Вторичные характеристические классы 3-многообразий
В математике формы Черна -Саймонса представляют собой определенные вторичные характеристические классы . [1] Теория названа в честь Шиинг-Шен Черна и Джеймса Харриса Саймонса , соавторов статьи 1974 года под названием «Характерные формы и геометрические инварианты», из которой возникла теория. [2]
Определение
Учитывая многообразие и 1-форму со значениями алгебры Ли над ним, мы можем определить семейство p -форм : [3]
В одном измерении 1-форма Черна – Саймонса имеет вид
В трех измерениях 3-форма Черна – Саймонса имеет вид
В пяти измерениях 5-форма Черна – Саймонса имеет вид
где кривизна F определяется как
Общая форма Черна–Саймонса определяется так, что
где произведение клина используется для определения F k . Правая часть этого уравнения пропорциональна k - му характеру Черна связности .
В общем, p -форма Черна–Саймонса определена для любого нечетного p . [4]
Приложение к физике
В 1978 году Альберт Шварц сформулировал теорию Черна-Саймонса , раннюю топологическую квантовую теорию поля , используя формы Черна-Саймонса. [5]
В калибровочной теории интеграл формы Черна-Саймонса является глобальным геометрическим инвариантом и обычно является калибровочным инвариантом по модулю сложения целого числа.
Смотрите также
Рекомендации
- ↑ Фрид, Дэниел (15 января 2009 г.). «Замечания о теории Черна – Саймонса» (PDF) . Проверено 1 апреля 2020 г.
- ^ Черн, Шиинг-Шен; Тиан, Г.; Ли, Питер (1996). Математик и его математическая работа: Избранные статьи С. С. Черна. Всемирная научная. ISBN 978-981-02-2385-4.
- ^ "Форма Черна-Саймонса в nLab" . ncatlab.org . Проверено 1 мая 2020 г.
- ↑ Мур, Грег (7 июня 2019 г.). «Введение в теории Черна-Саймонса» (PDF) . Техасский университет . Проверено 7 июня 2019 г.
- ^ Шварц, А.С. (1978). «Статистическая сумма вырожденного квадратичного функционала и инварианты Рэя-Зингера». Письма по математической физике . 2 (3): 247–252. Бибкод : 1978LMaPh...2..247S. дои : 10.1007/BF00406412. S2CID 123231019.
дальнейшее чтение
- Черн, С.-С. ; Саймонс, Дж. (1974). «Характеристические формы и геометрические инварианты». Анналы математики . Вторая серия. 99 (1): 48–69. дои : 10.2307/1971013. JSTOR 1971013.
- Бертльманн, Рейнхольд А. (2001). «Форма Черна – Саймонса, гомотопический оператор и аномалия». Аномалии в квантовой теории поля (пересмотренная ред.). Кларендон Пресс . стр. 321–341. ISBN 0-19-850762-3.