Формула Герона

Площадь треугольника по длинам сторон

Треугольник со сторонами a , b и c

В геометрии формула Герона ( или формула Герона ) определяет площадь треугольника через длины трех сторон ${\displaystyle a,}$ . Пусть ${\displaystyle b,}$ ⁠ ⁠ — полупериметр треугольника , тогда площадь ⁠ ${\displaystyle c.}$ ⁠ равна [ 1 ^] ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.}$

Он назван в честь инженера первого века н. э. Герона Александрийского (или Герона), который доказал это в своей работе «Метрика» , хотя, вероятно, он был известен и на несколько столетий раньше.

Пример

Пусть ⁠ ⁠ ${\displaystyle \triangle ABC}$ — треугольник со сторонами и Полупериметр этого треугольника равен , поэтому площадь равна ${\displaystyle a=4,}$ ${\displaystyle b=13,}$ ${\displaystyle c=15.}$ ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)={}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(4+13+15)=16}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\sqrt {16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}}\\&={\sqrt {16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}}={\sqrt {576}}=24.\end{aligned}}}$

В этом примере длины сторон и площадь являются целыми числами , что делает его героновским треугольником . Однако формула Герона работает одинаково хорошо в случаях, когда одна или несколько длин сторон не являются целыми числами.

Альтернативные выражения

Формулу Герона можно также записать, используя только длины сторон, а не полупериметр, несколькими способами:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.\end{aligned}}}$

После разложения выражение под квадратным корнем представляет собой квадратный многочлен квадратов длин сторон ⁠ ⁠ ${\displaystyle a^{2}}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle b^{2}}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle c^{2}}$ .

То же самое соотношение можно выразить с помощью определителя Кэли–Менгера , ^[2]

${\displaystyle -16A^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}.}$

История

Формула приписывается Герону (или Герону) Александрийскому ( ок. 60 г. н. э.) ^[3] , а доказательство можно найти в его книге «Метрика» . Математический историк Томас Хит предположил, что Архимед знал формулу более двух столетий назад ^[4] , и поскольку «Метрика» представляет собой собрание математических знаний, доступных в древнем мире, возможно, что формула предшествует ссылке, приведенной в этой работе. ^[5]

Формула, эквивалентная формуле Герона, а именно:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}}$

был открыт китайцами. Он был опубликован в «Математическом трактате в девяти разделах» ( Цинь Цзюшао , 1247). ^[6]

Доказательства

Существует много способов доказать формулу Герона, например, используя тригонометрию , как показано ниже, или центр вписанной и одну вневписанную окружности треугольника ^[7] или как частный случай теоремы Де Гуа (для частного случая остроугольных треугольников) ^[8] или как частный случай формулы Брахмагупты (для случая вырожденного вписанного четырехугольника).

Тригонометрическое доказательство с использованием теоремы косинусов

Современное доказательство, которое использует алгебру и которое сильно отличается от доказательства, предоставленного Героном, приводится ниже. ^[9] Пусть ⁠ ⁠ ${\displaystyle a,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle b,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ будут сторонами треугольника, а ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha ,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \beta ,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma }$— углами, противолежащими этим сторонам. Применяя закон косинусов, получаем

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$

Треугольник со сторонами a , b и c

Из этого доказательства мы получаем алгебраическое утверждение, что

${\displaystyle \sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.}$

Высота треугольника на основании ⁠ ⁠ имеет длину ⁠ ⁠ , и отсюда следует ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b\sin \gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altitude}})\\[6mu]&={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma \\[6mu]&={\frac {ab}{4ab}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\sqrt {\left({\frac {a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {-a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {a-b+c}{2}}\right)\left({\frac {a+b-c}{2}}\right)}}\\[6mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}}$

Алгебраическое доказательство с использованием теоремы Пифагора

Треугольник с высотой h, делящий основание c на d + ( c − d )

Следующее доказательство очень похоже на то, что дал Райфайзен. ^[10] По теореме Пифагора имеем и согласно рисунку справа. Вычитание этих значений дает Это уравнение позволяет нам выразить ⁠ ⁠ через стороны треугольника: ${\displaystyle b^{2}=h^{2}+d^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}=h^{2}+(c-d)^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=c^{2}-2cd.}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.}$

Для высоты треугольника имеем, что Заменяя ⁠ ⁠ формулой, приведенной выше, и применяя тождество разности квадратов, получаем ${\displaystyle h^{2}=b^{2}-d^{2}.}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {{\big (}(b+c)^{2}-a^{2}{\big )}{\big (}a^{2}-(b-c)^{2}{\big )}}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}.\end{aligned}}}$

Теперь применим этот результат к формуле, которая вычисляет площадь треугольника по его высоте:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}}$

Тригонометрическое доказательство с использованием закона котангенсов

Геометрическое значение s − a , s − b и s − c . Смотрите закон котангенсов для обоснования этого.

Если ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности треугольника , то треугольник можно разбить на три треугольника с одинаковой высотой ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ и основаниями ⁠ ⁠ ${\displaystyle a,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle b,}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle c.}$ Их общая площадь равна

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}ar+{\tfrac {1}{2}}br+{\tfrac {1}{2}}cr=rs,}$

где полупериметр. ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

Треугольник можно поочередно разбить на шесть треугольников (попарно равных) с высотой ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ и основанием ⁠ ⁠ ${\displaystyle s-a,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle s-b,}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle s-c}$ общей площадью (см. закон котангенсов ).

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\[2mu]&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}\right)\\[2mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}\cdot {\frac {s-b}{r}}\cdot {\frac {s-c}{r}}\right)\\[3mu]&={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{r}}.\end{aligned}}}$

Средний шаг выше — это тождество тройного котангенса , которое применяется, поскольку сумма половинных углов равна ${\textstyle \cot {\tfrac {\alpha }{2}}+\cot {\tfrac {\beta }{2}}+\cot {\tfrac {\gamma }{2}}={}}$ ${\displaystyle \cot {\tfrac {\alpha }{2}}\cot {\tfrac {\beta }{2}}\cot {\tfrac {\gamma }{2}},}$ ${\textstyle {\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}+{\tfrac {\gamma }{2}}={\tfrac {\pi }{2}}.}$

Объединяя два, получаем

${\displaystyle A^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c),}$

из чего следует результат.

Численная стабильность

Формула Герона, приведенная выше, численно нестабильна для треугольников с очень малым углом при использовании арифметики с плавающей точкой . Стабильная альтернатива включает в себя упорядочивание длин сторон таким образом, что и вычисление ^{[11] [12]} ${\displaystyle a\geq b\geq c}$

${\displaystyle A={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {{\big (}a+(b+c){\big )}{\big (}c-(a-b){\big )}{\big (}c+(a-b){\big )}{\big (}a+(b-c){\big )}}}.}$

Скобки в приведенной выше формуле необходимы для предотвращения числовой нестабильности при оценке.

Подобные формулы площади треугольника

Три другие формулы для площади общего треугольника имеют структуру, похожую на формулу Герона, выраженную через различные переменные.

Во-первых, если ⁠ ⁠ ${\displaystyle m_{a},}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle m_{b},}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle m_{c}}$ являются медианами сторон ⁠ ⁠ ${\displaystyle a,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle b,}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ соответственно, а их полусумма равна тогда ^[13] ${\displaystyle \sigma ={\tfrac {1}{2}}(m_{a}+m_{b}+m_{c}),}$

${\displaystyle A={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.}$

Далее, если ⁠ ⁠ ${\displaystyle h_{a}}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle h_{b}}$ , и ⁠ ⁠ ${\displaystyle h_{c}}$ являются высотами сторон ⁠ ⁠ ${\displaystyle a,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle b,}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ соответственно, а полусумма их обратных величин равна тогда ^[14] ${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}{\bigr )},}$

${\displaystyle A^{-1}=4{\sqrt {H{\bigl (}H-h_{a}^{-1}{\bigr )}{\bigl (}H-h_{b}^{-1}{\bigr )}{\bigl (}H-h_{c}^{-1}{\bigr )}}}.}$

Наконец, если ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha ,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \beta ,}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma }$ — три угловые меры треугольника, а полусумма их синусов равна [ 15 ^{] [16]} ${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma ),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{2}}D^{2}\sin \alpha \,\sin \beta \,\sin \gamma ,\end{aligned}}}$

где ⁠ ⁠ ${\displaystyle D}$ — диаметр описанной окружности . Эта последняя формула совпадает со стандартной формулой Герона, когда описанная окружность имеет единичный диаметр. ${\displaystyle D=a/{\sin \alpha }=b/{\sin \beta }=c/{\sin \gamma }.}$

Обобщения

Вписанный четырехугольник

Формула Герона является частным случаем формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника . Формула Герона и формула Брахмагупты являются частными случаями формулы Бретшнайдера для площади четырехугольника . Формулу Герона можно получить из формулы Брахмагупты или формулы Бретшнайдера, установив одну из сторон четырехугольника равной нулю.

Формула Брахмагупты дает площадь ⁠ ⁠ ${\displaystyle K}$ вписанного четырехугольника , стороны которого имеют длины ⁠ ⁠ ${\displaystyle a,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle b,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle c,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle d}$ как

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

где полупериметр . ​ ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)}$

Формула Герона также является частным случаем формулы для площади трапеции или трапеции, основанной только на ее сторонах. Формула Герона получается путем приравнивания меньшей параллельной стороны к нулю.

Выражая формулу Герона с помощью определителя Кэли–Менгера через квадраты расстояний между тремя заданными вершинами,

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}}}$

иллюстрирует ее сходство с формулой Тартальи для объема трехсимплекса .

Другое обобщение формулы Герона для пятиугольников и шестиугольников, вписанных в окружность, было обнаружено Дэвидом П. Роббинсом . ^[17]

Формула типа Герона для объема тетраэдра

Если ⁠ ⁠ ${\displaystyle U,}$ ⁠ ⁠ ⁠ ${\displaystyle V,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle W,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle u,}$ ⁠ ${\displaystyle v,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle w}$ — длины ребер тетраэдра (первые три образуют треугольник; ⁠ ⁠ напротив ${\displaystyle u}$ ⁠ ⁠ и ${\displaystyle U}$ так далее), то ^[18]

${\displaystyle {\text{volume}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}}$

Формулы Герона в неевклидовых геометриях

Существуют также формулы для площади треугольника через длины его сторон для треугольников на сфере или гиперболической плоскости . ^[19] Для треугольника на сфере с длинами сторон ⁠ ⁠ ${\displaystyle a,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle b,}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ полупериметром и площадью ⁠ ⁠ , такая формула имеет вид ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {s-a}{2}}\tan {\frac {s-b}{2}}\tan {\frac {s-c}{2}}}$

в то время как для гиперболической плоскости мы имеем

${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tanh {\frac {s}{2}}\tanh {\frac {s-a}{2}}\tanh {\frac {s-b}{2}}\tanh {\frac {s-c}{2}}.}$

Смотрите также

• Формула шнурка

Ссылки

1. Кендиг, Кит (2000). «Сохраняет ли формула 2000-летней давности какие-то секреты?». The American Mathematical Monthly . 107 (5): 402–415. doi :10.1080/00029890.2000.12005213. JSTOR  2695295. MR  1763392. S2CID  1214184. Архивировано из оригинала 29.05.2024 . Получено 27.12.2021 .
2. Havel, Timothy F. (1991). «Некоторые примеры использования расстояний в качестве координат для евклидовой геометрии». Journal of Symbolic Computation . 11 (5–6): 579–593. doi : 10.1016/S0747-7171(08)80120-4 .
3. Id, Yusuf; Kennedy, ES (1969). «Средневековое доказательство формулы Герона». The Mathematics Teacher . 62 (7): 585–587. doi :10.5951/MT.62.7.0585. JSTOR  27958225. MR  0256819.
4. Хит, Томас Л. (1921). История греческой математики . Т. II. Oxford University Press. С. 321–323.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Формула Герона». MathWorld .
6. 秦, 九韶 (1773). «卷三上, 三斜求积».數學九章 (四庫全書本) (на китайском языке).
7. «Личная переписка по электронной почте между математиками Джоном Конвеем и Питером Дойлом». 15 декабря 1997 г. Получено 25 сентября 2020 г.
8. Леви-Леблон, Жан-Марк (14.09.2020). «Симметричное трехмерное доказательство формулы Герона». The Mathematical Intelligencer . 43 (2): 37–39. doi : 10.1007/s00283-020-09996-8 . ISSN  0343-6993.
9. Нивен, Иван (1981). Максимумы и минимумы без исчисления . Математическая ассоциация Америки. С. 7–8.
10. Райфайзен, Клод Х. (1971). «Более простое доказательство формулы Герона». Mathematics Magazine . 44 (1): 27–28. doi :10.1080/0025570X.1971.11976093.
11. Sterbenz, Pat H. (1974-05-01). Вычисления с плавающей точкой . Серия Prentice-Hall по автоматическим вычислениям (1-е изд.). Englewood Cliffs, Нью-Джерси, США: Prentice Hall . ISBN 0-13-322495-3.
12. Уильям М. Кахан (24 марта 2000 г.). «Неверный расчет площади и углов игольчатого треугольника» (PDF) .
13. Беньи, Арпад, «Формула типа Герона для треугольника», Mathematical Gazette 87, июль 2003 г., 324–326.
14. Митчелл, Дуглас В., «Формула типа Герона для обратной площади треугольника», Mathematical Gazette 89, ноябрь 2005 г., 494.
15. Митчелл, Дуглас В. (2009). «Формула площади типа Герона в терминах синусов». Mathematical Gazette . 93 : 108–109. doi :10.1017/S002555720018430X. S2CID  132042882.
16. Кочик, Ежи; Солецки, Анджей (2009). «Распутывание треугольника» (PDF) . American Mathematical Monthly . 116 (3): 228–237. doi :10.1080/00029890.2009.11920932. S2CID  28155804.
17. DP Robbins, «Площади многоугольников, вписанных в окружность», Discr. Comput. Geom. 12, 223-236, 1994.
18. У. Кахан, «Какое отношение имеет объем тетраэдра к языкам программирования?», [1], стр. 16–17.
19. Алексеевский, Д.В.; Винберг, Э.Б.; Солодовников, А.С. (1993). "Геометрия пространств постоянной кривизны". В Гамкрелидзе, Р.В.; Винберг, Э.Б. (ред.). Геометрия. II: Пространства постоянной кривизны . Encycl. Math. Sci. Vol. 29. Springer-Verlag. стр. 66. ISBN 1-56085-072-8.

Внешние ссылки

• Доказательство теоремы Пифагора из формулы Герона на cut-the-knot
• Интерактивный апплет и калькулятор площади с использованием формулы Герона
• Дискуссия Дж. Х. Конвея о формуле Герона
• «Формула Герона и обобщение Брахмагупты». MathPages.com .
• Геометрическое доказательство формулы Герона
• Альтернативное доказательство формулы Герона без слов
• Факторинг Герон