произведение Эйлера

Бесконечные произведения функций, индексированных простыми числами

В теории чисел произведение Эйлера — это разложение ряда Дирихле в бесконечное произведение, индексированное простыми числами . Первоначально такое произведение было дано для суммы всех положительных целых чисел, возведенных в определенную степень , как доказал Леонард Эйлер . Этот ряд и его продолжение на всю комплексную плоскость позже стали известны как дзета-функция Римана .

Определение

В общем случае, если a — ограниченная мультипликативная функция , то ряд Дирихле

${\displaystyle \sum _{n}{\frac {a(n)}{n^{s}}}\,}$

равно

${\displaystyle \prod _{p}P(p,s)\quad {\text{for }}\operatorname {Re} (s)>1.}$

где произведение берется по простым числам p , а P ( p , s ) — это сумма

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a(p^{k})}{p^{ks}}}=1+{\frac {a(p)}{p^{s}}}+{\frac {a(p^{2})}{p^{2s}}}+{\frac {a(p^{3})}{p^{3s}}}+\cdots }$

Фактически, если рассматривать их как формальные производящие функции , существование такого формального разложения произведения Эйлера является необходимым и достаточным условием того, что ^a ( n ) является мультипликативным: это точно означает, что a ( n ) является произведением a ( pk ) всякий раз, когда n раскладывается на множители как произведение степеней ^pk различных простых чисел p .

Важным частным случаем является случай, когда a ( n ) полностью мультипликативно , так что P ( p , s ) является геометрической прогрессией . Тогда

${\displaystyle P(p,s)={\frac {1}{1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}}},}$

как в случае дзета-функции Римана , где a ( n )=1 , и, в более общем случае, для характеров Дирихле .

Конвергенция

На практике все важные случаи таковы, что бесконечные ряды и бесконечные произведения разложений абсолютно сходятся в некоторой области.

${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>C,}$

то есть в некоторой правой полуплоскости в комплексных числах . Это уже дает некоторую информацию, поскольку бесконечное произведение, чтобы сходиться, должно давать ненулевое значение; следовательно, функция, заданная бесконечным рядом, не равна нулю в такой полуплоскости.

В теории модулярных форм типично иметь произведения Эйлера с квадратичными многочленами в знаменателе. Общая философия Ленглендса включает в себя сопоставимое объяснение связи многочленов степени m и теорию представления для GL _m .

Примеры

В следующих примерах будет использоваться обозначение для множества всех простых чисел, а именно: ${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle \mathbb {P} =\{p\in \mathbb {N} \,|\,p{\text{ is prime}}\}.}$

Произведение Эйлера, присоединенное к дзета-функции Римана ζ ( s ) , также использующее сумму геометрической прогрессии, равно

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)&=\prod _{p\ \in \ \mathbb {P} }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{ks}}}\right)\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s).\end{aligned}}}$

в то время как для функции Лиувилля λ ( n ) = (−1) ^{ω ( n )} это

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1}{1+{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}.}$

Используя их обратные величины, два произведения Эйлера для функции Мёбиуса μ ( n ) равны

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}$

и

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}.}$

Взяв соотношение этих двух величин, получаем

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1+{\frac {1}{p^{s}}}}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)=\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}\right)={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}.}$

Так как для четных значений s дзета-функция Римана ζ ( s ) имеет аналитическое выражение в терминах рационального кратного π ^s , то для четных показателей это бесконечное произведение оценивается как рациональное число. Например, поскольку ζ (2) = ⁠π ²/6⁠ , ζ (4) = ⁠π ⁴/90⁠ , и ζ (8) = ⁠π ⁸/9450⁠ , тогда

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{2}+1}{p^{2}-1}}\right)&={\frac {5}{3}}\cdot {\frac {10}{8}}\cdot {\frac {26}{24}}\cdot {\frac {50}{48}}\cdot {\frac {122}{120}}\cdots &={\frac {\zeta (2)^{2}}{\zeta (4)}}&={\frac {5}{2}},\\[6pt]\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{4}+1}{p^{4}-1}}\right)&={\frac {17}{15}}\cdot {\frac {82}{80}}\cdot {\frac {626}{624}}\cdot {\frac {2402}{2400}}\cdots &={\frac {\zeta (4)^{2}}{\zeta (8)}}&={\frac {7}{6}},\end{aligned}}}$

и так далее, с первым результатом, известным Рамануджану . Это семейство бесконечных произведений также эквивалентно

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1+{\frac {2}{p^{s}}}+{\frac {2}{p^{2s}}}+\cdots \right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}},}$

где ω ( n ) подсчитывает количество различных простых множителей числа n , а 2 ^{ω ( n )} — количество бесквадратных делителей.

Если χ ( n ) — характер Дирихле проводника N , так что χ полностью мультипликативен и χ ( n ) зависит только от n mod N , и χ ( n ) = 0 , если n не является взаимно простым с N , то

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }{\frac {1}{1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}$

Здесь удобно опустить простые числа p, делящие проводник N от произведения. В своих тетрадях Рамануджан обобщил произведение Эйлера для дзета-функции как

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(x-{\frac {1}{p^{s}}}\right)\approx {\frac {1}{\operatorname {Li} _{s}(x)}}}$

для s > 1 , где Li _s ( x ) — полилогарифм . Для x = 1 произведение выше — это просто ⁠1/ζ ( с )⁠ .

Известные константы

Многие известные константы имеют разложения в произведения Эйлера.

Формула Лейбница для π

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

можно интерпретировать как ряд Дирихле, используя (уникальный) характер Дирихле по модулю 4, и преобразовать в произведение Эйлера суперчастных отношений (дроби, в которых числитель и знаменатель отличаются на 1):

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right)\left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdots ,}$

где каждый числитель — простое число, а каждый знаменатель — ближайшее число, кратное 4. ^[1]

Другие произведения Эйлера для известных констант включают в себя:

• Константа Харди–Литтлвуда для простых близнецов :

${\displaystyle \prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{\left(p-1\right)^{2}}}\right)=0.660161...}$

• Константа Ландау –Рамануджана :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}&=0.764223...\\[6pt]{\frac {1}{\sqrt {2}}}\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}&=0.764223...\end{aligned}}}$

• Константа Мураты (последовательность A065485 в OEIS ):

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{\left(p-1\right)^{2}}}\right)=2.826419...}$

• Сильно беззаботная константа × ζ (2) ² OEIS : A065472 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{\left(p+1\right)^{2}}}\right)=0.775883...}$

• Постоянная Артина OEIS : A005596 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.373955...}$

• Константа Ландау OEIS : A082695 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)=1.943596...}$

• Беззаботная константа × ζ (2) OEIS : A065463 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p(p+1)}}\right)=0.704442...}$

и его обратный OEIS : A065489 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}+p-1}}\right)=1.419562...}$

• Константа Феллера –Торнье OEIS : A065493 :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\prod _{p}\left(1-{\frac {2}{p^{2}}}\right)=0.661317...}$

• Квадратичная константа числа классов OEIS : A065465 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{2}(p+1)}}\right)=0.881513...}$

• Сумматорная константа Totient OEIS : A065483 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=1.339784...}$

• Постоянная Сарнака OEIS : A065476 :

${\displaystyle \prod _{p>2}\left(1-{\frac {p+2}{p^{3}}}\right)=0.723648...}$

• Беззаботная константа OEIS : A065464 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {2p-1}{p^{3}}}\right)=0.428249...}$

• Сильно беззаботная константа OEIS : A065473 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {3p-2}{p^{3}}}\right)=0.286747...}$

• Константа Стивенса OEIS : A065478 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {p}{p^{3}-1}}\right)=0.575959...}$

• Постоянная Барбана OEIS : A175640 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {3p^{2}-1}{p(p+1)\left(p^{2}-1\right)}}\right)=2.596536...}$

• Константа Танигучи OEIS : A175639 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {3}{p^{3}}}+{\frac {2}{p^{4}}}+{\frac {1}{p^{5}}}-{\frac {1}{p^{6}}}\right)=0.678234...}$

• Константа Хита -Брауна и Мороза OEIS : A118228 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{7}\left(1+{\frac {7p+1}{p^{2}}}\right)=0.0013176...}$

Примечания

1. Дебнат, Локенат (2010), Наследие Леонарда Эйлера: дань уважения трехсотлетию, World Scientific, стр. 214, ISBN 9781848165267.

Ссылки

• G. Polya , Induction and Analogy in Mathematics Volume 1 Princeton University Press (1954) LC Card 53-6388 (Очень доступный английский перевод мемуаров Эйлера относительно этого «Самого необычайного закона чисел» появляется, начиная со страницы 91)
• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Бакалаврские тексты по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001 (Содержит вводное обсуждение произведения Эйлера в контексте классической теории чисел.)
• GH Hardy и EM Wright , Введение в теорию чисел , 5-е изд., Оксфорд (1979) ISBN 0-19-853171-0 (глава 17 дает дополнительные примеры.) 
• Джордж Э. Эндрюс, Брюс К. Берндт, Потерянная записная книжка Рамануджана: Часть I , Springer (2005), ISBN 0-387-25529-X 
• Г. Никлаш, Некоторые числовые теоретические константы: 1000-значные значения"

Внешние ссылки

• В данной статье использованы материалы из продукта Euler на PlanetMath , лицензированного по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• Степанов, С.А. (2001) [1994], "Эйлерово произведение", Энциклопедия математики , EMS Press
• Вайсштейн, Эрик В. «Произведение Эйлера». MathWorld .
• Никлаш, Г. (23 августа 2002 г.). "Некоторые константы теории чисел". Архивировано из оригинала 12 июня 2006 г.