Транспорт Ферми-Уокера

Математический аппарат в общей теории относительности

Транспорт Ферми–Уокера — это процесс в общей теории относительности, используемый для определения системы координат или системы отсчета таким образом, что вся кривизна в системе обусловлена ​​наличием плотности массы/энергии, а не произвольным спином или вращением системы. Он был открыт Ферми в 1921 году и переоткрыт Уокером в 1932 году. ^[1]

Дифференциация Ферми-Уокера

В теории лоренцевских многообразий дифференциация Ферми–Уокера является обобщением ковариантной дифференциации . В общей теории относительности производные Ферми–Уокера пространственноподобных векторных полей в поле системы отсчета, взятые относительно времениподобного единичного векторного поля в поле системы отсчета, используются для определения неинерциальных и невращающихся систем отсчета, путем требования, чтобы производные Ферми–Уокера обращались в нуль. В частном случае инерциальных систем отсчета производные Ферми–Уокера сводятся к ковариантным производным.

С соглашением знаков это определяется для векторного поля X вдоль кривой : ${\displaystyle (-+++)}$ ${\displaystyle \gamma (s)}$

${\displaystyle {\frac {D_{F}X}{ds}}={\frac {DX}{ds}}-\left(X,{\frac {DV}{ds}}\right)V+(X,V){\frac {DV}{ds}},}$

где V — это четырехскорость, D — ковариантная производная, а — скалярное произведение. Если ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle {\frac {D_{F}X}{ds}}=0,}$

тогда векторное поле X переносится Ферми–Уокером вдоль кривой. ^[2] Векторы, перпендикулярные пространству четырехскоростей в пространстве-времени Минковского , например, векторы поляризации, при переносе Ферми–Уокера испытывают прецессию Томаса .

Используя производную Ферми, уравнение Баргмана–Мишеля–Телегди ^[3] для прецессии спина электрона во внешнем электромагнитном поле можно записать следующим образом:

${\displaystyle {\frac {D_{F}a^{\tau }}{ds}}=2\mu (F^{\tau \lambda }-u^{\tau }u_{\sigma }F^{\sigma \lambda })a_{\lambda },}$

где и — четырехвектор поляризации и магнитный момент , — четырехвектор скорости электрона, , , — тензор напряженности электромагнитного поля . Правая часть описывает прецессию Лармора . ${\displaystyle a^{\tau }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle u^{\tau }}$ ${\displaystyle a^{\tau }a_{\tau }=-u^{\tau }u_{\tau }=-1}$ ${\displaystyle u^{\tau }a_{\tau }=0}$ ${\displaystyle F^{\tau \sigma }}$

Совместно движущиеся системы координат

Можно определить систему координат, сопутствующую частице. Если мы возьмем единичный вектор в качестве определения оси в сопутствующей системе координат, то любая система, преобразующаяся с собственным временем, будет считаться подвергающейся переносу Ферми–Уокера. ^[4] ${\displaystyle v^{\mu }}$

Обобщенное дифференцирование Ферми–Уокера

Дифференциация Ферми–Уокера может быть расширена для любого места (то есть, не светоподобного вектора). Это определено для векторного поля вдоль кривой : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (V,V)\neq 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \gamma (s)}$

${\displaystyle {\frac {{\mathcal {D}}X}{ds}}={\frac {DX}{ds}}+\left(X,{\frac {DV}{ds}}\right){\frac {V}{(V,V)}}-{\frac {(X,V)}{(V,V)}}{\frac {DV}{ds}}-\left(V,{\frac {DV}{ds}}\right){\frac {(X,V)}{(V,V)^{2}}}V,}$^[5]

За исключением последнего члена, который является новым и в основном вызван возможностью того, что он не является константой, его можно вывести, взяв предыдущее уравнение и разделив каждое на . ${\displaystyle (V,V)}$ ${\displaystyle V^{2}}$ ${\displaystyle (V,V)}$

Если , то мы восстанавливаем дифференциацию Ферми–Уокера: ${\displaystyle (V,V)=-1}$

${\displaystyle \left(V,{\frac {DV}{ds}}\right)={\frac {1}{2}}{\frac {d}{ds}}(V,V)=0\ ,}$и ${\displaystyle {\frac {{\mathcal {D}}X}{ds}}={\frac {D_{F}X}{ds}}.}$

Смотрите также

• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
• Энрико Ферми
• Артур Джеффри Уокер
• Переход от ньютоновской механики к общей теории относительности

Примечания

1. Бини, Донато; Джантзен, Роберт Т. (2002). «Круговая голономия, эффекты часов и гравитоэлектромагнетизм: все еще ходим по кругу после всех этих лет». Nuovo Cimento B. 117 ( 9–11): 983–1008. arXiv : gr-qc/0202085 .
2. Хокинг и Эллис 1973, стр. 80
3. Баргманн, Мишель и Телегди, 1959 г.
4. Мизнер, Торн и Уилер 1973, стр. 170
5. Кочарян, АА (2004). «Геометрия динамических систем». arXiv : astro-ph/0411595 .

Ссылки

• Баргманн, В.; Мишель, Л.; Телегди, В.Л. (1959). «Прецессия поляризации частиц, движущихся в однородном электромагнитном поле». Physical Review Letters . 2 (10): 435. Bibcode : 1959PhRvL...2..435B. doi : 10.1103/PhysRevLett.2.435..
• Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (2002) [1939]. Классическая теория полей . Курс теоретической физики. Т. 2 (4-е изд.). Баттерворт–Хайнеман . ISBN 0-7506-2768-9.
• Мизнер, Чарльз В.; Торн , Кип С.; Уилер , Джон А. (1973). Гравитация . WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• Хокинг, Стивен У .; Эллис, Джордж Ф.Р. (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4.
• Кочарян, АА (2004). «Геометрия динамических систем». arXiv : astro-ph/0411595 .