Теорема плотности Чеботарева

Теорема плотности Чеботарева в теории алгебраических чисел статистически описывает расщепление простых чисел в заданном расширении Галуа K поля рациональных чисел . Вообще говоря, простое целое число будет факторизоваться в несколько идеальных простых чисел в кольце целых алгебраических чисел K . Существует лишь конечное число моделей расщепления, которые могут возникнуть. Хотя полное описание расщепления каждого простого числа p в общем расширении Галуа является основной нерешенной проблемой, теорема плотности Чеботарёва гласит, что частота появления данного шаблона для всех простых чисел p , меньших большого целого числа N , стремится до определенного предела, когда N стремится к бесконечности. Это доказал Николай Чеботарёв в своей диссертации 1922 г., опубликованной в (Чеботарёв, 1926). $\mathbb {Q}$

Особый случай, который легче сформулировать, гласит, что если K — поле алгебраических чисел , которое является расширением Галуа степени n , то простые числа, которые полностью расщепляются в K , имеют плотность $\mathbb {Q}$

1/ н

среди всех простых чисел. В более общем смысле, поведение расщепления может быть задано путем присвоения (почти) каждому простому числу инварианта, его элемента Фробениуса , который является представителем четко определенного класса сопряженности в группе Галуа.

Гал ( K / Q ).

Тогда теорема утверждает, что асимптотическое распределение этих инвариантов равномерно по группе, так что класс сопряжения с k элементами возникает с частотой, асимптотической

к / н .

История и мотивация

Когда Карл Фридрих Гаусс впервые ввел понятие комплексных целых чисел Z [ i ], он заметил, что обычные простые числа могут учитываться в этом новом наборе целых чисел. Фактически, если простое число p конгруэнтно 1 по модулю 4, то оно разлагается на произведение двух различных простых гауссовых целых чисел или «полностью распадается»; если p конгруэнтно 3 по модулю 4, то оно остается простым или «инертным»; и если p равно 2, то оно становится произведением квадрата простого числа (1+i) и обратимого гауссовского целого числа -i ; мы говорим, что 2 «разветвляется». Например,

5 = (1+2i)(1-2i)

полностью распадается;

3

инертен;

2=-i(1+i)^{2}

разветвляется.

Из этого описания видно, что по мере рассмотрения все больших и больших простых чисел частота разделения простых чисел полностью приближается к 1/2, и то же самое касается простых чисел, которые остаются простыми числами в Z [ i ]. Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях показывает, что это действительно так. Несмотря на то, что сами простые числа появляются довольно хаотично, расщепление простых чисел в расширении

\mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} [i]

подчиняется простому статистическому закону.

Подобные статистические законы справедливы и для расщепления простых чисел в круговых расширениях , полученных из поля рациональных чисел присоединением примитивного корня из единицы заданного порядка. Например, обычные целые простые числа группируются в четыре класса, каждый с вероятностью 1/4, в соответствии с их шаблоном расщепления в кольце целых чисел, соответствующих корням восьмой степени из единицы. В этом случае расширение поля имеет степень 4 и является абелевым , причем группа Галуа изоморфна четырехгруппе Клейна . Оказалось, что группа Галуа расширения играет ключевую роль в закономерности расщепления простых чисел. Георг Фробениус заложил основу для исследования этой закономерности и доказал частный случай теоремы. Общее утверждение было доказано Николаем Григорьевичем Чеботарёвым в 1922 году.

Связь с теоремой Дирихле

Теорему Чеботарева о плотности можно рассматривать как обобщение теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях . Количественная форма теоремы Дирихле гласит, что если N ≥ 2 является целым числом и a взаимно просто с N , то пропорция простых чисел p , конгруэнтных моду N , асимптотична 1/ n , где n =φ( N ) является Функция Эйлера . Это частный случай теоремы Чеботарёва о плотности N - го кругового поля K. Действительно, группа Галуа группы K / Q абелева и может быть канонически отождествлена с группой обратимых классов вычетов mod N. Инвариант расщепления простого числа p, не делящего N, — это просто его вычетный класс, поскольку количество различных простых чисел, на которые разбивается p, равно φ( N )/m, где m — мультипликативный порядок p по модулю N; следовательно, по теореме о плотности Чеботарева простые числа асимптотически равномерно распределены между различными классами вычетов, взаимно простыми с N .

Формулировка

В своей обзорной статье Ленстра и Стивенхаген (1996) приводят более ранний результат Фробениуса в этой области. Предположим, что K — расширение Галуа поля рациональных чисел Q , а P ( t ) — монический целочисленный многочлен такой, что K — поле разложения P. Имеет смысл факторизовать P по модулю простого числа p . Его «тип расщепления» представляет собой список степеней неприводимых факторов P mod p , т.е. P каким-то образом факторизуется по простому полю F _p . Если n — степень P , то тип расщепления — это разбиение Π числа n . Учитывая также группу Галуа G группы K над Q , каждый g в G является перестановкой корней P в K ; другими словами _, выбирая порядок α и его алгебраических сопряжений , G точно представляется как подгруппа симметрической группы Sn . Мы можем написать g посредством его представления цикла , которое дает «тип цикла» c ( g ), опять же разбиение n .

Теорема Фробениуса утверждает, что для любого заданного выбора Π простые числа p , для которых типом расщепления P mod p является Π, имеют естественную плотность δ, причем δ равно доле g в G , имеющих тип цикла Π.

Формулировка более общей теоремы Чеботарева основана на элементе Фробениуса простого числа (идеала), который на самом деле является ассоциированным классом сопряженности C элементов группы Галуа G . Если мы зафиксируем C , то теорема утверждает, что асимптотически пропорция | С |/| г | простых чисел ассоциировали элемент Фробениуса как C . Когда G абелева, каждый класс, конечно, имеет размер 1. В случае неабелевой группы порядка 6 они имеют размер 1, 2 и 3, и соответственно (например) существует 50% простых чисел p , которые имеют элемент 2-го порядка как их Фробениус. Таким образом, эти простые числа имеют степень вычета 2, поэтому они распадаются ровно на три простых идеала в расширении Q степени 6 с ним как группой Галуа. ^[1]

Заявление

Пусть L — конечное расширение Галуа числового поля K с группой Галуа G. Пусть X — подмножество G , устойчивое относительно сопряжения. Множество простых чисел v из K , которые не разветвлены в L и ассоциированный с ними класс сопряженности Фробениуса F _v содержится в X , имеет плотность

{\frac {\#X}{\#G}}.

^[2]

Утверждение справедливо, когда плотность относится либо к естественной плотности, либо к аналитической плотности множества простых чисел. ^[3]

Эффективная версия

Обобщенная гипотеза Римана подразумевает эффективную версию ^[4] теоремы Чеботарёва о плотности: если L / K — конечное расширение Галуа с группой Галуа G , а C — объединение классов сопряженности G , то число неразветвленных простых чисел K нормы ниже x с классом сопряженности Фробениуса в C есть

{\frac {|C|}{|G|}}{\Bigl (}\mathrm {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x}}(n\log x+\log |\Delta |){\bigr )}{\Bigr )},

где константа, подразумеваемая в обозначении big-O, является абсолютной, n — это степень L над Q , а Δ — его дискриминант.

Без GRH эффективная форма теории плотности Чеботарева становится намного слабее. Возьмем L конечное расширение Галуа Q с группой Галуа G и степенью d . Возьмем нетривиальное неприводимое представление группы G степени n и артиновский проводник этого представления. Предположим, что для подпредставления или цело ; то есть гипотеза Артина удовлетворяется для всех . Возьмем символ, связанный с . Тогда существует абсолютное положительное явление такое, что при , $\rho$ ${\mathfrak {f}}(\rho )$ $\rho _{0}$ $\rho \otimes \rho$ $\rho \otimes {\bar {\rho }}$ $L(\rho _{0},s)$ $\rho _{0}$ $\chi _{\rho }$ $\rho$ $c$ $x\geq 2$

\sum _{p\leq x,p\not \mid {\mathfrak {f}}(\rho )}\chi _{\rho }({\text{Fr}}_{p})\log p=rx+O{\biggl (}{\frac {x^{\beta }}{\beta }}+x\exp {\biggl (}{\frac {-c(dn)^{-4}\log x}{3\log {\mathfrak {f}}(\rho )+{\sqrt {\log x}}}}{\biggr )}(dn\log(x{\mathfrak {f}}(\rho )){\biggr )},

где 1, если тривиально, и 0 в противном случае, и где исключительный действительный ноль ; если такого нуля нет, то термин можно игнорировать. Неявная константа этого выражения является абсолютной. ^[5] $r$ $\rho$ $\beta$ $L(\rho ,s)$ $x^{\beta }/\beta$

Бесконечные расширения

Утверждение теоремы Чеботарева о плотности можно обобщить на случай бесконечного расширения Галуа L / K , которое не разветвлено вне конечного множества S простых чисел K (т.е. если существует конечное множество S простых чисел K такое, что любое простое число K K, не принадлежащий S , неразветвлен в расширении L / K ). В этом случае группа Галуа G группы L / K является проконечной группой, снабженной топологией Крулля. Поскольку G компактна в этой топологии, на G существует единственная мера Хаара µ . Для каждого простого числа v из K , не входящего в S, существует ассоциированный класс сопряженности Фробениуса F _v . Теорему плотности Чеботарева в этой ситуации можно сформулировать следующим образом: ^[2]

Пусть X — подмножество G , устойчивое относительно сопряжения и граница которого имеет нулевую меру Хаара. Тогда множество простых чисел v из K , не принадлежащих S , таких, что F _v ⊆ X, имеет плотность

{\frac {\mu (X)}{\mu (G)}}.

Это сводится к конечному случаю, когда L / K конечна (мера Хаара тогда является просто считающей мерой).

Следствием этой версии теоремы является то, что элементы Фробениуса неразветвленных простых чисел L плотны в G .

Важные последствия

Теорема Чеботарёва о плотности сводит проблему классификации расширений Галуа числового поля к проблеме описания расщепления простых чисел в расширениях. В частности, это означает, что как расширение Галуа K , L однозначно определяется множеством простых чисел K , которые полностью распадаются в нем. ^[6] Связанное с этим следствие состоит в том, что если почти все простые идеалы K полностью распадаются в L , то на самом деле L = K . ^[7]

Смотрите также

Примечания

^ Этот конкретный пример уже следует из результата Фробениуса, поскольку G — симметрическая группа. В общем, сопряженность в G более требовательна, чем наличие одного и того же типа цикла.
^ ab Раздел I.2.2 Серра
^ Ленстра, Хендрик (2006). «Теорема о плотности Чеботарева» (PDF) . Проверено 7 июня 2018 г.
^ Лагариас, JC; Одлизко, А.М. (1977). «Эффективные версии теоремы Чеботарева». Поля алгебраических чисел : 409–464.
^ Иванец, Хенрик; Ковальски, Эммануэль (2004). Аналитическая теория чисел . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 111.
^ Следствие VII.13.10 Нойкирха
^ Следствие VII.13.7 из Нойкирха