Descartes on Polyhedra: A Study of the "De solidorum elementis" — книга по истории математики , посвященная работе Рене Декарта о многогранниках . Центральное место в книге занимает спорный приоритет полиэдральной формулы Эйлера между Леонардом Эйлером , опубликовавшим явную версию формулы, и Декартом, чья работа De solidorum elementis включает результат, из которого формула легко выводится. [1]
Книга «Декарт о многогранниках» была написана Паскуале Жозефом Федерико (1902–1982) и опубликована посмертно издательством Springer-Verlag в 1982 году при содействии вдовы Федерико Бьянки М. Федерико в качестве 4-го тома их серии книг «Источники по истории математики и физических наук». [2] Комитет по списку основных библиотек Математической ассоциации Америки предложил включить ее в библиотеки по математике для студентов. [3]
Оригинальная латинская рукопись De solidorum elementis была написана Декартом около 1630 года; рецензент Марджори Сенешаль называет ее «первой общей трактовкой многогранников», единственной работой Декарта в этой области, и незаконченной, с ее беспорядочными и некоторыми неверными утверждениями. [4] Она оказалась в Стокгольме в поместье Декарта после его смерти в 1650 году, три дня пролежала в Сене , когда корабль, перевозивший ее обратно в Париж, потерпел крушение, и просуществовала достаточно долго, чтобы Готфрид Вильгельм Лейбниц смог скопировать ее в 1676 году, прежде чем исчезнуть навсегда. Копия Лейбница, также утерянная, была вновь обнаружена в Ганновере около 1860 года. Первая часть «Декарта о многогранниках» повествует об этой истории, дает набросок биографии Декарта, содержит одиннадцатистраничную факсимильную репродукцию копии Лейбница и дает транскрипцию, английский перевод и комментарии к этому тексту, включая объяснения некоторых его обозначений. [2] [5]
В De solidorum elementis Декарт формулирует (без доказательства) теорему Декарта о полном угловом дефекте , дискретную версию теоремы Гаусса–Бонне, согласно которой угловые дефекты вершин выпуклого многогранника (величина, на которую углы при этой вершине отстают от угла, окружающего любую точку на плоской плоскости) всегда в сумме дают ровно . Декарт использовал эту теорему, чтобы доказать, что пять Платоновых тел являются единственными возможными правильными многогранниками. Также можно вывести формулу Эйлера, связывающую числа вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, из теоремы Декарта [2] , и De solidorum elementis также включает в себя формулу, более похожую на формулу Эйлера, связывающую числа вершин, граней и плоских углов многогранника. [1] После повторного открытия рукописи Декарта многие ученые утверждали, что заслуга в формуле Эйлера должна принадлежать Декарту, а не Леонарду Эйлеру , который опубликовал формулу (с неверным доказательством) в 1752 году. Вторая часть «Декарта о многогранниках» рассматривает этот спор и сравнивает рассуждения Декарта и Эйлера по этим темам. В конечном счете, книга приходит к выводу, что Декарт, вероятно, не открыл формулу Эйлера, и рецензенты Сенешаль и Х. С. М. Коксетер соглашаются, написав, что у Декарта не было концепции для ребер многогранника, и без нее он не смог бы сформулировать саму формулу Эйлера. [2] [4] Впоследствии, в связи с этой работой, было обнаружено, что Франческо Мауролико предоставил более прямого и гораздо более раннего предшественника работы Эйлера, наблюдение в 1537 году (без доказательства его более общей применимости) о том, что сама формула Эйлера верна для пяти Платоновых тел. [6]
Вторая часть книги Декарта и третья часть Декарта о многогранниках связывают теорию многогранников с теорией чисел . Она касается фигурных чисел, определенных Декартом из многогранников, обобщая классические греческие определения фигурных чисел, таких как квадратные числа и треугольные числа из двумерных многоугольников . В этой части Декарт использует как Платоновы тела, так и некоторые из полуправильных многогранников , но не плосконосые многогранники . [2] [7]
Рецензент FA Sherk, отметив очевидную значимость книги Descartes on Polyhedra для историков математики, рекомендует ее также геометрам и математикам-любителям. Он пишет, что она дает хорошее введение в некоторые важные темы в математике многогранников, устанавливает интересную связь с теорией чисел и легко читается без особых фоновых знаний. [7] Marjorie Senechal указывает, что, помимо вопроса приоритета между Декартом и Эйлером, книга также полезна для освещения того, что было известно о геометрии в более общем плане во времена Декарта. [4] Более кратко, рецензент L. Führer называет книгу красивой, читабельной и живой, но дорогой. [5]
