Цепь (алгебраическая топология)

Формальная линейная комбинация

В алгебраической топологии k - цепь — это формальная линейная комбинация k -клеток в клеточном комплексе . В симплициальных комплексах (соответственно, кубических комплексах ) k -цепи являются комбинациями k - симплексов (соответственно, k -кубов), ^[1] [ ^{2] [3],} но не обязательно связанных. Цепи используются в гомологии ; элементы группы гомологий — это классы эквивалентности цепей.

Определение

Для симплициального комплекса группа -цепей задается выражением: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle C_{n}(X)=\left\{\sum \limits _{i}m_{i}\sigma _{i}|m_{i}\in \mathbb {Z} \right\}}$

где - сингулярные -симплексы . любой элемент не обязательно должен быть связным симплициальным комплексом. ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$

Интеграция в цепочки

Интеграция определяется на цепях путем взятия линейной комбинации интегралов по симплексам в цепочке с коэффициентами (которые обычно являются целыми числами). Набор всех k -цепей образует группу, а последовательность этих групп называется цепным комплексом .

Граничный оператор на цепях

Граница многоугольной кривой представляет собой линейную комбинацию ее узлов; в данном случае, некоторую линейную комбинацию A ₁ через A ₆ . Предполагая, что все сегменты ориентированы слева направо (в порядке возрастания от A _k до A _{k +1} ), граница имеет вид A ₆ − A ₁ .

Замкнутая многоугольная кривая, предполагающая постоянную ориентацию, имеет нулевую границу.

Граница цепи — это линейная комбинация границ симплексов в цепи. Граница k -цепи — это ( k −1)-цепь. Обратите внимание, что граница симплекса — это не симплекс, а цепь с коэффициентами 1 или −1 — таким образом, цепи являются замыканием симплексов под действием граничного оператора.

Пример 1: Граница пути — это формальная разность его конечных точек: это телескопическая сумма . Для иллюстрации, если 1-цепь — это путь из точки в точку , где , и — ее составляющие 1-симплексы, то ${\displaystyle c=t_{1}+t_{2}+t_{3}\,}$ ${\displaystyle v_{1}\,}$ ${\displaystyle v_{4}\,}$ ${\displaystyle t_{1}=[v_{1},v_{2}]\,}$ ${\displaystyle t_{2}=[v_{2},v_{3}]\,}$ ${\displaystyle t_{3}=[v_{3},v_{4}]\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{1}c&=\partial _{1}(t_{1}+t_{2}+t_{3})\\&=\partial _{1}(t_{1})+\partial _{1}(t_{2})+\partial _{1}(t_{3})\\&=\partial _{1}([v_{1},v_{2}])+\partial _{1}([v_{2},v_{3}])+\partial _{1}([v_{3},v_{4}])\\&=([v_{2}]-[v_{1}])+([v_{3}]-[v_{2}])+([v_{4}]-[v_{3}])\\&=[v_{4}]-[v_{1}].\end{aligned}}}$

Пример 2: Граница треугольника представляет собой формальную сумму его сторон со знаками, расположенными так, чтобы обход границы производился против часовой стрелки.

Цепь называется циклом , когда ее граница равна нулю. Цепь, которая является границей другой цепи, называется границей . Границы являются циклами, поэтому цепи образуют цепной комплекс , чьи группы гомологии (циклы по модулю границ) называются симплициальными группами гомологии .

Пример 3: Плоскость, проколотая в начале координат, имеет нетривиальную 1-гомологическую группу, поскольку единичная окружность является циклом, но не границей.

В дифференциальной геометрии двойственность между граничным оператором на цепях и внешней производной выражается общей теоремой Стокса .

Ссылки

1. Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Cambridge University Press . ISBN 0-521-79540-0.
2. Ли, Джон М. (2011). Введение в топологические многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-1441979391. OCLC  697506452.
3. Качиньский, Томаш; Мишайков, Константин; Мрожек, Мариан (2004). Вычислительная гомология . Прикладные математические науки. Т. 157. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/b97315. ISBN 0-387-40853-3. МР  2028588.