Парадокс шахматной доски

Математический парадокс и логическая головоломка

Парадокс шахматной доски

Парадокс шахматной доски ^{[1] [2]} или парадокс Лойда и Шлёмильха ^[3] — это ложный парадокс, основанный на оптической иллюзии. Шахматная доска или квадрат со стороной 8 единиц разрезается на четыре части. Эти четыре части используются для формирования прямоугольника со сторонами 13 и 5 единиц. Следовательно, общая площадь всех четырех частей составляет 64 единицы площади в квадрате, но 65 единиц площади в прямоугольнике, это кажущееся противоречие вызвано оптической иллюзией, поскольку четыре части не помещаются точно в прямоугольник, а оставляют небольшой едва заметный зазор вокруг диагонали прямоугольника. Парадокс иногда приписывают американскому изобретателю головоломок Сэму Лойду (1841–1911) и немецкому математику Оскару Шлёмильху (1832–1901).

Анализ

Увеличенный, точный рисунок показывает разрыв в прямоугольнике в форме параллелограмма.

При ближайшем рассмотрении можно увидеть, что четыре части не совсем подходят друг к другу, но оставляют небольшой, едва заметный зазор вокруг диагонали прямоугольника. Этот зазор имеет форму параллелограмма, что можно проверить, показав, что противолежащие углы имеют одинаковый размер. ^[4] ${\displaystyle DEBF}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\angle FDE&=90^{\circ }-\angle FDG-\angle EDI\\[6pt]&=90^{\circ }-\arctan \left({\frac {|EI|}{|DI|}}\right)-\arctan \left({\frac {|FG|}{|DG|}}\right)\\[6pt]&=90^{\circ }-\arctan \left({\frac {5}{2}}\right)-\arctan \left({\frac {3}{8}}\right)\\[6pt]&=90^{\circ }-\arctan \left({\frac {|FJ|}{|BJ|}}\right)-\arctan \left({\frac {|EH|}{|BH|}}\right)\\[6pt]&=90^{\circ }-\angle FBJ-\angle EBH\\[6pt]&=\angle FBE\approx 1.24536^{\circ }\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\angle DEB&=360^{\circ }-\angle DEI-\angle IEH-\angle EBH\\[6pt]&=360^{\circ }-\arctan \left({\frac {|DI|}{|EI|}}\right)-90^{\circ }-\arctan \left({\frac {|DG|}{|FG|}}\right)\\[6pt]&=360^{\circ }-\arctan \left({\frac {2}{5}}\right)-90^{\circ }-\arctan \left({\frac {8}{3}}\right)\\[6pt]&=360^{\circ }-\arctan \left({\frac {|BJ|}{|FJ|}}\right)-90^{\circ }-\arctan \left({\frac {|BH|}{|EH|}}\right)\\[6pt]&=360^{\circ }-\angle BFJ-\angle JFG-\angle GFD\\[6pt]&=\angle DFB\approx 178.75464^{\circ }\end{aligned}}}$

Для точной подгонки четырех частей по прямоугольнику необходимо, чтобы параллелограмм сжался до отрезков прямой, а это значит, что он должен иметь следующие размеры:

${\displaystyle \angle FBE=\angle FDE=0^{\circ }}$

${\displaystyle \angle DFB=\angle DEB=180^{\circ }}$

Поскольку фактические углы лишь немного отклоняются от этих значений, создается оптическая иллюзия того, что параллелограмм представляет собой просто отрезок прямой, а его части точно подогнаны друг к другу. ^[4] В качестве альтернативы можно проверить параллельность, поместив прямоугольный треугольник в систему координат и сравнив наклоны или векторные представления сторон.

Длина стороны и диагонали параллелограмма равны:

${\displaystyle |DE|=|FB|={\sqrt {2^{2}+5^{2}}}={\sqrt {29}}}$

${\displaystyle |DF|=|EB|={\sqrt {3^{2}+8^{2}}}={\sqrt {73}}}$

${\displaystyle |EF|={\sqrt {1^{2}+3^{2}}}={\sqrt {10}}}$

${\displaystyle |DB|={\sqrt {5^{2}+13^{2}}}={\sqrt {194}}}$

Используя формулу Герона, можно вычислить площадь половины параллелограмма ( ). Половина окружности равна ${\displaystyle \triangle DFG}$

${\displaystyle s={\frac {|EF|+|DE|+|DF|}{2}}={\frac {{\sqrt {10}}+{\sqrt {29}}+{\sqrt {73}}}{2}}}$

что дает площадь всего параллелограмма:

${\displaystyle {\begin{aligned}F&=2\cdot {\sqrt {s\cdot (s-|EF|)\cdot (s-|DE|)\cdot (s-|DF|)}}\\[5pt]&=2\cdot {\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {({\sqrt {10}}+{\sqrt {29}}+{\sqrt {73}})\cdot (-{\sqrt {10}}+{\sqrt {29}}+{\sqrt {73}})\cdot ({\sqrt {10}}-{\sqrt {29}}+{\sqrt {73}})\cdot ({\sqrt {10}}+{\sqrt {29}}-{\sqrt {73}})}}\\[5pt]&=2\cdot {\frac {1}{4}}\cdot 2\\[5pt]&=1\end{aligned}}}$

Таким образом, площадь зазора в точности соответствует дополнительной площади прямоугольника.

Обобщение

Обобщенное разбиение квадрата с использованием чисел Фибоначчи

: , Треугольники почти подобны. ${\displaystyle {\frac {f_{n-2}}{f_{n}}}\approx {\frac {f_{n-3}}{f_{n-1}}}\Rightarrow \tan(\alpha )\approx \tan(\beta )\Rightarrow \alpha \approx \beta }$
${\displaystyle T_{1},T_{2},T_{3},T_{4}}$

Рассечение без несоответствия площадей ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

Отрезки линий, встречающиеся на рисунке последних глав, имеют длину 2, 3, 5, 8 и 13. Все это последовательные числа Фибоначчи, что предполагает обобщение схемы рассечения, основанной на числах Фибоначчи. Свойства чисел Фибоначчи также дают более глубокое понимание того, почему оптическая иллюзия работает так хорошо. Квадрат, длина стороны которого равна числу Фибоначчи, можно разрезать с помощью отрезков линий длиной таким же образом, как шахматная доска была разрезанной с помощью отрезков линий длиной 8, 5, 3 (см. рисунок). ^[4] ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f_{n},f_{n-1},f_{n-2}}$

В идентификационных данных Кассини указано : ^[4]

${\displaystyle f_{n+1}\cdot f_{n-1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n}}$

Из этого сразу становится ясно, что разница в площади между квадратом и прямоугольником всегда должна составлять 1 единицу площади, в частности, для исходного парадокса шахматной доски имеем:

${\displaystyle 13\cdot 5-8^{2}=f_{7}\cdot f_{5}-f_{6}^{2}=(-1)^{6}=1}$

Обратите внимание, что для нечетного индекса площадь квадрата не меньше на одну единицу площади, а больше. В этом случае четыре части не создают небольшой зазор при сборке в прямоугольник, а вместо этого слегка перекрываются. Поскольку разница в площади всегда составляет 1 единицу площади, оптическую иллюзию можно улучшить, используя большие числа Фибоначчи, позволяя проценту зазора от площади прямоугольника стать произвольно малым и, следовательно, для практических целей невидимым. ${\displaystyle n}$

Поскольку отношение соседних чисел Фибоначчи довольно быстро сходится к золотому сечению , следующие отношения также сходятся быстро: ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\frac {f_{n}}{f_{n-2}}}={\frac {f_{n}}{f_{n-1}}}\cdot {\frac {f_{n-1}}{f_{n-2}}}\rightarrow \varphi ^{2},\,{\frac {f_{n-2}}{f_{n}}}={\frac {f_{n-2}}{f_{n-1}}}\cdot {\frac {f_{n-1}}{f_{n}}}\rightarrow \varphi ^{-2}}$

Чтобы четыре выреза квадрата точно совпали и образовали прямоугольник, малый параллелограмм должен сжаться в отрезок прямой, являющийся диагональю прямоугольника. В этом случае для углов в прямоугольнике справедливо следующее, поскольку они являются соответствующими углами параллелей: ${\displaystyle DEBF}$

${\displaystyle \angle IDE=\angle HEB}$, , , ${\displaystyle \angle DEI=\angle EBH}$ ${\displaystyle \angle FDG=\angle BFJ}$ ${\displaystyle \angle GFD=\angle JBF}$

Следовательно, следующие прямоугольные треугольники , , и должны быть подобны и отношение их катетов должно быть одинаковым. ${\displaystyle \triangle IED}$ ${\displaystyle \triangle HBE}$ ${\displaystyle \triangle DFG}$ ${\displaystyle \triangle FBJ}$

Благодаря быстрой сходимости, указанной выше, соответствующие соотношения чисел Фибоначчи в собранном прямоугольнике практически одинаковы: ^[4]

${\displaystyle {\frac {f_{n}}{f_{n-2}}}\approx {\frac {f_{n-1}}{f_{n-3}}},\,{\frac {f_{n-2}}{f_{n}}}\approx {\frac {f_{n-3}}{f_{n-1}}}}$

Поэтому они почти идеально подходят друг другу, что и создает оптическую иллюзию.

Можно также посмотреть на углы параллелограмма, как в исходном анализе шахматной доски. Для этих углов можно вывести следующие формулы: ^[4]

${\displaystyle n\geq 4:\quad \angle FBE=\angle FDE=\arctan \left({\frac {1}{f_{2n-3}+2f_{n-3}f_{n-2}}}\right)\rightarrow 0^{\circ }}$

${\displaystyle n\geq 4:\quad \angle DFB=\angle DEB=180^{\circ }-\arctan \left({\frac {1}{f_{2n-3}+2f_{n-3}f_{n-2}}}\right)\rightarrow 180^{\circ }}$

Таким образом, углы быстро приближаются к значениям, необходимым для точного соответствия.

Однако возможно использовать схему рассечения без создания несоответствия площадей, то есть четыре выреза будут собираться точно в прямоугольник той же площади, что и квадрат. Вместо использования чисел Фибоначчи, рассечение основывается непосредственно на золотом сечении (см. рисунок). Для квадрата со стороной это дает для площади прямоугольника ${\displaystyle a}$

${\displaystyle (\varphi -1)a\cdot (\varphi a)=(\varphi ^{2}-\varphi )a^{2}=a^{2},}$

поскольку является свойством золотого сечения. ^[5] ${\displaystyle \varphi ^{2}-\varphi =1}$

История

Парадокс Хупера

Парадокс Хупера можно рассматривать как предшественника шахматного парадокса. В нем у вас есть та же фигура из четырех фигур, собранных в прямоугольник, однако рассеченная форма, из которой происходят четыре фигуры, еще не является квадратом, а вовлеченные отрезки линий не основаны на числах Фибоначчи. Хупер опубликовал парадокс, теперь названный в его честь, под названием « Геометрические деньги» в своей книге «Рациональные развлечения» . Однако это было не его изобретение, поскольку его книга по сути была переводом « Nouvelles récréations physiques et mathétiques» Эдме Жиля Гийо (1706–1786), которые были опубликованы во Франции в 1769 году. ^[1]

Первая известная публикация настоящего шахматного парадокса принадлежит немецкому математику Оскару Шлёмильху. Он опубликовал его в 1868 году под названием Ein geometrisches Paradoxon («геометрический парадокс») в немецком научном журнале Zeitschrift für Mathematik und Physik . В том же журнале Виктор Шлегель опубликовал в 1879 году статью Verallgemeinerung eines geometrischen Paradoxons («обобщение геометрического парадокса»), в которой он обобщил конструкцию и указал на связь с числами Фибоначчи. Парадокс шахматной доски также был любимым парадоксом британского математика и писателя Льюиса Кэрролла , который также работал над обобщением, но не опубликовал его. Это было позже обнаружено в его записях после его смерти. Американский изобретатель головоломок Сэм Лойд утверждал, что представил парадокс шахматной доски на всемирном шахматном конгрессе в 1858 году, и позже он был включен в «Энциклопедию 5000 головоломок, трюков и загадок» Сэма Лойда (1914), которая была посмертно опубликована его сыном с тем же именем. Сын заявил, что сборка четырех фигур в фигуру из 63 единиц площади (см. рисунок вверху) была его идеей. Однако она была опубликована еще в 1901 году в статье « Некоторые головоломки на открытках» Уолтера Декстера. ^{[1] [6]}

Смотрите также

• Головоломка «Отсутствует квадрат»

Ссылки

1. Greg N. Frederickson: Dissections: Plane and Fancy . Cambridge University Press, 2003, ISBN  9780521525824 , глава 23, стр. 268–277, в частности стр. 271–274 (онлайн-обновление для главы 23)
2. Колин Фостер: «Скользкие склоны». В: Математика в школе , т. 34, № 3 (май 2005 г.), стр. 33–34 (JSTOR)
3. Франц Леммермейер: Mathematik à la Carte: Elementargeometry an Quadratwurzeln mit einigen geschichtlichen Bemerkungen . Springer 2014, ISBN 9783662452707 , стр. 95–96 (немецкий) 
4. Томас Коши: Числа Фибоначчи и Люка с приложениями . Wiley, 2001, ISBN 9781118031315 , стр. 74, 100–108 
5. Альбрехт Бойтельспехер , Бернхард Петри: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Гейдельберг/Берлин/Оксфорд, 1996. ISBN 3-86025-404-9 , стр. 91–93 (немецкий).  
6. Мартин Гарднер: Математика, магия и тайна . Courier (Dover), 1956, ISBN 9780486203355 , стр. 129–155 

Дальнейшее чтение

• Жан-Поль Делаэ: Au платит за парадоксы . Humensis, 2014, ISBN 9782842451363 (французский) 
• Миодраг Петкович: Знаменитые головоломки великих математиков . AMS, 2009, ISBN 9780821848142 , стр. 14, 30–31 
• AF Horadam: "Последовательности Фибоначчи и геометрический парадокс". В: Mathematics Magazine , т. 35, № 1 (январь, 1962), стр. 1–11 (JSTOR)
• Дэвид Сингмастер: "Головоломки с исчезающей областью". В: Recreational Mathematics Magazine , № 1, март 2014 г.
• Джон Ф. Лэмб-младший: «Головоломка о разрезании ковров». В: Учитель математики , Band 80, № 1 (январь 1987 г.), стр. 12–14 (JSTOR)
• Уоррен Уивер: «Льюис Кэрролл и геометрический парадокс». В: The American Mathematical Monthly , т. 45, № 4 (апрель 1938 г.), стр. 234–236 (JSTOR)
• Оскар Шлёмильх : «Эйн геометрический парадокс». В: Zeitschrift für Mathematik und Physik , vol. 13, 1868, с. 162 (немецкий)
• Виктор Шлегель : «Verallgemeinerung eines geometrischen Paradoxons». В: Zeitschrift für Mathematik und Physik , vol. 24, 1879, стр. 123–128 (немецкий).

Внешние ссылки

• Парадокс Пазла
• Вайсштейн, Эрик В. «Заблуждение о вскрытии». MathWorld .