Характерная подгруппа

В математике , особенно в области абстрактной алгебры , известной как теория групп , характеристическая подгруппа — это подгруппа , которая отображается в себя каждым автоморфизмом родительской группы . ^[1]^[2] Поскольку каждое отображение сопряжения является внутренним автоморфизмом , каждая характеристическая подгруппа является нормальной ; хотя обратное не гарантируется. Примерами характеристических подгрупп являются коммутаторная подгруппа и центр группы .

Определение

Подгруппа $H$ группы $G$ называется характеристической подгруппой , если для любого автоморфизма $φ$ группы $G$ выполняется $φ(H) \leq H$ ; тогда записывают $H char G$ .

Было бы эквивалентно потребовать более сильное условие $φ(H)$ = $H$ для каждого автоморфизма $φ$ группы $G$ , поскольку $φ -1 (H) \leq H$ влечет обратное включение $H \leq φ(H)$ .

Основные свойства

Для $H char G$ каждый автоморфизм группы $G$ индуцирует автоморфизм фактор-группы $G/H$ , что дает гомоморфизм $Aut(G) \to Aut(G / H)$ .

Если $G$ имеет единственную подгруппу $H$ заданного индекса, то H $является$ характеристической в $G.$

Связанные концепции

Нормальная подгруппа

Подгруппа группы $H$ , инвариантная относительно всех внутренних автоморфизмов, называется нормальной ; также инвариантной подгруппой.

\forallφ \in Inn(G): φ[H] \leq H

Так как $Inn(G) \subseteq Aut(G)$ и характеристическая подгруппа инвариантна относительно всех автоморфизмов, то каждая характеристическая подгруппа является нормальной. Однако не каждая нормальная подгруппа является характеристической. Вот несколько примеров:

Пусть $H$ — нетривиальная группа, а $G$ — прямое произведение , $H \times H$ . Тогда подгруппы ${1} \times H$ и $H \times {1}$ обе нормальны, но ни одна из них не является характеристической. В частности, ни одна из этих подгрупп не инвариантна относительно автоморфизма $(x, y) \to (y, x)$ , который меняет местами два множителя.
Для конкретного примера пусть $V$ будет четверной группой Клейна (которая изоморфна прямому произведению, ). Поскольку эта группа абелева , каждая подгруппа нормальна; но каждая перестановка 3 нетождественных элементов является автоморфизмом $V$ , поэтому 3 подгруппы порядка 2 не являются характеристическими. Здесь $V = {$ $e$ $,$ $a$ $,$ $b$ $,$ $ab$ $}$ . Рассмотрим $H = {$ $e$ $,$ $a$ $}$ и рассмотрим автоморфизм, $T($ $e$ $) =$ $e$ $, T($ $a$ $) =$ $b$ $, T($ $b$ $) =$ $a$ $, T($ $ab$ $) =$ $ab$ ; тогда $T($ $H$ $)$ не содержится в $H$ . $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$
В группе кватернионов порядка 8 каждая из циклических подгрупп порядка 4 является нормальной, но ни одна из них не является характеристической. Однако подгруппа ${1, -1}$ является характеристической, поскольку она является единственной подгруппой порядка 2.
Если $n$ > 2 четно, то диэдральная группа порядка $2 n$ имеет 3 подгруппы индекса 2, все из которых нормальны. Одна из них — циклическая подгруппа, которая является характеристической. Две другие подгруппы являются диэдральными; они переставляются внешним автоморфизмом родительской группы и, следовательно, не являются характеристическими.

Строго характеристическая подгруппа

Астрого характеристическая подгруппа , иливыделенная подгруппа , которая инвариантна относительносюръективных эндоморфизмов. Дляконечных группсюръективность эндоморфизма влечет инъективность, поэтому сюръективный эндоморфизм является автоморфизмом; таким образом, бытьстрого характеристическимэквивалентнохарактеристическому. Это больше не так для бесконечных групп.

Полностью характерная подгруппа

Для еще более сильного ограничения полностью характеристическая подгруппа (также полностью инвариантная подгруппа ; ср. инвариантная подгруппа), $H$ , группы $G$ , является группой, остающейся инвариантной при каждом эндоморфизме $G$ ; то есть,

\forallφ \in End(G): φ[ЧАС] \leq Ч

Каждая группа имеет себя (несобственную подгруппу) и тривиальную подгруппу в качестве двух своих полностью характеристических подгрупп. Коммутантная подгруппа группы всегда является полностью характеристической подгруппой. ^[3]^[4]

Каждый эндоморфизм $G$ индуцирует эндоморфизм $G/H$ , который даёт отображение $End(G) \to End(G / H)$ .

Вербальная подгруппа

Еще более сильным ограничением является вербальная подгруппа , которая является образом полностью инвариантной подгруппы свободной группы при гомоморфизме. В более общем смысле, любая вербальная подгруппа всегда полностью характеристична. Для любой редуцированной свободной группы и, в частности, для любой свободной группы , обратное также верно: каждая полностью характеристическая подгруппа является вербальной.

Транзитивность

Свойство быть характеристическим или полностью характеристическим является транзитивным ; если $H$ является (полностью) характеристической подгруппой $K$ , а $K$ является (полностью) характеристической подгруппой $G$ , то $H$ является (полностью) характеристической подгруппой $G.$

H символ K символ G \Rightarrow H символ G

Более того, хотя нормальность не является транзитивной, верно, что каждая характеристическая подгруппа нормальной подгруппы является нормальной.

H символ K ⊲ G \Rightarrow H ⊲ G

Аналогично, хотя строго характеристическая (различимая) подгруппа не является транзитивной, верно, что каждая полностью характеристическая подгруппа строго характеристической подгруппы является строго характеристической.

Однако, в отличие от нормальности, если $H char G$ и $K$ является подгруппой $G,$ содержащей H $,$ то в общем случае $H$ не обязательно является характеристической в $K.$

H символ G, H < K < G ⇏ H символ K

Сдерживание

Всякая подгруппа, которая является полностью характерной, безусловно, строго характерна и характерна; но характерная или даже строго характерная подгруппа не обязательно должна быть полностью характерной.

Центр группы всегда является строго характеристической подгруппой, но не всегда полностью характеристической. Например, конечная группа порядка 12, $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ , имеет гомоморфизм, переводящий $(π, y)$ в $((1, 2) y, 0)$ , который переводит центр , в подгруппу $Sym(3) \times 1$ , которая встречается с центром только в тождестве. $1\times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$

Связь между этими свойствами подгруппы можно выразить следующим образом:

Подгруппа ⇐ Нормальная подгруппа ⇐ Характеристическая подгруппа ⇐ Строго характеристическая подгруппа ⇐ Полностью характеристическая подгруппа ⇐ Вербальная подгруппа

Примеры

Конечный пример

Рассмотрим группу $\mathbb {Z} _{2}$ (группу порядка 12, которая является прямым произведением симметрической группы порядка 6 и циклической группы порядка 2). Центр группы $G$ изоморфен своему второму множителю . Заметим, что первый множитель, $S$ $3$ , содержит подгруппы, изоморфные , например ${e, (12)}$ ; пусть — морфизм, отображающий на указанную подгруппу. Тогда композиция проекции $G$ на ее второй множитель , за которой следует $f$ , за которым следует включение $S$ $3$ в $G$ в качестве ее первого множителя, дает эндоморфизм группы $G$ , при котором образ центра , не содержится в центре, поэтому здесь центр не является полностью характеристической подгруппой группы $G$ . $\mathbb {Z} _{2}$ $\mathbb {Z} _{2}$ $f:\mathbb {Z} _{2}<\rightarrow {\text{S}}_{3}$ $\mathbb {Z} _{2}$ $\mathbb {Z} _{2}$ $\mathbb {Z} _{2}$

Циклические группы

Каждая подгруппа циклической группы является характеристической.

Подгрупповые функторы

Производная подгруппа ( или коммутаторная подгруппа) группы является вербальной подгруппой. Подгруппа кручения абелевой группы является вполне инвариантной подгруппой.

Топологические группы

Компонент тождества топологической группы всегда является характеристической подгруппой.

Смотрите также

Характерно простая группа

Ссылки

^ Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9.
^ Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Springer . ISBN 0-387-95385-X.
^ Скотт, У. Р. (1987). Теория групп . Довер. стр. 45–46. ISBN 0-486-65377-3.
^ Магнус, Вильгельм; Каррасс, Авраам; Солитар, Дональд (2004). Комбинаторная теория групп . Дувр. стр. 74–85. ISBN 0-486-43830-9.