Категория бетона

Категория, снабженная точным функтором к категории множеств

В математике конкретная категория — это категория , которая снабжена точным функтором в категорию множеств (или иногда в другую категорию). Этот функтор позволяет думать об объектах категории как о множествах с дополнительной структурой , а об их морфизмах как о функциях, сохраняющих структуру. Многие важные категории имеют очевидные интерпретации как конкретные категории, например, категория топологических пространств и категория групп , а также тривиально и сама категория множеств. С другой стороны, гомотопическая категория топологических пространств не является конкретизируемой , т. е. она не допускает точного функтора в категорию множеств.

Конкретная категория, определяемая без ссылки на понятие категории, состоит из класса объектов , каждый из которых снабжен базовым набором ; и для любых двух объектов A и B — набором функций, называемых гомоморфизмами , из базового набора A в базовый набор B. Более того, для каждого объекта A функция тождества на базовом наборе A должна быть гомоморфизмом из A в A , а композиция гомоморфизма из A в B, за которым следует гомоморфизм из B в C, должна быть гомоморфизмом из A в C. ^[1]

Определение

Конкретная категория — это пара ( C , U ) такая, что

• C — это категория, а
• U  : C → Set (категория множеств и функций) является точным функтором .

Функтор U следует рассматривать как забывающий функтор , который каждому объекту C назначает его «базовое множество», а каждому морфизму в C — его «базовую функцию».

Морфизмы в конкретной категории принято называть гомоморфизмами (например, гомоморфизмы групп, гомоморфизмы колец и т. д.). Ввиду точности функтора U гомоморфизмы конкретной категории можно формально отождествить с их базовыми функциями (т. е. с их образами относительно U ); тогда гомоморфизмы вновь обретают обычную интерпретацию как функции, «сохраняющие структуру».

Категория C конкретизируема , если существует конкретная категория ( C , U ); т. е. если существует точный функтор U :  C → Set . Все малые категории конкретизируемы: определим U так, чтобы ее объектная часть отображала каждый объект b из C в множество всех морфизмов C , область значений которых равна b (т. е. все морфизмы вида f : a → b для любого объекта a из C ), а ее морфическая часть отображала каждый морфизм g : b → c из C в функцию U ( g ): U ( b ) → U ( c ), которая отображает каждый элемент f : a → b из U ( b ) в композицию gf : a → c , элемент U ( c ). (Пункт 6 в разделе «Дополнительные примеры» выражает то же самое U на менее элементарном языке с помощью предпучков.) Раздел «Контрпримеры» демонстрирует две большие категории, которые не поддаются конкретизации.

Замечания

Вопреки интуиции, конкретность — это не свойство , которому категория может или не может удовлетворять, а скорее структура, которой категория может или не может быть снабжена. В частности, категория C может допускать несколько верных функторов в Set . Следовательно, может быть несколько конкретных категорий ( C ,  U ), все из которых соответствуют одной и той же категории C .

На практике, однако, выбор верного функтора часто ясен, и в этом случае мы просто говорим о «конкретной категории C ». Например, «конкретная категория Set » означает пару ( Set ,  I ), где I обозначает тождественный функтор Set → Set .

Требование, чтобы U было точным, означает, что оно отображает различные морфизмы между одними и теми же объектами в разные функции. Однако U может отображать различные объекты в один и тот же набор, и если это произойдет, оно также будет отображать различные морфизмы в одну и ту же функцию.

Например, если S и T — две различные топологии на одном и том же множестве X , то ( X ,  S ) и ( X ,  T ) — различные объекты в категории Top топологических пространств и непрерывных отображений, но отображаемые на одно и то же множество X забывающим функтором Top → Set . Более того, тождественный морфизм ( X ,  S ) → ( X ,  S ) и тождественный морфизм ( X ,  T ) → ( X ,  T ) считаются различными морфизмами в Top , но они имеют одну и ту же базовую функцию, а именно тождественную функцию на X.

Аналогично любому множеству из четырех элементов можно задать две неизоморфные групповые структуры: одну изоморфную , а другую изоморфную . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$

Дополнительные примеры

1. Любая группа G может рассматриваться как «абстрактная» категория с одним произвольным объектом, и одним морфизмом для каждого элемента группы. Это не будет считаться конкретным в соответствии с интуитивным понятием, описанным в начале этой статьи. Но каждое верное G -множество (эквивалентно, каждое представление G как группы перестановок ) определяет верный функтор G → Set . Поскольку каждая группа действует верно на себе, G можно превратить в конкретную категорию по крайней мере одним способом. ${\displaystyle \ast }$
2. Аналогично, любой посет P можно рассматривать как абстрактную категорию с уникальной стрелкой x → y всякий раз, когда x ≤ y . Это можно сделать конкретным, определив функтор D  : P → Set , который отображает каждый объект x в и каждую стрелку x → y в отображение включения . ${\displaystyle D(x)=\{a\in P:a\leq x\}}$ ${\displaystyle D(x)\hookrightarrow D(y)}$
3. Категория Rel, чьи объекты являются множествами , а морфизмы — отношениями , может быть конкретизирована путем взятия U для отображения каждого множества X в его множество мощности , а каждого отношения в функцию, определенную с помощью . Заметив, что множества мощности являются полными решетками относительно включения, те функции между ними, которые возникают из некоторого отношения R таким образом, являются в точности отображениями, сохраняющими супремум . Следовательно , Rel эквивалентна полной подкатегории категории Sup полных решеток и их отображений, сохраняющих супремум. Наоборот, исходя из этой эквивалентности, мы можем восстановить U как композицию Rel → Sup → Set забывающего функтора для Sup с этим вложением Rel в Sup . ${\displaystyle 2^{X}}$ ${\displaystyle R\subseteq X\times Y}$ ${\displaystyle \rho :2^{X}\rightarrow 2^{Y}}$ ${\displaystyle \rho (A)=\{y\in Y\mid \exists \,x\in A:xRy\}}$
4. Категория Set ^op может быть вложена в Rel, представляя каждое множество как само себя и каждую функцию f : X → Y как отношение от Y к X, образованное как множество пар ( f ( x ), x ) для всех x ∈ X ; следовательно, Set ^op конкретизируем. Забывчивый функтор, который возникает таким образом, является контравариантным функтором powerset Set ^op → Set .
5. Из предыдущего примера следует, что противоположность любой конкретизируемой категории C снова конкретизируема, поскольку если U — точный функтор C → Set , то C ^op может быть снабжен композитом C ^op → Set ^op → Set .
6. Если C — любая малая категория, то существует точный функтор P  : Set ^{C op} → Set , который отображает предпучок X в копроизведение . Составляя это с вложением Йонеды Y : C → Set ^{C op ,} получаем точный функтор C → Set . ${\displaystyle \coprod _{c\in \mathrm {ob} C}X(c)}$
7. По техническим причинам категория Ban ₁ банаховых пространств и линейных сжатий часто оснащается не «очевидным» забывающим функтором, а функтором U ₁  : Ban ₁ → Set , который отображает банахово пространство в его (замкнутый) единичный шар .
8. Категорию Cat, чьи объекты являются малыми категориями, а чьи морфизмы являются функторами, можно конкретизировать, отправив каждую категорию C в множество, содержащее ее объекты и морфизмы. Функторы можно просто рассматривать как функции, действующие на объекты и морфизмы.

Контрпримеры

Категория hTop , где объекты являются топологическими пространствами , а морфизмы — гомотопическими классами непрерывных функций, является примером категории, которая не является конкретизируемой. В то время как объекты являются множествами (с дополнительной структурой), морфизмы не являются фактическими функциями между ними, а скорее классами функций. Тот факт, что не существует ни одного верного функтора из hTop в Set, был впервые доказан Питером Фрейдом . В той же статье Фрейд приводит более ранний результат о том, что категория «малых категорий и естественных эквивалентных -классов функторов» также не является конкретизируемой.

Неявная структура конкретных категорий

Для данной конкретной категории ( C ,  U ) и кардинального числа N пусть U ^N будет функтором C → Set, ^{определяемым} соотношением U ^N (c) = (U(c)) ^N. Тогда подфунктор U N называется N-арным предикатом , а естественное преобразование U ^N → U — N -арной операцией .

Класс всех N -арных предикатов и N -арных операций конкретной категории ( C , U ), где N пробегает класс всех кардинальных чисел, образует большую сигнатуру . Категория моделей для этой сигнатуры тогда содержит полную подкатегорию , которая эквивалентна C.

Относительная конкретность

В некоторых разделах теории категорий, особенно в теории топосов , принято заменять категорию Set другой категорией X , часто называемой базовой категорией . По этой причине имеет смысл называть пару ( C ,  U ), где C — категория, а U — точный функтор C → X, конкретной категорией над X . Например, может быть полезно думать о моделях теории с N сортами как о формирующих конкретную категорию над Set ^N .

В этом контексте конкретная категория над множеством иногда называется конструктом .

Примечания

1. Мак Лейн, Сондерс ; Биркгофф, Гарретт (1999), Алгебра (3-е изд.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-1646-2

Ссылки

• Адамек, Иржи, Херлих, Хорст и Стрекер, Джордж Э.; (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF, 4,2 МБ). Первоначально опубл. Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-60922-6 . (теперь бесплатное онлайн-издание). 
• Фрейд, Питер; (1970). Гомотопия не конкретна. Первоначально опубликовано в: The Steenrod Algebra and its Applications, Springer Lecture Notes in Mathematics Vol. 168. Переиздано в бесплатном онлайн-журнале: Reprints in Theory and Applications of Categories, No. 6 (2004), с разрешения Springer-Verlag.
• Росицкий, Йиржи; (1981). Конкретные категории и бесконечные языки . Журнал чистой и прикладной алгебры, том 22, выпуск 3.