Золотое правило Ферми

Формула скорости перехода

В квантовой физике золотое правило Ферми — это формула, описывающая скорость перехода (вероятность перехода за единицу времени) из одного собственного энергетического состояния квантовой системы в группу собственных энергетических состояний в континууме в результате слабого возмущения . Эта скорость перехода фактически не зависит от времени (при условии, что сила возмущения не зависит от времени) и пропорциональна силе связи между начальным и конечным состояниями системы (описываемой квадратом матричного элемента возмущения), а также плотности состояний . Она также применима, когда конечное состояние дискретно, т. е. не является частью континуума, если в процессе присутствует некоторая декогеренция , например релаксация или столкновение атомов, или например шум в возмущении, в этом случае плотность состояний заменяется обратной величиной ширины полосы декогеренции.

Историческая справка

Хотя правило названо в честь Энрико Ферми , большая часть работы, приведшей к нему, принадлежит Полю Дираку , который двадцатью годами ранее сформулировал практически идентичное уравнение, включающее три компонента константы, матричный элемент возмущения и разность энергий. ^{[1] [2]} Оно получило такое название, потому что, учитывая его важность, Ферми назвал его «золотым правилом № 2». ^[3]

Большинство случаев использования термина «золотое правило Ферми» относится к «золотому правилу № 2», но «золотое правило Ферми № 1» имеет схожую форму и учитывает вероятность непрямых переходов в единицу времени. ^[4]

Ставка и ее вывод

Золотое правило Ферми описывает систему, которая начинается в собственном состоянии невозмущенного гамильтониана H ₀ и учитывает влияние возмущающего гамильтониана H', примененного к системе. Если H' не зависит от времени, система переходит только в те состояния в континууме, которые имеют ту же энергию, что и начальное состояние. Если H' колеблется синусоидально как функция времени (т.е. это гармоническое возмущение) с угловой частотой ω , переход происходит в состояния с энергиями, которые отличаются на ħω от энергии начального состояния. ${\displaystyle |i\rangle }$

В обоих случаях вероятность перехода за единицу времени из начального состояния в набор конечных состояний по существу постоянна. Она задается, в первом приближении, как , где — матричный элемент (в скобках ) возмущения H' между конечным и начальным состояниями, а — плотность состояний (число состояний континуума, деленное на в бесконечно малом интервале энергий до ) при энергии конечных состояний. Эта вероятность перехода также называется «вероятностью распада» и связана с обратной величиной среднего времени жизни . Таким образом, вероятность нахождения системы в состоянии пропорциональна . ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle |f\rangle }$ $${\displaystyle \Gamma _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}\rho (E_{f}),}$$ ${\displaystyle \langle f|H'|i\rangle }$ ${\displaystyle \rho (E_{f})}$ ${\displaystyle dE}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E+dE}$ ${\displaystyle E_{f}}$ ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle e^{-\Gamma _{i\to f}t}}$

Стандартный способ вывода уравнения — начать с теории возмущений, зависящих от времени, и взять предел для поглощения, предполагая, что время измерения намного больше времени, необходимого для перехода. ^{[5] [6]}

Только величина матричного элемента входит в золотое правило Ферми. Фаза этого матричного элемента, однако, содержит отдельную информацию о процессе перехода. Она появляется в выражениях, которые дополняют золотое правило в подходе полуклассического уравнения Больцмана к переносу электронов. ^[9] ${\displaystyle \langle f|H'|i\rangle }$

В то время как Золотое правило обычно формулируется и выводится в терминах выше, волновая функция конечного состояния (континуума) часто описывается довольно расплывчато и не нормируется правильно (а нормализация используется при выводе). Проблема в том, что для создания континуума не может быть никакого пространственного ограничения (которое обязательно дискретизировало бы спектр), и поэтому волновые функции континуума должны иметь бесконечную протяженность, и, в свою очередь, это означает, что нормализация бесконечна, а не равна единице. Если взаимодействия зависят от энергии состояния континуума, но не от каких-либо других квантовых чисел, обычно нормализуют волновые функции континуума с энергией , обозначенной , записывая где - дельта-функция Дирака , и фактически множитель квадратного корня плотности состояний включается в . ^[10] В этом случае волновая функция континуума имеет размерность , и Золотое правило теперь имеет вид , где относится к состоянию континуума с той же энергией, что и дискретное состояние . Например, правильно нормированные волновые функции континуума для случая свободного электрона вблизи атома водорода доступны в работах Бете и Солпитера. ^[11] ${\textstyle \langle f|f\rangle =\int d^{3}\mathbf {r} \left|f(\mathbf {r} )\right|^{2}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle |\varepsilon \rangle }$ ${\displaystyle \langle \varepsilon |\varepsilon '\rangle =\delta (\varepsilon -\varepsilon ')}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle |\varepsilon _{i}\rangle }$ ${\textstyle 1/{\sqrt {\text{[energy]}}}}$ $${\displaystyle \Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle \varepsilon _{i}|H'|i\rangle |^{2}.}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle i}$

Нормализованный вывод в теории возмущений, зависящих от времени

Нижеследующее перефразирует трактовку Коэна-Тануджи. ^[10] Как и прежде, полный гамильтониан является суммой «исходного» гамильтониана H ₀ и возмущения: . Мы по-прежнему можем разложить временную эволюцию произвольного квантового состояния в терминах собственных энергетических состояний невозмущенной системы, но теперь они состоят из дискретных состояний и состояний континуума. Мы предполагаем, что взаимодействия зависят от энергии состояния континуума, но не от каких-либо других квантовых чисел. Разложение в соответствующих состояниях в картине Дирака имеет вид , где , и являются энергиями состояний , соответственно. Интеграл берется по континууму , т.е. находится в континууме. ${\displaystyle H=H_{0}+H'}$ $${\displaystyle |\psi (t)\rangle =a_{i}e^{-\mathrm {i} \omega _{i}t}|i\rangle +\int _{C}d\varepsilon a_{\varepsilon }e^{-\mathrm {i} \omega t}|\varepsilon \rangle ,}$$ ${\displaystyle \omega _{i}=\varepsilon _{i}/\hbar }$ ${\displaystyle \omega =\varepsilon /\hbar }$ ${\displaystyle \varepsilon _{i},\varepsilon }$ ${\displaystyle |i\rangle ,|\varepsilon \rangle }$ ${\displaystyle \varepsilon \in C}$ ${\displaystyle |\varepsilon \rangle }$

Подстановка в зависящее от времени уравнение Шредингера и предварительное умножение на дает , где , а предварительное умножение на дает Мы использовали нормализацию . Интегрируя последнее и подставляя в первое, Здесь можно увидеть, что в момент времени зависит от во все более ранние моменты времени , т.е. оно немарковское . Мы делаем марковское приближение, т.е. что оно зависит только от в момент времени (что менее ограничительно, чем приближение, использованное выше, и позволяет возмущению быть сильным) где и . Интегрируя по , Дробь справа является зарождающейся дельта -функцией Дирака , то есть она стремится к как (игнорируя ее мнимую часть, которая приводит к незначительному сдвигу энергии, в то время как действительная часть производит распад ^[10] ). Наконец , которое может иметь решения: , т.е. распад популяции в начальном дискретном состоянии равен где $${\displaystyle H|\psi (t)\rangle =\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle }$$ ${\displaystyle \langle i|}$ $${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-\mathrm {i} \int _{C}d\varepsilon \Omega _{i\varepsilon }e^{-\mathrm {i} (\omega -\omega _{i})t}a_{\varepsilon }(t),}$$ ${\displaystyle \Omega _{i\varepsilon }=\langle i|H'|\varepsilon \rangle /\hbar }$ ${\displaystyle \langle \varepsilon '|}$ $${\displaystyle {\frac {da_{\varepsilon }(t)}{dt}}=-\mathrm {i} \Omega _{\varepsilon i}e^{\mathrm {i} (\omega -\omega _{i})t}a_{i}(t).}$$ ${\displaystyle \langle \varepsilon '|\varepsilon \rangle =\delta (\varepsilon '-\varepsilon )}$ $${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-\int _{C}d\varepsilon \Omega _{i\varepsilon }\Omega _{\varepsilon i}\int _{0}^{t}dt'e^{-\mathrm {i} (\omega -\omega _{i})(t-t')}a_{i}(t').}$$ ${\displaystyle da_{i}/dt}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a_{i}\approx 1}$ $${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=\int _{C}d\varepsilon |\Omega _{i\varepsilon }|^{2}a_{i}(t)\int _{0}^{t}dTe^{-\mathrm {i} \Delta T},}$$ ${\displaystyle T=t-t'}$ ${\displaystyle \Delta =\omega -\omega _{i}}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-2\pi \hbar \int _{C}d\varepsilon |\Omega _{i\varepsilon }|^{2}a_{i}(t){\frac {e^{-\mathrm {i} \Delta t/2}\sin(\Delta t/2)}{\pi \hbar \Delta }},}$$ ${\displaystyle \delta (\varepsilon -\varepsilon _{i})}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ $${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-2\pi \hbar |\Omega _{i\varepsilon _{i}}|^{2}a_{i}(t),}$$ ${\displaystyle a_{i}(t)=\exp(-\Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}t/2)}$ ${\displaystyle P_{i}(t)=|a_{i}(t)|^{2}=\exp(-\Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}t)}$ $${\displaystyle \Gamma _{i\to \varepsilon _{i}}=2\pi \hbar |\Omega _{i\varepsilon _{i}}|^{2}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle i|H'|\varepsilon \rangle |^{2}.}$$

Приложения

Полупроводники

Золотое правило Ферми можно использовать для расчета вероятности перехода электрона, возбуждаемого фотоном из валентной зоны в зону проводимости в полупроводнике с прямой запрещенной зоной, а также для случая, когда электрон рекомбинирует с дыркой и испускает фотон. ^[12] Рассмотрим фотон с частотой и волновым вектором , где соотношение дисперсии света равно , а — показатель преломления. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\textbf {q}}}$ ${\displaystyle \omega =(c/n)\left|{\textbf {q}}\right|}$ ${\displaystyle n}$

Используя калибровку Кулона, где и , векторный потенциал света определяется выражением , где результирующее электрическое поле равно ${\displaystyle \nabla \cdot {\textbf {A}}=0}$ ${\displaystyle V=0}$ ${\displaystyle {\textbf {A}}=A_{0}{\boldsymbol {\varepsilon }}e^{\mathrm {i} ({\textbf {q}}\cdot {\textbf {r}}-\omega t)}+C}$ $${\displaystyle {\textbf {E}}=-{\frac {\partial {\textbf {A}}}{\partial t}}=\mathrm {i} \omega A_{0}{\boldsymbol {\varepsilon }}e^{\mathrm {i} .({\textbf {q}}\cdot {\textbf {r}}-\omega t)}.}$$

Для электрона в валентной зоне гамильтониан равен , где — потенциал кристалла, а — заряд и масса электрона, а — оператор импульса. Здесь мы рассматриваем процесс с участием одного фотона и первого порядка по . Результирующий гамильтониан равен , где — возмущение света. $${\displaystyle H={\frac {({\textbf {p}}+e{\textbf {A}})^{2}}{2m_{0}}}+V({\textbf {r}}),}$$ ${\displaystyle V({\textbf {r}})}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ ${\displaystyle {\textbf {A}}}$ $${\displaystyle H=H_{0}+H'=\left[{\frac {{\textbf {p}}^{2}}{2m_{0}}}+V({\textbf {r}})\right]+\left[{\frac {e}{2m_{0}}}({\textbf {p}}\cdot {\textbf {A}}+{\textbf {A}}\cdot {\textbf {p}})\right],}$$ ${\displaystyle H'}$

Отсюда мы рассматриваем вертикальный оптический дипольный переход и, таким образом, имеем вероятность перехода, основанную на зависящей от времени теории возмущений, где — вектор поляризации света. и — волновая функция Блоха начального и конечного состояний. Здесь вероятность перехода должна удовлетворять закону сохранения энергии, заданному выражением . Из возмущения очевидно, что суть расчета заключается в матричных элементах, показанных в скобках. $${\displaystyle \Gamma _{if}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}\delta (E_{f}-E_{i}\pm \hbar \omega ),}$$ $${\displaystyle H'\approx {\frac {eA_{0}}{m_{0}}}{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {p} ,}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle \delta (E_{f}-E_{i}\pm \hbar \omega )}$

Для начального и конечного состояний в валентной зоне и зоне проводимости мы имеем и , соответственно, и если оператор не действует на спин, электрон остается в том же спиновом состоянии, и, следовательно, мы можем записать волновую функцию Блоха начального и конечного состояний как где - число элементарных ячеек с объемом . Вычисляя с использованием этих волновых функций и фокусируясь на излучении ( фотолюминесценции ), а не на поглощении, мы приходим к скорости перехода , где определяемая как дипольный момент оптического перехода, является качественно ожидаемым значением и в этой ситуации принимает вид ${\displaystyle |i\rangle =\Psi _{v,{\textbf {k}}_{i},s_{i}}({\textbf {r}})}$ ${\displaystyle |f\rangle =\Psi _{c,{\textbf {k}}_{f},s_{f}}({\textbf {r}})}$ ${\displaystyle H'}$ $${\displaystyle \Psi _{v,{\textbf {k}}_{i}}({\textbf {r}})={\frac {1}{\sqrt {N\Omega _{0}}}}u_{n_{v},{\textbf {k}}_{i}}({\textbf {r}})e^{i{\textbf {k}}_{i}\cdot {\textbf {r}}},}$$ $${\displaystyle \Psi _{c,{\textbf {k}}_{f}}({\textbf {r}})={\frac {1}{\sqrt {N\Omega _{0}}}}u_{n_{c},{\textbf {k}}_{f}}({\textbf {r}})e^{i{\textbf {k}}_{f}\cdot {\textbf {r}}},}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Omega _{0}}$ $${\displaystyle \Gamma _{cv}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left({\frac {eA_{0}}{m_{0}}}\right)^{2}|{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\boldsymbol {\mu }}_{cv}({\textbf {k}})|^{2}\delta (E_{c}-E_{v}-\hbar \omega ),}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{cv}}$ ${\displaystyle \langle c|({\text{charge}})\times ({\text{distance}})|v\rangle }$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{cv}=-{\frac {i\hbar }{\Omega _{0}}}\int _{\Omega _{0}}d{\textbf {r}}'u_{n_{c},{\textbf {k}}}^{*}({\textbf {r}}')\nabla u_{n_{v},{\textbf {k}}}({\textbf {r}}').}$$

Наконец, мы хотим узнать общую скорость перехода . Следовательно, нам нужно просуммировать по всем возможным начальным и конечным состояниям, которые могут удовлетворить закону сохранения энергии (т.е. интегралу зоны Бриллюэна в k -пространстве), и учесть вырождение спина, что после вычисления приводит к где — совместная плотность состояний валентности и проводимости (т.е. плотность парных состояний; одно занятое валентное состояние, одно пустое состояние проводимости). В 3D это, но совместная DOS отличается для 2D, 1D и 0D. ${\displaystyle \Gamma (\omega )}$ $${\displaystyle \Gamma (\omega )={\frac {4\pi }{\hbar }}\left({\frac {eA_{0}}{m_{0}}}\right)^{2}|{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\boldsymbol {\mu }}_{cv}|^{2}\rho _{cv}(\omega )}$$ ${\displaystyle \rho _{cv}(\omega )}$ $${\displaystyle \rho _{cv}(\omega )=2\pi \left({\frac {2m^{*}}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {\hbar \omega -E_{g}}},}$$

Отметим, что в общем виде золотое правило Ферми для полупроводников можно выразить как ^[13] $${\displaystyle \Gamma _{vc}={\frac {2\pi }{\hbar }}\int _{\text{BZ}}{\frac {d{\textbf {k}}}{4\pi ^{3}}}|H_{vc}'|^{2}\delta (E_{c}({\textbf {k}})-E_{v}({\textbf {k}})-\hbar \omega ).}$$

Аналогичным образом, стационарный постоянный фототок с амплитудой, пропорциональной квадрату поля света, равен , где - время релаксации, а - разность групповой скорости и распределения Ферми-Дирака между возможными начальными и конечными состояниями. Здесь определяет оптический диполь перехода. Из-за коммутационного соотношения между положением и гамильтонианом мы также можем переписать диполь перехода и фототок в терминах матрицы оператора положения, используя . Этот эффект может существовать только в системах с нарушенной симметрией инверсии, и ненулевые компоненты фототока могут быть получены с помощью соображений симметрии. $${\displaystyle {\textbf {J}}=-{\frac {2\pi e\tau }{\hbar }}\sum _{i,f}\int _{\text{BZ}}{\frac {d{\textbf {k}}}{(2\pi )^{D}}}|{\textbf {v}}_{i}-{\textbf {v}}_{f}|(f_{i}({\textbf {k}})-f_{f}({\textbf {k}}))|H_{if}'|^{2}\delta (E_{f}({\textbf {k}})-E_{i}({\textbf {k}})-\hbar \omega ),}$$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}-{\textbf {v}}_{f}}$ ${\displaystyle f_{i}({\textbf {k}})-f_{f}({\textbf {k}})}$ ${\displaystyle |H_{if}'|^{2}}$ ${\displaystyle {\textbf {r}}}$ ${\displaystyle \langle i|{\textbf {p}}|f\rangle =-im_{0}\omega \langle i|{\textbf {r}}|f\rangle }$

Сканирующая туннельная микроскопия

В сканирующем туннельном микроскопе для вывода туннельного тока используется золотое правило Ферми. Оно имеет вид где — элемент туннельной матрицы. $${\displaystyle w={\frac {2\pi }{\hbar }}|M|^{2}\delta (E_{\psi }-E_{\chi }),}$$ ${\displaystyle M}$

Квантовая оптика

При рассмотрении переходов энергетических уровней между двумя дискретными состояниями золотое правило Ферми записывается как где — плотность состояний фотона при заданной энергии, — энергия фотона , — угловая частота . Это альтернативное выражение основано на том факте, что существует континуум конечных (фотонных) состояний, т. е. диапазон разрешенных энергий фотона непрерывен. ^[14] $${\displaystyle \Gamma _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}g(\hbar \omega ),}$$ ${\displaystyle g(\hbar \omega )}$ ${\displaystyle \hbar \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

эксперимент Дрексхаге

Как диаграмма направленности излучения, так и общая излучаемая мощность (которая пропорциональна скорости затухания) диполя зависят от его расстояния от зеркала.

Золотое правило Ферми предсказывает, что вероятность того, что возбужденное состояние распадется, зависит от плотности состояний. Это можно увидеть экспериментально, измерив скорость распада диполя вблизи зеркала: поскольку присутствие зеркала создает области с более высокой и более низкой плотностью состояний, измеренная скорость распада зависит от расстояния между зеркалом и диполем. ^{[15] [16]}

Смотрите также

• Экспоненциальный спад  – снижение стоимости со скоростью, пропорциональной текущей стоимости.
• Список вещей, названных в честь Энрико Ферми
• Распад частицы  – самопроизвольный распад нестабильной субатомной частицы на другие частицы.
• Функция sinc  – специальная математическая функция, определяемая как sin(x)/x
• Теория возмущений, зависящая от времени  – Приближенное моделирование квантовой системыPages displaying short descriptions of redirect targets
• Правило Сарджента

Ссылки

1. Bransden, BH; Joachain, CJ (1999). Квантовая механика (2-е изд.). Prentice Hall. стр. 443. ISBN 978-0582356917.
2. Дирак, ПАМ (1 марта 1927 г.). «Квантовая теория испускания и поглощения излучения». Труды Королевского общества A. 114 ( 767): 243–265. Bibcode : 1927RSPSA.114..243D. doi : 10.1098/rspa.1927.0039 . JSTOR  94746.См. уравнения (24) и (32).
3. Ферми, Э. (1950). Ядерная физика . Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0226243658.формула VIII.2
4. Ферми, Э. (1950). Ядерная физика . Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0226243658.формула VIII.19
5. Заметки Р. Швиттерса UT о выводе.
6. Примечательно, что скорость постоянна и не линейно увеличивается со временем, как можно было бы наивно ожидать для переходов со строгим соблюдением закона сохранения энергии. Это происходит из-за интерференции колебательных вкладов переходов в многочисленные состояния континуума с лишь приблизительным невозмущенным сохранением энергии, см. Wolfgang Pauli , Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics (Dover Books on Physics, 2000) ISBN 0486414620 , стр. 150–151. 
7. Ландау, Л. Д. и Лифшиц, Э. М. (2013). Квантовая механика: нерелятивистская теория (т. 3). Elsevier.
8. Мерцбахер, Ойген (1998). "19.7" (PDF) . Квантовая механика (3-е изд.). Wiley, John & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-88702-7.
9. NA Sinitsyn, Q. Niu и AH MacDonald (2006). "Сдвиг координат в полуклассическом уравнении Больцмана и аномальный эффект Холла". Phys. Rev. B . 73 (7): 075318. arXiv : cond-mat/0511310 . Bibcode :2006PhRvB..73g5318S. doi :10.1103/PhysRevB.73.075318. S2CID  119476624.
10. Коэн-Таннуджи, Клод ; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк (1977). Квантовая механика Том II Глава XIII Дополнение D_{XIII} . Уайли. ISBN 978-0471164333.
11. Бете, Ганс ; Солпитер, Эдвин (1977). Квантовая механика одно- и двухэлектронных атомов . Springer, Бостон, Массачусетс. ISBN 978-0-306-20022-9.
12. Ю, Питер Ю.; Кардона, Мануэль (2010). Основы полупроводников - Физика и свойства материалов (4-е изд.). Springer. стр. 260. doi :10.1007/978-3-642-00710-1. ISBN 978-3-642-00709-5.
13. Эдвинссон, Т. (2018). «Оптическое квантовое ограничение и фотокаталитические свойства в двумерных, одномерных и нульмерных наноструктурах». Royal Society Open Science . 5 (9): 180387. Bibcode :2018RSOS....580387E. doi :10.1098/rsos.180387. ISSN  2054-5703. PMC 6170533 . PMID  30839677. 
14. Фокс, Марк (2006). Квантовая оптика: Введение . Оксфорд: Oxford University Press. стр. 51. ISBN 9780198566731.
15. К. Х. Дрексхаге; Х. Кун; Ф.П. Шефер (1968). «Изменение времени затухания флуоресценции молекулы перед зеркалом». Berichte der Bunsengesellschaft für Physikalische Chemie . 72 (2): 329. doi :10.1002/bbpc.19680720261. S2CID  94677437.
16. KH Drexhage (1970). «Влияние диэлектрического интерфейса на время затухания флуоресценции». Журнал люминесценции . 1 : 693–701. Bibcode :1970JLum....1..693D. doi :10.1016/0022-2313(70)90082-7.

Внешние ссылки

• Дополнительная информация о золотом правиле Ферми
• Вывод золотого правила Ферми
• Теория возмущений, зависящих от времени
• Золотое правило Ферми: его вывод и обоснование с помощью идеальной модели