Дифференциальное включение

В математике дифференциальные включения являются обобщением понятия обыкновенного дифференциального уравнения вида

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(t)\in F(t,x(t)),}$

где F — многозначное отображение , т. е. F ( t , x ) — это множество , а не отдельная точка в . Дифференциальные включения возникают во многих ситуациях, включая дифференциальные вариационные неравенства , проектируемые динамические системы , процесс выметания Моро, линейные и нелинейные динамические системы комплементарности, разрывные обыкновенные дифференциальные уравнения, переключающиеся динамические системы и арифметику нечетких множеств . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Например, основное правило для кулоновского трения заключается в том, что сила трения имеет величину μN в направлении, противоположном направлению скольжения, где N — нормальная сила, а μ — константа (коэффициент трения). Однако, если скольжение равно нулю, сила трения может быть любой силой в правильной плоскости с величиной, меньшей или равной μN . Таким образом, запись силы трения как функции положения и скорости приводит к заданной функции .

В дифференциальном включении мы не только берем отображение со значениями множеств в правой части, но также можем взять подмножество евклидова пространства для некоторого следующего способа. Пусть и Наша главная цель — найти функцию, удовлетворяющую дифференциальному включению ae в , где — открытое ограниченное множество. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{n\times n}\setminus \{0\}.}$ ${\displaystyle W_{0}^{1,\infty }(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Du\in E}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$

Теория

Теория существования обычно предполагает, что F ( t ,  x ) является верхней хеминепрерывной функцией x , измеримой по t , и что F ( t ,  x ) является замкнутым, выпуклым множеством для всех t и x . Существование решений для задачи начального значения

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(t)\in F(t,x(t)),\quad x(t_{0})=x_{0}}$

для достаточно малого интервала времени [ t ₀ ,  t ₀  +  ε ), тогда следует ε  > 0. Глобальное существование может быть показано при условии, что F не допускает «раздутия» ( как для конечного ). ${\displaystyle \scriptstyle \Vert x(t)\Vert \,\to \,\infty }$ ${\displaystyle \scriptstyle t\,\to \,t^{*}}$ ${\displaystyle \scriptstyle t^{*}}$

Теория существования дифференциальных включений с невыпуклым F ( t ,  x ) является активной областью исследований.

Единственность решений обычно требует других условий. Например, предположим, что удовлетворяет одностороннему условию Липшица : ${\displaystyle F(t,x)}$

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{T}(F(t,x_{1})-F(t,x_{2}))\leq C\Vert x_{1}-x_{2}\Vert ^{2}}$

для некоторого C для всех x ₁ и x _2. Тогда начальная задача

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(t)\in F(t,x(t)),\quad x(t_{0})=x_{0}}$

имеет уникальное решение.

Это тесно связано с теорией максимальных монотонных операторов , разработанной Минти и Хаимом Брезисом .

Теория Филиппова допускает только разрывы в производной , но не допускает разрывов в состоянии, т.е. должна быть непрерывной. Шацман и позже Моро (который дал ей ныне принятое название) расширили понятие до меры дифференциального включения (МДИ), в которой включение оценивается путем взятия предела сверху для . ^{[2] [3]} ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$

Приложения

Дифференциальные включения могут быть использованы для понимания и соответствующей интерпретации разрывных обыкновенных дифференциальных уравнений, например, возникающих при трении Кулона в механических системах и идеальных переключателях в силовой электронике. Важный вклад был сделан А. Ф. Филипповым , который изучал регуляризации разрывных уравнений. Далее, техника регуляризации была использована Н. Н. Красовским в теории дифференциальных игр .

Дифференциальные включения также лежат в основе анализа негладких динамических систем (NSDS) ^[4] , который используется в аналоговом исследовании коммутационных электрических цепей с использованием идеализированных компонентных уравнений (например, с использованием идеализированных прямых вертикальных линий для резко экспоненциальных областей прямой и пробивной проводимости характеристики диода ) ^[5] и в исследовании некоторых негладких механических систем , таких как прерывистые колебания в системах с сухим трением или динамика ударных явлений. ^[6] Существует программное обеспечение, которое решает системы NSDS, например, Siconos от INRIA .

В непрерывной функции, когда нечеткая концепция используется в дифференциальном включении, появляется новая концепция нечеткого дифференциального включения , которая применяется в моделировании атмосферной дисперсии и кибернетике в медицинской визуализации .

Смотрите также

• Жесткость , которая влияет на ОДУ/ДАУ для функций с «резкими поворотами» и которая влияет на численную сходимость

Ссылки

1. Броглиато, Бернард; Танвани, Анил (2020). «Динамические системы, связанные с монотонными многозначными операторами: формализмы, приложения, корректность и устойчивость». Обзор SIAM, т. 62, № 1, стр. 3–129, доступно по адресу hal.inria.fr/hal-02379498.
2. Дэвид Э. Стюарт (2011). Динамика неравенства: воздействия и жесткие ограничения . SIAM. стр. 125. ISBN 978-1-61197-070-8.
3. Бернард Брольято (2016). Негладкая механика. Модели, динамика и управление . Springer international Publishing Switzerland, 3-е изд. ISBN 978-3-319-28664-8.
4. Маркус Кунце (2000). Негладкие динамические системы . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-67993-6.
5. Винсент Акари; Оливье Боннефон; Бернар Брольято (2010). Негладкое моделирование и имитация для коммутируемых цепей . Springer Science & Business Media. стр. 3–4. ISBN 978-90-481-9681-4.
6. Ремко И. Лейне; Хендрик Неймейер (2013). Динамика и бифуркации негладких механических систем . Springer Science & Business Media. стр. V (предисловие). ISBN 978-3-540-44398-8.

• Обен, Жан-Пьер; Челлина, Арриго (1984). Дифференциальные включения, многозначные отображения и теория жизнеспособности . Grundl. der Math. Wiss. Vol. 264. Берлин: Springer. ISBN 9783540131052.
• Обен, Жан-Пьер; Франковска, Элен (1990). Многозначный анализ . Биркхойзер. ISBN 978-0817648473.
• Даймлинг, Клаус (1992). Многозначные дифференциальные уравнения . Вальтер де Грюйтер. ISBN 978-3110132120.
• Андрес, Дж.; Гурневич, Лех (2003). Топологические принципы неподвижных точек для краевых задач . Springer. ISBN 978-9048163182.
• Филиппов, А.Ф. (1988). Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями . Kluwer Academic Publishers Group. ISBN 90-277-2699-X.