В математике топологическая группа G называется дискретной группой , если в ней нет предельной точки (т. е. для каждого элемента в G существует окрестность, содержащая только этот элемент). Эквивалентно, группа G дискретна тогда и только тогда, когда ее единица изолирована . [1]
Подгруппа H топологической группы G называется дискретной подгруппой , если H дискретна, когда наделена топологией подпространства из G . Другими словами, в G существует окрестность единицы, не содержащая других элементов из H . Например, целые числа Z образуют дискретную подгруппу действительных чисел R ( со стандартной метрической топологией ), а рациональные числа Q — нет.
Любую группу можно наделить дискретной топологией , что делает ее дискретной топологической группой. Поскольку каждое отображение дискретного пространства является непрерывным , топологические гомоморфизмы между дискретными группами — это в точности групповые гомоморфизмы между базовыми группами. Следовательно, существует изоморфизм между категорией групп и категорией дискретных групп. Таким образом, дискретные группы можно идентифицировать с лежащими в их основе (нетопологическими) группами.
Бывают случаи, когда топологическая группа или группа Ли с пользой наделяются дискретной топологией «против природы». Это происходит, например, в теории компактификации Бора и в теории групповых когомологий групп Ли.
Дискретная группа изометрий — это такая группа изометрий, что для каждой точки метрического пространства множество образов точки под изометриями представляет собой дискретное множество . Дискретная группа симметрии — это группа симметрии, которая является дискретной группой изометрии.
Поскольку топологические группы однородны , достаточно посмотреть только в одну точку, чтобы определить, является ли топологическая группа дискретной. В частности, топологическая группа дискретна, только если одиночный элемент , содержащий единицу, является открытым множеством .
Дискретная группа — это то же самое, что и нульмерная группа Ли ( несчетные дискретные группы не являются вторично-счетными , поэтому авторы, которые требуют, чтобы группы Ли обладали этим свойством, не считают эти группы группами Ли). Единичный компонент дискретной группы — это просто тривиальная подгруппа, тогда как группа компонентов изоморфна самой группе.
Поскольку единственной топологией Хаусдорфа на конечном множестве является дискретная, конечная топологическая группа Хаусдорфа обязательно должна быть дискретной. Отсюда следует, что каждая конечная подгруппа хаусдорфовой группы дискретна.
Дискретная подгруппа H группы G называется кокомпактной, если существует компактное подмножество K группы G такое, что HK = G .
Дискретные нормальные подгруппы играют важную роль в теории накрывающих групп и локально изоморфных групп. Дискретная нормальная подгруппа связной группы G обязательно лежит в центре G и, следовательно , абелева .
Другие свойства :
СМИ, связанные с дискретными группами, на Викискладе?