболический

Даны определения этих условий причинности для лоренцева многообразия . Если даны два или более, они эквивалентны. ${\displaystyle (M,g)}$

Обозначение :

• ${\displaystyle p\ll q}$обозначает хронологическое отношение .
• ${\displaystyle p\prec q}$обозначает причинно-следственную связь .

( Определения , и , см. в причинной структуре .) ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$ ${\displaystyle \,I^{-}(x)}$ ${\displaystyle \,J^{+}(x)}$ ${\displaystyle \,J^{-}(x)}$

Не совсем порочный

• По некоторым пунктам у нас есть . ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle p\not \ll p}$

хронологический

• Замкнутых хронологических (времяподобных) кривых нет.
• Хронологическое отношение иррефлексивно : для всех . ${\displaystyle p\not \ll p}$ ${\displaystyle p\in M}$

Причинно-следственный

• Замкнутых причинных (непространственноподобных) кривых не существует.
• Если и то и другое ${\displaystyle p\prec q}$ ${\displaystyle q\prec p}$ ${\displaystyle p=q}$

Отличительный

Различение прошлого

• Две точки , имеющие одинаковое хронологическое прошлое, являются одной и той же точкой: ${\displaystyle p,q\in M}$

${\displaystyle I^{-}(p)=I^{-}(q)\implies p=q}$

• Эквивалентно, для любой окрестности существует окрестность такая, что никакая направленная в прошлое непространственноподобная кривая from не пересекается более одного раза. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle V\subset U,p\in V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$

Будущее, отличающее

• Две точки , имеющие одинаковое хронологическое будущее, являются одной и той же точкой: ${\displaystyle p,q\in M}$

${\displaystyle I^{+}(p)=I^{+}(q)\implies p=q}$

• Эквивалентно, для любой окрестности существует окрестность такая, что никакая направленная в будущее непространственноподобная кривая from не пересекается более одного раза. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle V\subset U,p\in V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$

Сильно причинно-следственная связь

• Для каждой окрестности существует окрестность , через которую ни одна времениподобная кривая не проходит более одного раза. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle V\subset U,p\in V}$
• Для каждой окрестности существует окрестность , причинно выпуклая в (и, следовательно, в ). ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle V\subset U,p\in V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$
• Топология Александрова согласуется с топологией многообразия.

Стабильно причинно-следственная связь

Для каждого из более слабых условий причинности, определенных выше, существует несколько многообразий, удовлетворяющих этому условию, которые можно заставить нарушить его сколь угодно малыми возмущениями метрики. Пространство-время является стабильно причинным, если оно не может содержать замкнутые причинные кривые с помощью любого возмущения, меньшего некоторой произвольной конечной величины. Стивен Хокинг показал ^[2] , что это эквивалентно:

• Существует глобальная функция времени . Это скалярное поле , градиент которого везде времениподобен и направлен в будущее. Эта глобальная функция времени дает нам стабильный способ различать будущее и прошлое для каждой точки пространства-времени (и поэтому у нас нет причинных нарушений). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \nabla ^{a}t}$

Глобально гиперболический

• ${\displaystyle \,M}$является сильно причинным и каждое множество (для точек ) компактно . ${\displaystyle J^{+}(x)\cap J^{-}(y)}$ ${\displaystyle x,y\in M}$

Роберт Герох показал ^[3] , что пространство-время является глобально гиперболическим тогда и только тогда, когда существует поверхность Коши для . Это значит, что: ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle M}$топологически эквивалентна для некоторой поверхности Коши (Здесь обозначена вещественная прямая ). ${\displaystyle \mathbb {R} \times \!\,S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Смотрите также

• Пространство-время
• Лоренцево многообразие
• Причинная структура
• Глобально гиперболическое многообразие
• Замкнутая времениподобная кривая

Рекомендации

1. Э. Мингуцци и М. Санчес, Причинная иерархия пространства-времени у Х. Баума и Д. Алексеевского (ред.), том. Последние разработки в псевдоримановой геометрии, ESI Lect. Математика. Phys., (Eur. Math. Soc. Publ. House, Цюрих, 2008), стр. 299–358, ISBN  978-3-03719-051-7 , arXiv:gr-qc/0609119
2. SW Хокинг, Существование космических функций времени Proc. Р. Сок. Лонд. (1969), А308 , 433
3. Р. Герох, Область зависимости. Архивировано 24 февраля 2013 г. на archive.today J. Math. Физ. (1970) 11 , 437–449

• С.В. Хокинг , СКФ Эллис (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-20016-4.
• С.В. Хокинг , В. Исраэль (1979). Общая теория относительности, обзор столетия Эйнштейна. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-22285-0.