В математике соединение трёх октаэдров или 3-соединение октаэдра — это многогранное соединение , образованное из трёх правильных октаэдров , имеющих общий центр, но повёрнутых относительно друг друга. Хотя оно появилось раньше в математической литературе, оно было заново открыто и популяризировано М. К. Эшером , который использовал его в центральном изображении своей гравюры на дереве « Звезды » 1948 года .
Правильный октаэдр можно описать вокруг куба так, чтобы восемь ребер двух противоположных квадратов куба лежали на восьми гранях октаэдра. Три октаэдра, образованные таким образом из трех пар противоположных кубических квадратов, образуют соединение трех октаэдров. [1] Восемь вершин куба аналогичны восьми точкам в соединении, где три ребра пересекают друг друга. [2] Каждое из ребер октаэдра, участвующее в этих тройных пересечениях, делится точкой пересечения в соотношении 1: √ 2 . [2] Остальные ребра октаэдра попарно пересекают друг друга внутри соединения; их пересечения находятся в середине и образуют прямые углы.
Соединение трех октаэдров также может быть образовано из трех копий одного октаэдра путем вращения каждой копии на угол π /4 вокруг одной из трех осей симметрии , проходящих через две противоположные вершины исходного октаэдра. [3] Третья конструкция одного и того же соединения трёх октаэдров — это двойственный многогранник соединения трёх кубов , одно из однородных многогранных соединений .
Шесть вершин одного из трех октаэдров могут быть заданы координатами (0, 0, ±2) и (± √ 2 , ± √ 2 , 0) . Два других октаэдра имеют координаты, которые можно получить из этих координат путем замены координаты z на координату x или y . [1] [2]
Соединение трех октаэдров имеет ту же группу симметрии , что и одиночный октаэдр. Это равногранный дельтаэдр , что означает, что его грани представляют собой равносторонние треугольники и что он обладает симметрией, связывающей каждую грань с любой другой гранью. Известно одно бесконечное семейство равногранных дельтаэдров и еще 36, не попадающих в это семейство; соединение трех октаэдров — один из 36 спорадических примеров. [4] Однако его группа симметрии не переводит каждую вершину в каждую другую вершину, поэтому он сам по себе не является однородным многогранником.
Пересечение трех октаэдров представляет собой выпуклый многогранник с 14 вершинами и 24 гранями, тетракис-шестигранник , образованный присоединением к каждой грани центрального куба невысокой квадратной пирамиды . [2] Таким образом, соединение можно рассматривать как звездочку тетракис-гексаэдра. Другая форма тетракис-шестигранника, образованная использованием более высоких пирамид на каждой грани куба, невыпуклая, но имеет равносторонние треугольные грани, которые снова лежат в тех же плоскостях, что и грани трех октаэдров; это еще один из известных изоэдральных дельтаэдров. Третий изоэдрический дельтаэдр, имеющий те же грани, соединение шести тетраэдров , может быть образовано звездчатостью каждой грани соединения трех октаэдров с образованием трех звездочек-октангулов . Четвертый изоэдрический дельтаэдр с теми же гранями, также звездчатый состав трех октаэдров, имеет ту же комбинаторную структуру, что и тетракис-гексаэдр, но с гранями куба, вдавленными внутрь в пересекающиеся пирамиды, а не прикрепляющими пирамиды к внешней части куба. . [4]
Куб, вокруг которого можно описать три октаэдра, имеет девять плоскостей отражательной симметрии . Три из этих отражающих панелей проходят параллельно сторонам куба, на полпути между двумя противоположными сторонами; остальные шесть проходят по диагонали куба, через четыре его вершины. Эти девять плоскостей совпадают с девятью экваториальными плоскостями трёх октаэдров. [2]
.jpg/1280px-Piero_della_Francesca_-_Libellus_de_quinque_corporibus_regularibus_-_p41b_(cropped).jpg)
В рукописи Пьеро делла Франческа De quinque corporibus Regularibus XV века делла Франческа уже включает рисунок октаэдра, описанного вокруг куба, причем восемь ребер куба лежат в восьми гранях октаэдра. Три октаэдра, описанные таким образом вокруг одного куба, образовали бы соединение трех октаэдров, но делла Франческа не изображает это соединение. [5]
Следующим появлением соединения трех октаэдров в математической литературе, по-видимому, является работа Макса Брюкнера 1900 года , в которой оно упоминается и включает фотографию его модели. [2] [6]
Голландский художник М. К. Эшер в своей гравюре на дереве «Звезды» 1948 года использовал в качестве центральной фигуры гравюры на дереве клетку такой формы, в которой находятся два хамелеона , плывущие в пространстве. [7] H.S.M. Коксетер , предполагая, что Эшер заново открыл эту форму независимо, пишет: «Примечательно, что Эшер, без каких-либо знаний алгебры или аналитической геометрии, смог заново открыть эту в высшей степени симметричную фигуру». [2] Однако Джордж Харт задокументировал, что Эшер был знаком с работой Брюкнера и использовал ее в качестве основы для многих звездчатых многогранников и многогранных соединений, которые он нарисовал. [8] Ранее, в 1948 году, Эшер сделал предварительную гравюру на дереве на аналогичную тему « Этюд звезд» , но вместо использования в исследовании соединения трех правильных октаэдров он использовал другую, но родственную форму — звездчатый ромбдодекаэдр (иногда называемый Твердое тело Эшера), которое может образовываться как соединение трёх сплюснутых октаэдров. [9] Эта форма многогранника топологически идентична додекаэдру Дисдякиса , который можно рассматривать как ромбдодекаэдр с более короткими пирамидами на ромбических гранях. Двойная фигура октаэдрического соединения, соединения трёх кубов, также показана на более поздней гравюре Эшера « Водопад » рядом с таким же звёздчатым ромбическим додекаэдром. [7]
Соединение трех октаэдров более полно вновь вошло в математическую литературу благодаря работе Бакоса и Джонсона (1959), которые наблюдали его существование и предоставили координаты его вершин. Более подробно его изучали Веннингер (1968) и Коксетер (1985).
Поскольку октаэдры рассматриваются как треугольные антипризмы , существует еще одно однородное призматическое соединение антипризм с симметрией D 3d , порядка 12. Каждая антипризма повернута на 40 градусов. Видно, что верхняя и нижняя плоскости содержат составную эннеаграмму {9/3} или 3{3}.
