De quinque corporibus regularibus (иногда называемая Libellus de quinque corporibus regularibus ) — книга по геометрии многогранников , написанная в 1480-х или начале 1490-х годов итальянским художником и математиком Пьеро делла Франческа . Это рукопись на латинском языке; ее название означает [маленькая книга] о пяти правильных телах . Это одна из трех книг, написанных делла Франческой.
Наряду с Платоновыми телами, De quinque corporibus regularibus включает описания пяти из тринадцати архимедовых тел и нескольких других неправильных многогранников, взятых из архитектурных приложений. Это была первая из того, что впоследствии стало многими книгами, связывающими математику с искусством посредством построения и перспективного рисунка многогранников, [1] включая Divina ratione Луки Пачоли 1509 года (включавшую без указания авторства итальянский перевод работы делла Франчески).
Утерянный на протяжении многих лет, труд De quinque corporibus regularibus был вновь обнаружен в XIX веке в Ватиканской библиотеке [2] , а ватиканская копия с тех пор была переиздана в факсимильном варианте. [3]
.jpg/1280px-Piero_della_Francesca_-_Libellus_de_quinque_corporibus_regularibus_-_p52b_(cropped).jpg)
Пять Платоновых тел (правильный тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр и икосаэдр ) были известны делла Франческе из двух классических источников: «Тимей» , в котором Платон выдвигает теорию о том, что четыре из них соответствуют классическим элементам, составляющим мир (пятый, додекаэдр, соответствует небесам), и « Начала » Евклида , в которых Платоновы тела построены как математические объекты. Две апокрифические книги «Начал », касающиеся метрических свойств Платоновых тел, иногда называемые псевдоевклидовыми , также обычно считались частью « Начал» во времена делла Франчески. Именно материал из «Начал» и псевдоевклида, а не из «Тимея» , является основным источником вдохновения для делла Франчески. [4] [5]
Тринадцать архимедовых тел , выпуклых многогранников, в которых вершины, но не грани, симметричны друг другу, были классифицированы Архимедом в книге, которая давно утеряна. Классификация Архимеда была позже кратко описана Паппом Александрийским с точки зрения того, сколько граней каждого вида имеют эти многогранники. [6] Делла Франческа ранее изучал и копировал работы Архимеда и включает цитаты из Архимеда в De quinque corporibus regularibus . [7] Но хотя он описывает шесть архимедовых тел в своих книгах (пять в De quinque corporibus regularibus ), это, по-видимому, независимое повторное открытие; он не приписывает эти формы Архимеду, и нет никаких доказательств того, что он знал о работе Архимеда над ними. [6] Аналогично, хотя и Архимед, и Делла Франческа нашли формулы для вычисления объема монастырского свода (см. ниже), их работа в этом направлении, по-видимому, была независимой, поскольку формула объема Архимеда оставалась неизвестной до начала 20-го века. [8]
De quinque corporibus regularibus — одна из трёх книг, написанных делла Франческой. Две другие, De prospectiva pingendi и Trattato d'abaco , посвящены перспективному рисунку и арифметике в традициях Liber Abaci Фибоначчи соответственно . [9] [4] Другая математическая книга, Trattato d'abaco , была частью длинной череды аббацистских трудов, обучающих арифметике, бухгалтерскому учёту и основным геометрическим расчётам с помощью множества практических упражнений, начиная с работы Фибоначчи в его книге Liber Abaci (1202). [10] Хотя ранние части De quinque corporibus regularibus также заимствованы из этой череды работ и во многом пересекаются с Trattato d'abaco , Фибоначчи и его последователи ранее применяли свои методы расчётов только в двумерной геометрии. Более поздние части De quinque corporibus regularibus более оригинальны в применении арифметики к геометрии трехмерных фигур. [11] [12]
После посвящения титульный лист De quinque corporibus Regularibus начинается Petri pictoris Burgensis De quinque corporibus Regularibus . [13] Первые три слова означают «О Петре-художнике из Борго» и относятся к автору книги Пьеро делла Франческа (из Борго-Санто-Сеполькро [7] ); после этого начинается собственно заголовок. Декоративный инициал начинает текст книги.
Первая из четырех частей книги посвящена проблемам плоской геометрии, в первую очередь касающимся измерения многоугольников , таких как вычисление их площади , периметра или длины стороны, заданной другой из этих величин. [14] Вторая часть касается описанных сфер Платоновых тел и задает похожие вопросы о длинах, площадях или объемах этих тел относительно измерений сферы, которая их окружает. [15] Она также включает (весьма вероятно, новый) вывод высоты неправильного тетраэдра, заданной длинами его сторон, эквивалентный (используя стандартную формулу, связывающую высоту и объем тетраэдров) форме формулы Герона для тетраэдров. [16]
Третья часть включает дополнительные упражнения на описанных сферах, а затем рассматривает пары Платоновых тел, вписанных друг в друга, снова фокусируясь на их относительных измерениях. Эта часть вдохновлена непосредственно 15-й (апокрифической) книгой Элементов , [ 17] , которая строит определенные вписанные пары многогранных фигур (например, правильный тетраэдр, вписанный в куб и разделяющий свои четыре вершины с четырьмя вершинами куба). De quinque corporibus regularibus стремится арифметизировать эти построения, делая возможным вычисление измерений для одного многогранника, заданных измерениями другого. [12]
_06.JPG/1280px-Santa_Maria_presso_San_Satiro_(Milan)_06.JPG)
Четвертая и последняя часть книги посвящена другим формам, нежели Платоновы тела. [18] К ним относятся шесть архимедовых тел : усеченный тетраэдр (который также появляется в упражнении в его Trattato d'abaco ) и усечения других четырех Платоновых тел. [19] Кубооктаэдр , еще одно архимедово тело, описан в Trattato , но не в De quinque corporibus regularibus ; поскольку De quinque corporibus regularibus, по -видимому, является более поздней работой, чем Trattato , это упущение, по-видимому, преднамеренное и является признаком того, что делла Франческа не стремился к полному перечислению этих многогранников. [20] Четвертая часть De quinque corporibus regularibus также включает купольные формы, такие как купола Пантеона в Риме или (в то время недавно построенной) Санта-Мария-прессо Сан-Сатиро в Милане, образованные из кольца треугольников, окруженных концентрическими кольцами неправильных четырехугольников, и другие формы, возникающие в архитектурных приложениях. [21] Результат, который Петерсон (1997) называет «самым сложным» у делла Франчески, — это вывод объема тела Штейнмеца (пересечение двух цилиндров, форма свода монастыря ), который делла Франческа проиллюстрировал в своей книге о перспективе. [22] Несмотря на свои изгибы, эта форма имеет простую, но неочевидную формулу для своего объема, 2/3 объема ее охватывающего куба. Этот результат был известен как Архимеду, так и Цзу Чунчжи в Древнем Китае , [23] но делла Франческа не знал ни об одном из предыдущих открытий. [24]
De quinque corporibus regularibus проиллюстрирован делла Франческа в разных стилях, не все из которых имеют правильную математическую перспективу. [6] Он включает в себя множество упражнений, примерно половина из которых пересекается с геометрическими частями Trattato d'abaco делла Франчески , переведенного с итальянского Trattato на латынь De quinque corporibus regularibus . [18]
Делла Франческа посвятил De quinque corporibus regularibus Гвидобальдо да Монтефельтро , герцогу Урбино . [25] Хотя книга не датирована, это посвящение сужает дату ее завершения до диапазона с 1482 года, когда Гвидобальдо, десятилетний, стал герцогом, до 1492 года, когда Делла Франческа умер. [13] [26] Однако делла Франческа, вероятно, сначала написал свою книгу на итальянском языке, а затем перевел ее на латынь либо сам, либо с помощью друга, Маттео даль Борго, [27] поэтому ее первоначальный черновик мог быть написан до вступления Гвидобальдо на престол. [28] В любом случае, книга была добавлена в библиотеку герцога. Она хранилась там вместе с книгой делла Франчески о перспективе, которую он посвятил предыдущему герцогу. [29]
В том, что было названо «вероятно, первым полномасштабным случаем плагиата в истории математики», [30] Лука Пачоли скопировал упражнения из Trattato d'abaco в свою книгу 1494 года Summa de arithmetica , а затем, в своей книге 1509 года Divina ratione , включил перевод всей книги De quinque corporibus regularibus на итальянский язык, не указав делла Франческа за какой-либо из этих материалов. Именно благодаря Пачоли большая часть работ делла Франчески стала широко известна. [31] Хотя Джорджо Вазари осудил Пачоли за плагиат в своей книге 1568 года « Жизнеописания наиболее выдающихся живописцев, скульпторов и архитекторов» , он не предоставил достаточно подробностей, чтобы проверить эти утверждения. [2] [32] Оригинальная работа Делла Франчески была утеряна до тех пор, пока в 1851 году и снова в 1880 году она не была вновь обнаружена в коллекции Урбино Ватиканской библиотеки шотландским антикваром Джеймсом Деннистоуном и немецким историком искусства Максом Джорданом соответственно, что позволило проверить точность обвинений Вазари. [13] [33]
Последующие работы по изучению правильных тел и их перспектив аналогичным образом, основанные на работе делла Франчески и ее передаче Пачоли, включают Underweysung der Messung Альбрехта Дюрера ( 1525), которая фокусируется на методах как перспективного рисунка правильных и неправильных многогранников, так и их построения в качестве физических моделей, [34] и Perspectiva corporum regularium Венцеля Ямницера ( 1568), которая представляет изображения многих многогранников, полученных из правильных многогранников, но без математического анализа. [35]
Хотя книга с таким же названием была зарегистрирована в 16 веке в частной библиотеке Джона Ди , [36] ватиканская копия De quinque corporibus regularibus (Vatican Codex Urbinas 632) является единственной известной сохранившейся копией. [3] Каталог Ватиканской коллекции 1895 года включает ее между томами Евклида и Архимеда. [37] Ее репродукции были опубликованы Accademia dei Lincei в 1916 году и Giunti в 1995 году. [3]
