В математике равенство — это отношение между двумя величинами или, в более общем плане, двумя математическими выражениями , утверждающее, что величины имеют одинаковое значение или что выражения представляют один и тот же математический объект . Равенство между A и B записывается A = B и произносится как « A равно B ». [1] Символ « = » называется знаком «равно ». Два объекта, которые не равны, называются различными .
Например:
Этимология слова происходит от латинского aequālis («равный», « подобный», «сопоставимый», «похожий») от aequus («равный», «уровень», «справедливый», «справедливый»).
Вот некоторые конкретные примеры:
Эти последние три свойства делают равенство отношением эквивалентности . Первоначально они были включены в аксиомы Пеано для натуральных чисел. Хотя симметричные и транзитивные свойства часто рассматриваются как фундаментальные, их можно вывести из свойств замещения и рефлексивности.
Когда A и B не определены полностью или зависят от некоторых переменных , равенство является утверждением , которое может быть истинным для некоторых значений и ложным для других значений. Равенство — это бинарное отношение (т. е. предикат с двумя аргументами ), которое может выдавать значение истинности ( ложь или истина ) из своих аргументов. В компьютерном программировании его вычисление на основе двух выражений называется сравнением .
Когда A и B можно рассматривать как функции некоторых переменных, тогда A = B означает, что A и B определяют одну и ту же функцию. Такое равенство функций иногда называют тождеством . Пример: Иногда, но не всегда, идентификатор пишется с тройной чертой :
Уравнение — это задача поиска значений некоторых переменных, называемых неизвестными , для которых заданное равенство верно. Термин «уравнение» может также относиться к отношению равенства, которое удовлетворяется только для значений интересующих переменных. Например, это уравнение единичного круга .
Не существует стандартных обозначений, которые отличали бы уравнение от тождества или другого использования отношения равенства: нужно угадать подходящую интерпретацию на основе семантики выражений и контекста. Утверждается , что тождество истинно для всех значений переменных в данной области. «Уравнение» иногда может означать тождество, но чаще всего оно определяет подмножество пространства переменных как подмножество, в котором уравнение истинно.
Существуют некоторые логические системы , в которых нет понятия равенства. Это отражает неразрешимость равенства двух действительных чисел , определяемого формулами, включающими целые числа , основные арифметические операции , логарифм и показательную функцию . Другими словами, не может существовать никакого алгоритма для решения такого равенства.
Бинарное отношение « приблизительно равно » (обозначается символом ) между действительными числами или другими вещами, даже если оно определено более точно, не является транзитивным (поскольку многие небольшие различия могут составить что-то большое). Однако равенство почти везде транзитивно .
Сомнительное проверяемое равенство можно обозначить символом ≟ .
Рассматриваемое как отношение, равенство является архетипом более общей концепции отношения эквивалентности на множестве: тех бинарных отношений, которые являются рефлексивными , симметричными и транзитивными . Отношение тождества является отношением эквивалентности. Обратно, пусть R — отношение эквивалентности, и обозначим через x R класс эквивалентности x , состоящий из всех элементов z таких, что x R z . Тогда отношение x R y эквивалентно равенству x R = y R . Отсюда следует, что равенство — это наилучшее отношение эквивалентности на любом множестве S в том смысле, что это отношение имеет наименьшие классы эквивалентности (каждый класс сводится к одному элементу).
В некоторых контекстах равенство резко отличается от эквивалентности или изоморфизма . [5] Например, можно отличить дроби от рациональных чисел , причем последние представляют собой классы эквивалентности дробей: дроби и различны как дроби (как разные строки символов), но они «представляют» одно и то же рациональное число (одну и ту же точку на числовая линия). Это различие порождает понятие фактормножества .
Аналогично, множества
не являются равными множествами — первое состоит из букв, а второе — из чисел, — но они оба представляют собой множества из трех элементов и, следовательно, изоморфны, что означает, что между ними существует взаимно однозначное соответствие . Например
Однако существуют и другие варианты изоморфизма, такие как
и эти множества нельзя идентифицировать, не сделав такого выбора — любое утверждение, которое их идентифицирует, «зависит от выбора идентификации». Это различие между равенством и изоморфизмом имеет фундаментальное значение в теории категорий и является одной из причин развития теории категорий.
В некоторых случаях можно считать равными два математических объекта, эквивалентных лишь по рассматриваемым свойствам и структуре. Слово « конгруэнтность» (и связанный с ним символ ) часто используется для обозначения такого рода равенства и определяется как фактор-множество классов изоморфизма между объектами. Например, в геометрии две геометрические фигуры называются равными или конгруэнтными, если одну можно переместить так, чтобы она совпала с другой, а отношение равенства/конгруэнтности представляет собой классы изоморфизма изометрий между формами. Подобно изоморфизмам множеств, разница между изоморфизмами и равенством/конгруэнтностью между такими математическими объектами со свойствами и структурой была одной из мотиваций для развития теории категорий , а также теории гомотопических типов и однолистных оснований .
Лейбниц охарактеризовал понятие равенства следующим образом:
Равенство множеств аксиоматизируется в теории множеств двумя разными способами, в зависимости от того, основаны ли аксиомы на языке первого порядка с равенством или без него.
В логике первого порядка с равенством аксиома экстенсиональности гласит, что два множества, содержащие одни и те же элементы, представляют собой одно и то же множество. [6]
Как заметил Леви, включение половины работы в логику первого порядка можно рассматривать как просто вопрос удобства.
В логике первого порядка без равенства два множества считаются равными , если они содержат одни и те же элементы. Тогда аксиома экстенсиональности утверждает, что два равных множества содержатся в одних и тех же множествах. [8]