В математике эквалайзер — это набор аргументов, где две или более функций имеют равные значения. Эквалайзер — это набор решений уравнения . В определенных контекстах разностное ядро — это эквалайзер ровно двух функций.
Пусть X и Y — множества . Пусть f и g — функции , обе из X в Y. Тогда уравнитель f и g — это множество элементов x из X, таких, что f ( x ) равно g ( x ) в Y . Символически:
Эквалайзер может быть обозначен как Eq( f , g ) или вариацией на эту тему (например, строчными буквами "eq"). В неформальном контексте общепринятым является обозначение { f = g }.
В определении выше использовались две функции f и g , но нет необходимости ограничиваться только двумя функциями или даже только конечным числом функций. В общем случае, если F — это набор функций от X до Y , то уравнитель элементов F — это набор элементов x из X такой, что для любых двух элементов f и g из F f ( x ) равно g ( x ) в Y . Символически:
Этот уравнитель может быть записан как Eq( f , g , h , ...), если есть набор { f , g , h , ...}. В последнем случае можно также найти { f = g = h = ···} в неформальных контекстах.
В качестве вырожденного случая общего определения, пусть F будет синглтоном { f }. Поскольку f ( x ) всегда равен самому себе, уравнителем должен быть весь домен X . В качестве еще более вырожденного случая, пусть F будет пустым множеством . Тогда уравнителем снова будет весь домен X , поскольку всеобщая квантификация в определении является бессодержательно истинной .
Двоичный эквалайзер (то есть эквалайзер всего двух функций) также называется ядром разности . Его также можно обозначить как DiffKer( f , g ), Ker( f , g ) или Ker( f − g ). Последнее обозначение показывает, откуда взялась эта терминология и почему она наиболее распространена в контексте абстрактной алгебры : ядро разности f и g — это просто ядро разности f − g . Более того, ядро одной функции f можно реконструировать как ядро разности Eq( f , 0), где 0 — постоянная функция со значением ноль .
Конечно, все это предполагает алгебраический контекст, где ядро функции является прообразом нуля под этой функцией; это не верно во всех ситуациях. Однако термин «ядро разности» не имеет другого значения.
Эквалайзеры можно определить с помощью универсального свойства , которое позволяет обобщить это понятие из категории множеств на произвольные категории .
В общем контексте X и Y являются объектами, тогда как f и g являются морфизмами из X в Y. Эти объекты и морфизмы образуют диаграмму в рассматриваемой категории, а уравнитель — это просто предел этой диаграммы.
В более явных терминах уравнитель состоит из объекта E и морфизма eq : E → X, удовлетворяющего , и такого, что для любого объекта O и морфизма m : O → X , если , то существует единственный морфизм u : O → E такой, что .
Говорят, что морфизм уравнивает и , если . [1]
В любой универсальной алгебраической категории, включая категории, где используются разностные ядра, а также саму категорию множеств, объект E всегда можно рассматривать как обычное понятие уравнителя, а морфизм eq в этом случае можно рассматривать как функцию включения E как подмножества X.
Обобщение этого на более чем два морфизма является простым; просто используйте большую диаграмму с большим количеством морфизмов в ней. Вырожденный случай только одного морфизма также прост; тогда eq может быть любым изоморфизмом от объекта E к X.
Правильная диаграмма для вырожденного случая без морфизмов немного тонка: можно изначально нарисовать диаграмму как состоящую из объектов X и Y и без морфизмов. Однако это неверно, поскольку пределом такой диаграммы является произведение X и Y , а не уравнитель. (И действительно, произведения и уравнители — это разные понятия: теоретико-множественное определение произведения не согласуется с теоретико-множественным определением уравнителя, упомянутого выше, поэтому они на самом деле различны.) Вместо этого, соответствующее понимание состоит в том, что каждая диаграмма уравнителя фундаментально связана с X , включая Y только потому, что Y является областью значений морфизмов, которые появляются на диаграмме. С этой точки зрения мы видим, что если нет вовлеченных морфизмов, Y не появляется, и диаграмма уравнителя состоит только из X. Тогда пределом этой диаграммы является любой изоморфизм между E и X .
Можно доказать, что любой уравнитель в любой категории является мономорфизмом . Если обратное верно в данной категории, то эта категория называется регулярной (в смысле мономорфизмов). В более общем смысле, регулярным мономорфизмом в любой категории является любой морфизм m , который является уравнителем некоторого множества морфизмов. Некоторые авторы требуют более строго, чтобы m был бинарным уравнителем, то есть уравнителем ровно двух морфизмов. Однако, если рассматриваемая категория является полной , то оба определения согласуются.
Понятие разностного ядра также имеет смысл в контексте теории категорий. Термин «разностное ядро» является общим для всей теории категорий для любого бинарного уравнителя. В случае предаддитивной категории (категории, обогащенной по сравнению с категорией абелевых групп ) термин «разностное ядро» может быть истолкован буквально, поскольку вычитание морфизмов имеет смысл. То есть, Eq( f , g ) = Ker( f - g ), где Ker обозначает категориально-теоретическое ядро .
В любой категории с волокнистыми изделиями (отходами) и продуктами есть эквалайзеры.
