Сравнения Рамануджана

Some remarkable congruences for the partition function

В математике сравнения Рамануджана — это сравнения для статистической суммы p ( n ), открытой Шринивасой Рамануджаном :

${\displaystyle {\begin{aligned}p(5k+4)&\equiv 0{\pmod {5}},\\p(7k+5)&\equiv 0{\pmod {7}},\\p(11k+6)&\equiv 0{\pmod {11}}.\end{aligned}}}$

Проще говоря, например, первое сравнение означает, что если число на 4 больше, чем кратно 5, т.е. оно находится в последовательности

4, 9, 14, 19, 24, 29, . . .

то число его разделов кратно 5.

Позднее были обнаружены и другие сравнения этого типа для чисел и для тау-функций .

Фон

В своей статье 1919 года ^[1] он доказал первые два сравнения, используя следующие тождества (используя обозначение символов q-Похгаммера ):

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=0}^{\infty }p(5k+4)q^{k}=5{\frac {(q^{5})_{\infty }^{5}}{(q)_{\infty }^{6}}},\\[4pt]&\sum _{k=0}^{\infty }p(7k+5)q^{k}=7{\frac {(q^{7})_{\infty }^{3}}{(q)_{\infty }^{4}}}+49q{\frac {(q^{7})_{\infty }^{7}}{(q)_{\infty }^{8}}}.\end{aligned}}}$

Затем он заявил, что «по-видимому, не существует столь же простых свойств для любых модулей, включающих простые числа, кроме этих».

После смерти Рамануджана в 1920 году Г. Х. Харди извлек доказательства всех трех сравнений из неопубликованной рукописи Рамануджана о p ( n ) (Ramanujan, 1921). Доказательство в этой рукописи использует ряд Эйзенштейна .

В 1944 году Фримен Дайсон определил ранговую функцию для разбиения и предположил существование «кривошипной» функции для разбиений , которая обеспечила бы комбинаторное доказательство сравнений Рамануджана по модулю 11. Сорок лет спустя Джордж Эндрюс и Фрэнк Гарван нашли такую ​​функцию и доказали знаменитый результат, что «кривошип» одновременно «объясняет» три сравнения Рамануджана по модулю 5, 7 и 11.

В 1960-х годах А.О.Л. Аткин из Иллинойсского университета в Чикаго открыл дополнительные сравнения для малых простых модулей. Например:

${\displaystyle p(11^{3}\cdot 13k+237)\equiv 0{\pmod {13}}.}$

Расширяя результаты А. Аткина, Кен Оно в 2000 году доказал, что существуют такие сравнения Рамануджана по модулю любого целого числа, взаимно простого с 6. Например, его результаты дают

${\displaystyle p(107^{4}\cdot 31k+30064597)\equiv 0{\pmod {31}}.}$

Позже Кен Оно предположил, что неуловимый чудак также удовлетворяет точно тем же типам общих конгруэнтностей. Это доказал его аспирант Карл Малбург в своей статье 2005 года « Конгруэнтности разбиения и чудак Эндрюса–Гарвана–Дайсона» , ссылка на которую приведена ниже. Эта статья выиграла первую премию Proceedings of the National Academy of Sciences Paper of the Year. ^[2]

Концептуальное объяснение наблюдения Рамануджана было наконец найдено в январе 2011 года ^[3] путем рассмотрения размерности Хаусдорфа следующей функции в l-адической топологии: ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P_{\ell }(b;z):=\sum _{n=0}^{\infty }p\left({\frac {\ell ^{b}n+1}{24}}\right)q^{n/24}.}$

Видно, что она имеет размерность 0 только в случаях, когда ℓ  = 5, 7 или 11, и поскольку статистическую сумму можно записать в виде линейной комбинации этих функций ^[4], это можно считать формализацией и доказательством наблюдения Рамануджана.

В 2001 году Р. Л. Уивер предложил эффективный алгоритм для поиска сравнений функции распределения и составил таблицу из 76 065 сравнений. ^[5] В 2012 году Ф. Йоханссон расширил ее до 22 474 608 014 сравнений, ^[6] одним из крупных примеров является

${\displaystyle p(999959^{4}\cdot 29k+28995221336976431135321047)\equiv 0{\pmod {29}}.}$

Ссылки

1. Рамануджан, С. (1921). «Свойства конгруэнтности перегородок». Mathematische Zeitschrift . 9 (1–2): 147–153. дои : 10.1007/bf01378341. S2CID  121753215.
2. "Премия Коццарелли". Национальная академия наук . Июнь 2014. Получено 2014-08-06 .
3. Фолсом, Аманда ; Кент, Закари А.; Оно, Кен (2012). "ℓ-Адические свойства функции распределения". Успехи в математике . 229 (3): 1586. doi : 10.1016/j.aim.2011.11.013 .
4. Bruinier, Jan Hendrik; Ono, Ken (2013). "Алгебраические формулы для коэффициентов полуцелых весовых гармонических слабых форм Мааса" (PDF) . Advances in Mathematics . 246 : 198–219. arXiv : 1104.1182 . Bibcode :2011arXiv1104.1182H. doi : 10.1016/j.aim.2013.05.028 .
5. Weaver, Rhiannon L. (2001). «Новые сравнения для функции распределения». The Ramanujan Journal . 5 : 53–63. doi :10.1023/A:1011493128408. S2CID  119699656.
6. Йоханссон, Фредрик (2012). «Эффективная реализация формулы Харди–Рамануджана–Радемахера». LMS Journal of Computation and Mathematics . 15 : 341–359. arXiv : 1205.5991 . doi : 10.1112/S1461157012001088. S2CID  16580723.

• Оно, Кен (2000). «Распределение функции распределения по модулю m». Annals of Mathematics . Вторая серия. 151 (1): 293–307. arXiv : math/0008140 . Bibcode :2000math......8140O. doi :10.2307/121118. JSTOR  121118. S2CID  119750203. Zbl  0984.11050.
• Оно, Кен (2004). Сеть модулярности: арифметика коэффициентов модулярных форм и q-рядов . Серия региональных конференций CBMS по математике. Том 102. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-3368-1. Збл  1119.11026.
• Рамануджан, С. (1919). «Некоторые свойства p(n), числа разбиений n». Труды Кембриджского философского общества . 19 : 207–210. JFM  47.0885.01.

Внешние ссылки

• Малбург, К. (2005). «Сравнения разбиений и чудак Эндрюса–Гарвана–Дайсона» (PDF) . Труды Национальной академии наук . 102 (43): 15373–76. Bibcode :2005PNAS..10215373M. doi : 10.1073/pnas.0506702102 . PMC  1266116 . PMID  16217020.
• Ранг Дайсона, чудак и примыкающий. Список литературы.