Рукоятка перегородки

Фримен Дайсон в 2005 году

В теории чисел кривошип целочисленного разбиения — это определенное число, связанное с разбиением. Впервые он был введен без определения Фрименом Дайсоном , который выдвинул гипотезу о его существовании в статье 1944 года. ^[1] Дайсон привел список свойств, которыми должна обладать эта еще не определенная величина. В 1988 году Джордж Э. Эндрюс и Фрэнк Гарван нашли определение для кривошипа, удовлетворяющее свойствам, выдвинутым для него Дайсоном. ^[2]

Рукоятка Дайсона

Пусть n — неотрицательное целое число, а p ( n ) обозначает число разбиений n ( p (0) определяется как 1). Шриниваса Рамануджан в статье ^[3], опубликованной в 1918 году, сформулировал и доказал следующие сравнения для функции разбиения p ( n ), с тех пор известные как сравнения Рамануджана .

• p (5 n + 4) ≡ 0 (мод 5)
• p (7 n + 5) ≡ 0 (мод 7)
• p (11 n + 6) ≡ 0 (мод 11)

Эти сравнения подразумевают, что разбиения чисел вида 5 n + 4 (соответственно, вида 7 n + 5 и 11 n + 6 ) можно разделить на 5 (соответственно, 7 и 11) подклассов равной величины. Известные тогда доказательства этих сравнений основывались на идеях производящих функций и не указывали метода разделения разбиений на подклассы равной величины.

В своей статье Eureka Дайсон предложил концепцию ранга разбиения . Ранг разбиения — это целое число, полученное вычитанием количества частей в разбиении из наибольшей части в разбиении. Например, ранг разбиения λ = {4, 2, 1, 1, 1} числа 9 равен 4 − 5 = −1. Обозначая через N ( m , q , n ) количество разбиений n , ранги которых сравнимы с m по модулю q , Дайсон рассмотрел N ( m , 5, 5 n + 4) и N ( m , 7, 7 n + 5) для различных значений n и m . Основываясь на эмпирических свидетельствах, Дайсон сформулировал следующие гипотезы, известные как гипотезы ранга .

Для всех неотрицательных целых чисел n имеем:

• N (0, 5, 5 n + 4) = N (1, 5, 5 n + 4) = N (2, 5, 5 n + 4) = N (3, 5, 5 n + 4) = N (4, 5, 5 n + 4).
• N (0, 7, 7 n + 5) = N (1, 7, 7 n + 5) = N (2, 7, 7 n + 5) = N (3, 7, 7 n + 5) = N (4, 7, 7 n + 5) = N (5, 7, 7 n + 5) = N (6, 7, 7 n + 5)

Предполагая, что эти предположения верны, они предложили способ разбиения всех разбиений чисел вида 5 n + 4 на пять классов одинакового размера: поместите в один класс все те разбиения, ранги которых сравнимы друг с другом по модулю 5. Эту же идею можно применить для разбиения разбиений целых чисел вида 7 n + 5 на семь равновеликих классов. Но эта идея не позволяет разбить разбиения целых чисел вида 11 n + 6 на 11 классов одинакового размера, как показывает следующая таблица.

Разбиения целого числа 6 (11 n + 6, где n = 0), разделенные на классы на основе рангов

Таким образом, ранг не может быть использован для доказательства теоремы комбинаторно. Однако Дайсон писал:

Я фактически считаю:

• что существует арифметический коэффициент, аналогичный рангу разбиения, но более заумный, чем он; я буду называть этот гипотетический коэффициент «кривошипом» разбиения и обозначать через M ( m , q , n ) число разбиений n , кривошип которых сравним с m по модулю q;
• что M ( m , q , n ) = M ( q − m , q , n );
• что М (0, 11, 11 n + 6) = М (1, 11, 11 n + 6) = М (2, 11, 11 n + 6) = М (3, 11, 11 n + 6) = М (4, 11, 11 n + 6);
• что . . .

Подтверждены ли эти догадки доказательствами, я предоставляю решать читателю. Каким бы ни был окончательный вердикт потомков, я считаю, что «кривошип» уникален среди арифметических функций, поскольку был назван до того, как был открыт. Пусть он будет спасен от позорной участи планеты Вулкан .

Определение кривошипа

В статье ^[2], опубликованной в 1988 году, Джордж Э. Эндрюс и Ф. Г. Гарван определили изгиб перегородки следующим образом:

Для разбиения λ пусть ℓ ( λ ) обозначает наибольшую часть λ , ω ( λ ) обозначает количество единиц в λ , а µ ( λ ) обозначает количество частей λ , больших, чем ω ( λ ). Кривошип c ( λ ) определяется выражением

${\displaystyle c(\lambda )={\begin{cases}\ell (\lambda )&{\text{if }}\omega (\lambda )=0\\\mu (\lambda )-\omega (\lambda )&{\text{if }}\omega (\lambda )>0.\end{cases}}}$

Кривые разбиений целых чисел 4, 5, 6 вычисляются в следующих таблицах.

Рукоятки перегородок 4

Рукоятки перегородок 5

Рукоятки перегородок 6

Обозначения

Для всех целых чисел n ≥ 0 и всех целых чисел m число разбиений n с кривошипом, равным m, обозначается как M ( m , n ), за исключением n  = 1, где M (−1,1) = − M (0,1) = M (1,1) = 1, как указано следующей производящей функцией. Число разбиений n с кривошипом, равным m, по модулю q обозначается как M ( m , q , n ).

Производящая функция для M ( m , n ) приведена ниже:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=-\infty }^{\infty }M(m,n)z^{m}q^{n}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{n})}{(1-zq^{n})(1-z^{-1}q^{n})}}}$

Основной результат

Эндрюс и Гарван доказали следующий результат ^[2], который показывает, что кривошип, определенный выше, действительно соответствует условиям, заданным Дайсоном.

• М (0, 5, 5 n + 4) = М (1, 5, 5 n + 4) = М (2, 5, 5 n + 4) = М (3, 5, 5 n + 4) = М (4, 5, 5 n + 4) = р (5 n + 4) / 5
• М (0, 7, 7 n + 5) = М (1, 7, 7 n + 5) = М (2, 7, 7 n + 5) = М (3, 7, 7 n + 5) = М (4, 7, 7 n + 5) = М (5, 7, 7 n + 5) = М (6, 7, 7 n + 5) = р (7 n + 5) / 7
• М (0, 11, 11 n + 6) = М (1, 11, 11 n + 6) = М (2, 11, 11 n + 6) = М (3, 11, 11 n + 6) = . . . = М (9, 11, 11 n + 6) = М (10, 11, 11 n + 6) = p (11 n + 6) / 11

Концепции ранга и кривошипа могут быть использованы для классификации разделов определенных целых чисел на подклассы одинакового размера. Однако эти две концепции создают разные подклассы разделов. Это проиллюстрировано в следующих двух таблицах.

Классификация разбиений целого числа 9 на основе кривошипов

Классификация разбиений целого числа 9 на основе рангов

Рамануджан и чудаки

Недавняя работа Брюса К. Берндта и его соавторов утверждала, что Рамануджан знал о кривошипе, хотя и не в той форме, которую определили Эндрюс и Гарван. В систематическом исследовании утерянной тетради Рамануджана Берндт и его соавторы привели существенные доказательства того, что Рамануджан знал о рассечениях производящей функции кривошипа. ^{[4] [5]}

Ссылки

1. Фримен Дж. Дайсон (1944). «Некоторые догадки в теории разделов» (PDF) . Эврика (Кембридж) . 8 : 10–15. ISBN 9780821805619.
2. Джордж Э. Эндрюс; Ф.Г. Гарван (апрель 1988 г.). «Рукоятка перегородки Дайсона» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 18 (2) . Проверено 26 ноября 2012 г.
3. Шриниваса, Рамануджан (1919). «Некоторые свойства p ( n ), число разбиений n ». Труды Кембриджского философского общества . XIX : 207–210.
4. Manjil P. Saikia (2013). «Чудаки в утерянной записной книжке Рамануджана». Журнал Ассамской академии математики . 6. arXiv : 1402.6644 . Bibcode : 2014arXiv1402.6644S.
5. « Исследование функции кривошипа в потерянной записной книжке Рамануджана». Студент-математик . 84. arXiv : 1406.3299 . Bibcode : 2014arXiv1406.3299S.