Классификация алгебр Клиффорда

В абстрактной алгебре , в частности в теории невырожденных квадратичных форм на векторных пространствах , конечномерные действительные и комплексные алгебры Клиффорда для невырожденной квадратичной формы были полностью классифицированы как кольца . В каждом случае алгебра Клиффорда является алгеброй, изоморфной полному кольцу матриц над R , C или H ( кватернионам ) или прямой сумме двух копий такой алгебры, хотя и не каноническим образом. Ниже показано, что различные алгебры Клиффорда могут быть алгебра-изоморфными , как это имеет место Cl _1,1 ( R ) и Cl _2,0 ( R ), которые обе изоморфны как кольца кольцу чисел два на два. матрицы над действительными числами.

Обозначения и соглашения

Произведение Клиффорда является явным кольцевым произведением алгебры Клиффорда, и все гомоморфизмы алгебр в этой статье относятся к этому кольцевому произведению. Другие продукты, определенные в алгебрах Клиффорда, такие как внешний продукт и другая структура, такая как выделенное подпространство генераторов V , здесь не используются. В этой статье используется соглашение о знаках (+) для умножения Клиффорда, так что для всех векторов v в векторном пространстве генераторов V , где Q — квадратичная форма в векторном пространстве V . Алгебру матриц размера n × n с элементами алгебры тела K будем обозначать M _n ( K ) или End( K ⁿ ). Прямую сумму двух таких одинаковых алгебр будем обозначать M _n ( K ) ⊕ M _n ( K ) , которая изоморфна M _n ( K ⊕ K ) . $${\displaystyle v^{2}=Q(v)1}$$

Периодичность Ботта

Алгебры Клиффорда обладают 2-кратной периодичностью по комплексным числам и 8-кратной периодичностью по действительным числам, которая связана с теми же периодичностями для гомотопических групп стабильной унитарной группы и стабильной ортогональной группы и называется периодичностью Ботта . Связь объясняется приближением геометрической модели пространств петель к периодичности Ботта: их 2-кратные/8-кратные периодические вложения классических групп друг в друга (соответствующие группам изоморфизмов алгебр Клиффорда), а их последовательные факторы являются симметрическими пространствами. которые гомотопически эквивалентны пространствам петель унитарной/ортогональной группы.

Сложный случай

Сложный случай особенно прост: каждая невырожденная квадратичная форма в комплексном векторном пространстве эквивалентна стандартной диагональной форме.

${\displaystyle Q(u)=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\cdots +u_{n}^{2},}$

где n = dim( V ) , поэтому для каждого измерения существует по существу только одна алгебра Клиффорда. Это связано с тем, что комплексные числа включают i ^, где − uk ₂ = +( iu _k ) ² , и поэтому положительные или отрицательные члены эквивалентны. Алгебру Клиффорда ^на Cn стандартной квадратичной формы будем обозначать через _Cln ( C ).

Следует рассмотреть два отдельных случая в зависимости от того, является ли n четным или нечетным. Когда n четно, алгебра Cl _n ( C ) является центрально простой и поэтому по теореме Артина – Веддерберна изоморфна матричной алгебре над C .

Когда n нечетно, в центр входят не только скаляры, но и псевдоскаляры (элементы степени n ). Мы всегда можем найти нормированный псевдоскаляр ω такой, что ω ² = 1 . Определение операторов

${\displaystyle P_{\pm }={\frac {1}{2}}(1\pm \omega ).}$

Эти два оператора образуют полный набор ортогональных идемпотентов и, поскольку они центральны, они дают разложение Cl _n ( C ) в прямую сумму двух алгебр.

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n}(\mathbf {C} )=\mathrm {Cl} _{n}^{+}(\mathbf {C} )\oplus \mathrm {Cl} _{n}^{-}(\mathbf {C} ),}$

где

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{n}^{\pm }(\mathbf {C} )=P_{\pm }\mathrm {Cl} _{n}(\mathbf {C} ).}$

Алгебры Cl _n ^± ( C ) — это просто положительные и отрицательные собственные пространства ω , а P _± — это просто операторы проектирования. Поскольку ω нечетно, эти алгебры смешиваются по α (линейному отображению на V , определенному равенством v ↦ − v ):

${\displaystyle \alpha \left(\mathrm {Cl} _{n}^{\pm }(\mathbf {C} )\right)=\mathrm {Cl} _{n}^{\mp }(\mathbf {C} ),}$

и, следовательно, изоморфен (поскольку α — автоморфизм ). Каждая из этих двух изоморфных алгебр является центрально простой и, следовательно, снова изоморфна матричной алгебре над C . Размеры матриц можно определить исходя из того, что размерность Cl _n ( C ) равна 2 ⁿ . Тогда мы имеем следующую таблицу:

Четная подалгебра Cl^[0]
_н( C ) группы Cl _n ( C ) (неканонически) изоморфно Cl _{n −1} ( C ). Когда n четно, четную подалгебру можно отождествить с блочными диагональными матрицами (при разбиении на блочные матрицы 2 × 2 ). Когда n нечетно, четная подалгебра состоит из тех элементов End( CN ) ⊕ End( CN ^{) ,} для которых эти две части идентичны. Выбор любой части дает изоморфизм с Cl _n ( C ) ≅ End( CN ) ^.

Комплексные спиноры в четном измерении

Классификация позволяет определить спиноры Дирака и спиноры Вейля в четной размерности. ^[1]

В четной размерности n алгебра Клиффорда Cl _n ( C ) изоморфна End( CN ) ^, которая имеет свое фундаментальное представление на Δ _n  := CN ^. Комплексный спинор Дирака является элементом Δ _n . Термин «комплекс» означает, что это элемент пространства представления комплексной алгебры Клиффорда, а не элемент комплексного векторного пространства.

Чётная подалгебра Cl _n ⁰ ( C ) изоморфна End( CN ^/2 ) ⊕ End( CN ^/2 ) и ^{, следовательно ,} разлагается в прямую сумму двух неприводимых пространств представлений ∆⁺
_н⊕ Δ⁻
_п^, каждый изоморфен CN ^/2 . Левый (соответственно правый) комплексный спинор Вейля является элементом ∆⁺
_н(соответственно ∆⁻
_п).

Доказательство структурной теоремы для комплексных алгебр Клиффорда.

Структурную теорему легко доказать индуктивно. Для базовых случаев Cl ₀ ( C ) — это просто C ≅ End( C ) , а Cl ₁ ( C ) задается алгеброй C ⊕ C ≅ End( C ) ⊕ End( C ) путем определения единственной гамма-матрицы как γ ₁ = (1, −1) .

Нам также понадобится Cl ₂ ( C ) ≅ End( C ² ) . Матрицы Паули можно использовать для создания алгебры Клиффорда, полагая γ ₁ = σ ₁ , γ ₂ = σ ₂ . Пространством порожденной алгебры является End( C ² ).

Доказательство завершается построением изоморфизма Cl _{n +2} ( C ) ≅ Cl _n ( C ) ⊗ Cl ₂ ( C ) . Пусть γ _a порождает Cl _n ( C ) и порождает Cl ₂ ( C ). Пусть ω = i будет элементом киральности, удовлетворяющим ω ² = 1 и ω + ω = 0 . Их можно использовать для построения гамма-матриц для Cl _{n +2} ( C ), установив Γ _a = γ _a ⊗ ω для 1 ≤ a ≤ n и Γ _a = 1 ⊗ для a = n + 1, n + 2 . Можно показать, что они удовлетворяют требуемой алгебре Клиффорда, и в силу универсального свойства алгебр Клиффорда существует изоморфизм Cl _n ( C ) ⊗ Cl ₂ ( C ) → Cl _{n +2} ( C ) . ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{a}}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{1}{\tilde {\gamma }}_{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{a}}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{a}}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{a-n}}$

Наконец, в четном случае это означает по предположению индукции Cl _{n +2} ( C ⁾ ≅ End( CN ) ⊗ End( C ^{2 )} ≅ End( CN ⁺¹ ) . Нечетный случай аналогичен тому, что тензорное произведение распределяется по прямым суммам.

Реальный случай

Реальный случай значительно сложнее: периодичность равна 8, а не 2, и существует 2-параметрическое семейство алгебр Клиффорда.

Классификация квадратичных форм

Во-первых, существуют неизоморфные квадратичные формы данной степени, классифицируемые по сигнатуре.

Каждая невырожденная квадратичная форма в вещественном векторном пространстве эквивалентна стандартной диагональной форме:

${\displaystyle Q(u)=u_{1}^{2}+\cdots +u_{p}^{2}-u_{p+1}^{2}-\cdots -u_{p+q}^{2}}$

где n = p + q — размерность векторного пространства. Пара целых чисел ( p , q ) называется сигнатурой квадратичной формы. Вещественное векторное пространство с этой квадратичной формой часто обозначается R ^{p , q} . Алгебра Клиффорда на ^Rp , ^{q обозначается} Clp _{, q (} R ) .

Стандартный ортонормированный базис { e _i } для R ^{p , q} состоит из n = p + q взаимно ортогональных векторов, p из которых имеют норму +1, а q из которых имеют норму −1.

Единичный псевдоскаляр

Учитывая стандартный базис { e _i }, как определено в предыдущем подразделе, единичный псевдоскаляр в Cl _{p , q} ( R ) определяется как

${\displaystyle \omega =e_{1}e_{2}\cdots e_{n}.}$

Это одновременно своего рода элемент Кокстера (продукт отражений) и самый длинный элемент группы Кокстера в порядке Брюа ; это аналогия. Он соответствует форме объема и обобщает ее (во внешней алгебре ; для тривиальной квадратичной формы единичный псевдоскаляр является формой объема) и усиливает отражение через начало координат (это означает, что образ единичного псевдоскаляра является отражением через начало координат, в ортогональной группе ).

Чтобы вычислить квадрат ω ² = ( e ₁ e ₂ ⋅⋅⋅ e _n )( e ₁ e ₂ ⋅⋅⋅ e _n ) , можно либо изменить порядок второй группы, получив sn( σ ) e ₁ e ₂ ⋅⋅⋅ e _n e _n ⋅⋅⋅ e ₂ e ₁ , или примените идеальную перетасовку , получив Sign( σ ) e ₁ e ₁ e ₂ e ₂ ⋅⋅⋅ e _n e _n . Оба они имеют знак (−1) ^{⌊ n /2⌋} = (−1) ^{n ( n −1)/2} , который является 4-периодическим ( доказательство ), и в сочетании с ei _e i = ±1 это показывает, _что квадрат ω определяется выражением

${\displaystyle \omega ^{2}=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}(-1)^{q}=(-1)^{\frac {(p-q)(p-q-1)}{2}}={\begin{cases}+1&p-q\equiv 0,1\mod {4}\\-1&p-q\equiv 2,3\mod {4}.\end{cases}}}$

Обратите внимание, что, в отличие от комплексного случая, обычно невозможно найти псевдоскаляр, приводящий в квадрат +1.

Центр

Если n (эквивалентно, p − q ) четно, алгебра Cl _{p , q} ( R ) центрально проста и поэтому изоморфна матричной алгебре над R или H по теореме Артина–Веддерберна .

Если n (эквивалентно p − q ) нечетно, то алгебра больше не является центральной простой, а имеет центр, который включает в себя как псевдоскаляры, так и скаляры. Если n нечетно и ω ² = +1 (эквивалентно, если p − q ≡ 1 (mod 4) ), то, как и в комплексном случае, алгебра Cl _{p , q} ( R ) разлагается в прямую сумму изоморфных алгебр

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p,q}^{+}(\mathbf {R} )\oplus \operatorname {Cl} _{p,q}^{-}(\mathbf {R} ),}$

каждая из которых центрально проста и поэтому изоморфна матричной алгебре над R или H .

Если n нечетно и ω ² = −1 (эквивалентно, если p − q ≡ −1 (mod 4) ), то центр Cl _{p , q} ( R ) изоморфен C и может рассматриваться как комплексная алгебра. Как комплексная алгебра, она центрально проста и поэтому изоморфна матричной алгебре над C .

Классификация

Всего есть три свойства, определяющие класс алгебры Cl _{p , q} ( R ):

• мод подписи 2: n четное/нечетное: центральное простое или нет
• сигнатура по модулю 4: ω ² = ±1 : если не центральный простой, то центром является R ⊕ R или C
• сигнатура мод 8: класс Брауэра алгебры ( n четный) или четной подалгебры ( n нечетный) равен R или H.

Каждое из этих свойств зависит только от сигнатуры p − q по модулю 8. Полная таблица классификации приведена ниже. Размер матриц определяется требованием, чтобы Cl _{p , q} ( R ) имели размерность 2 ^{p + q} .

Можно видеть, что из всех упомянутых типов матричных колец существует только один тип, общий для комплексных и вещественных алгебр: тип M _{2 ^m} ( C ). Например, Cl ₂ ( C ) и Cl _3,0 ( R ) оба определены как M ₂ ( C ). Важно отметить, что существует разница в используемых классифицирующих изоморфизмах. Поскольку Cl ₂ ( C ) является алгеброй, изоморфной посредством C -линейного отображения (которое обязательно является R -линейным), а Cl _3,0 ( R ) является алгеброй, изоморфной посредством R -линейного отображения, Cl ₂ ( C ) и Cl _3,0 ( R ) R -алгебры изоморфны.

Ниже приведена таблица этой классификации для p + q ≤ 8 . Здесь p + q проходит вертикально, а p − q — горизонтально (например, алгебра Cl _1,3 ( R ) ≅ M ₂ ( H ) находится в строке 4, столбце −2).

Симметрии

В приведенной выше таблице представлена ​​запутанная паутина симметрий и отношений.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cl} _{p+1,q+1}(\mathbf {R} )&=\mathrm {M} _{2}(\operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} ))\\\operatorname {Cl} _{p+4,q}(\mathbf {R} )&=\operatorname {Cl} _{p,q+4}(\mathbf {R} )\end{aligned}}}$

Если пройти по 4 точкам в любой строке, получится идентичная алгебра.

Из этой периодичности Ботта следует:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+8,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p+4,q+4}(\mathbf {R} )=M_{2^{4}}(\operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )).}$

Если подпись удовлетворяет условию p − q ≡ 1 (mod 4) , то

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+k,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p,q+k}(\mathbf {R} ).}$

(Таблица симметрична относительно столбцов с сигнатурой ..., −7, −3, 1, 5, ...)

Таким образом, если подпись удовлетворяет p − q ≡ 1 (mod 4) ,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+k,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p,q+k}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p-k+k,q+k}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2^{k}}(\operatorname {Cl} _{p-k,q}(\mathbf {R} ))=\mathrm {M} _{2^{k}}(\operatorname {Cl} _{p,q-k}(\mathbf {R} )).}$

Смотрите также

• Алгебра Дирака Cl _1,3 ( C )
• Алгебра Паули Cl _3,0 ( R )
• Алгебра пространства-времени Cl _1,3 ( R )
• Модуль Клиффорда
• Спиновое представление

Рекомендации

1. Гамильтон, Марк Джей Ди (2017). Математическая калибровочная теория: с приложениями к стандартной модели физики элементарных частиц . Чам, Швейцария. стр. 346–347. ISBN 9783319684383.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Источники

• Будинич, Паоло; Траутман, Анджей (1988). Спинориальная шахматная доска . Спрингер Верлаг. ISBN 978-3-540-19078-3.
• Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (2016). Спиновая геометрия. Принстонская математическая серия. Том. 38. Издательство Принстонского университета. ISBN 978-1-4008-8391-2.
• Портеус, Ян Р. (1995). Алгебры Клиффорда и классические группы . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 50. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55177-9.