В математическом исследовании алгебр Ли и групп Ли диаграмма Сатаке является обобщением диаграммы Дынкина, введенной Сатаке (1960, стр. 109), конфигурации которой классифицируют простые алгебры Ли над полем действительных чисел . Диаграммы Сатаке, связанные с диаграммой Дынкина, классифицируют вещественные формы комплексной алгебры Ли, соответствующей диаграмме Дынкина.
В более общем смысле, индекс Титса или диаграмма Сатаке-Титса редуктивной алгебраической группы над полем представляет собой обобщение диаграммы Сатаке на произвольные поля, введенное Титсом (1966), которое сводит классификацию редуктивных алгебраических групп к классификации анизотропных редуктивных групп . алгебраические группы.
Диаграммы Сатаке — это не то же самое, что диаграммы Вогана группы Ли, хотя они выглядят похоже.
Диаграмма Сатаке получается из диаграммы Дынкина путем закрашивания некоторых вершин и соединения других вершин попарно стрелками по определенным правилам.
Предположим, что G — алгебраическая группа, определенная над полем k , например вещественными числами. Пусть S — максимальный расщепляемый тор в G , а T — максимальный тор, содержащий S , определенный над сепарабельным алгебраическим замыканием K группы k . Тогда G ( K ) имеет диаграмму Дынкина относительно некоторого выбора положительных корней T. Эта диаграмма Дынкина имеет естественное действие группы Галуа группы K / k . Также некоторые простые корни исчезают на S . Диаграмма Сатаке-Титса задается диаграммой Дынкина D вместе с действием группы Галуа, при этом простые корни, исчезающие на S , окрашены в черный цвет. В случае, когда k — поле действительных чисел, абсолютная группа Галуа имеет порядок 2, и ее действие на D изображается путем рисования сопряженных точек диаграммы Дынкина рядом друг с другом, а диаграмма Сатаке–Титса называется диаграммой Сатаке. .
Диаграммы Сатаке и Вогана используются для классификации полупростых групп или алгебр (или алгебраических групп) Ли над действительными числами, и обе состоят из диаграмм Дынкина, обогащенных за счет чернения подмножества узлов и соединения некоторых пар вершин стрелками. Диаграммы Сатаке, однако, могут быть обобщены на любое поле (см. выше) и подпадают под общую парадигму когомологий Галуа , тогда как диаграммы Вогана определяются конкретно по действительным числам. Вообще говоря, структура реальной полупростой алгебры Ли более прозрачно закодирована в ее диаграмме Сатаке, но диаграммы Вогана проще классифицировать.
Существенное отличие состоит в том, что диаграмма Сатаке вещественной полупростой алгебры Ли с инволюцией Картана θ и ассоциированной парой Картана (собственные пространства +1 и −1 θ ) определяется, начиная с максимально некомпактной θ -стабильной подалгебры Картана , т.е. та, для которой и как можно меньше (в изложении выше она фигурирует как алгебра Ли максимального расщепляемого тора S ), тогда как диаграммы Вогана определяются, начиная с максимально компактной θ -стабильной подалгебры Картана, т. е. такой, для которой и является максимально большим.
Диаграмма Дынкина без украшений (т. е. диаграмма только с белыми узлами и без стрелок), когда ее интерпретируют как диаграмму Сатаке, представляет собой расщепленную вещественную форму алгебры Ли, тогда как она представляет собой компактную форму, когда ее интерпретируют как диаграмму Вогана.
