ряд Дирихле

Математическая серия

В математике ряд Дирихле — это любой ряд вида , где s — комплексное число , а — комплексная последовательность . Это частный случай общего ряда Дирихле . $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}$$ ${\displaystyle a_{n}}$

Ряды Дирихле играют ряд важных ролей в аналитической теории чисел . Наиболее часто встречающееся определение дзета-функции Римана — это ряд Дирихле, как и L-функции Дирихле . Предполагается, что класс рядов Сельберга подчиняется обобщенной гипотезе Римана . Ряд назван в честь Петера Густава Лежена Дирихле .

Комбинаторная важность

Ряды Дирихле можно использовать в качестве порождающих рядов для подсчета взвешенных наборов объектов относительно веса, который объединяется мультипликативно при взятии декартовых произведений.

Предположим, что A — это множество с функцией w : A → N , назначающей вес каждому из элементов A , и предположим дополнительно, что слой над любым натуральным числом под этим весом является конечным множеством. (Мы называем такое расположение ( A , w ) взвешенным множеством.) Предположим дополнительно, что a _n — это число элементов A с весом n . Затем мы определяем формальный производящий ряд Дирихле для A относительно w следующим образом:

${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A}(s)=\sum _{a\in A}{\frac {1}{w(a)^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

Обратите внимание, что если A и B являются непересекающимися подмножествами некоторого взвешенного множества ( U , w ), то ряд Дирихле для их (непересекающегося) объединения равен сумме их рядов Дирихле:

${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A\uplus B}(s)={\mathfrak {D}}_{w}^{A}(s)+{\mathfrak {D}}_{w}^{B}(s).}$

Более того, если ( A , u ) и ( B , v ) — два взвешенных множества, и мы определяем весовую функцию w : A × B → N следующим образом:

${\displaystyle w(a,b)=u(a)v(b),}$

для всех a из A и b из B мы имеем следующее разложение для ряда Дирихле декартова произведения:

${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A\times B}(s)={\mathfrak {D}}_{u}^{A}(s)\cdot {\mathfrak {D}}_{v}^{B}(s).}$

Это в конечном итоге следует из того простого факта, что ${\displaystyle n^{-s}\cdot m^{-s}=(nm)^{-s}.}$

Примеры

Самый известный пример ряда Дирихле —

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}$

аналитическое продолжение которого (за исключением простого полюса в ) является дзета-функцией Римана . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle s=1}$

При условии, что f принимает действительные значения при всех натуральных числах n , соответствующие действительные и мнимые части ряда Дирихле F имеют известные формулы, в которых мы записываем : ${\displaystyle s\equiv \sigma +it}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Re [F(s)]&=\sum _{n\geq 1}{\frac {~f(n)\,\cos(t\log n)~}{n^{\sigma }}}\\\Im [F(s)]&=\sum _{n\geq 1}{\frac {~f(n)\,\sin(t\log n)~}{n^{\sigma }}}\,.\end{aligned}}}$

Рассматривая их пока как формальные ряды Дирихле, чтобы иметь возможность игнорировать вопросы сходимости, отметим, что мы имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&={\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\mathbb {N} }(s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\{p^{n}:n\in \mathbb {N} \}}(s)=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\{p^{n}\}}(s)\\&=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{(p^{n})^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }\left({\frac {1}{p^{s}}}\right)^{n}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\end{aligned}}}$

поскольку каждое натуральное число имеет уникальное мультипликативное разложение в степени простых чисел. Именно этот кусочек комбинаторики вдохновляет формулу произведения Эйлера .

Другой вариант:

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

где μ ( n ) — функция Мёбиуса . Этот и многие из следующих рядов могут быть получены путем применения инверсии Мёбиуса и свертки Дирихле к известным рядам. Например, для заданного характера Дирихле χ ( n ) имеем

${\displaystyle {\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}}}$

где L ( χ , s ) — L-функция Дирихле .

Если арифметическая функция f имеет обратную функцию Дирихле , т.е. если существует обратная функция такая, что свертка Дирихле функции f с ее обратной функцией дает мультипликативное тождество , то DGF обратной функции задается обратной величиной F : ${\displaystyle f^{-1}(n)}$ ${\textstyle \sum _{d|n}f(d)f^{-1}(n/d)=\delta _{n,1}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f^{-1}(n)}{n^{s}}}=\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right)^{-1}.}$

Другие идентичности включают в себя

${\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}}$

где - функция тотиента , ${\displaystyle \varphi (n)}$

${\displaystyle {\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}}$

где J _k — функция Жордана , а

${\displaystyle {\begin{aligned}&\zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}\\[6pt]&{\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-2a)}{\zeta (2s-2a)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n^{2})}{n^{s}}}\\[6pt]&{\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}\end{aligned}}}$

где σ _a ( n ) — функция делителя . Специализируясь на функции делителя d  =  σ ₀ имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta ^{2}(s)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}\\[6pt]{\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}\\[6pt]{\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}.\end{aligned}}}$

Логарифм дзета-функции определяется как

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}{\frac {1}{n^{s}}},\qquad \Re (s)>1.}$

Аналогично, у нас есть, что

${\displaystyle -\zeta '(s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\log(n)}{n^{s}}},\qquad \Re (s)>1.}$

Здесь Λ( n ) — функция Мангольдта . Логарифмическая производная тогда равна

${\displaystyle {\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Последние три являются частными случаями более общего соотношения для производных рядов Дирихле, приведенного ниже.

Учитывая функцию Лиувилля λ ( n ), имеем

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Еще один пример касается суммы Рамануджана :

${\displaystyle {\frac {\sigma _{1-s}(m)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}(m)}{n^{s}}}.}$

Другая пара примеров включает функцию Мёбиуса и простую омега-функцию : ^[1]

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}\equiv \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu ^{2}(n)}{n^{s}}}.}$

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}.}$

Мы имеем, что ряд Дирихле для простой дзета-функции , которая является аналогом дзета-функции Римана, суммированной только по индексам n, которые являются простыми числами, задается суммой по функции Мёбиуса и логарифмам дзета-функции:

${\displaystyle P(s):=\sum _{p{\text{ prime}}}p^{-s}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns).}$

Большой табличный каталог с перечнем других примеров сумм, соответствующих известным представлениям рядов Дирихле, можно найти здесь.

Примеры рядов Дирихле DGF, соответствующих аддитивному (а не мультипликативному) f , приведены здесь для простых омега-функций и , которые соответственно подсчитывают количество различных простых множителей n (с кратностью или без). Например, DGF первой из этих функций выражается как произведение дзета-функции Римана и простой дзета-функции для любого комплекса s с : ${\displaystyle \omega (n)}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$ ${\displaystyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\cdot P(s),\Re (s)>1.}$

Если f — мультипликативная функция , такая что ее DGF F сходится абсолютно для всех , и если p — любое простое число , то мы имеем, что ${\displaystyle \Re (s)>\sigma _{a,f}}$

${\displaystyle \left(1+f(p)p^{-s}\right)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)\mu (n)}{n^{s}}}=\left(1-f(p)p^{-s}\right)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)\mu (n)\mu (\gcd(p,n))}{n^{s}}},\forall \Re (s)>\sigma _{a,f},}$

где — функция Мёбиуса . Другое уникальное тождество ряда Дирихле генерирует сумматорную функцию некоторой арифметической функции f, вычисляемой на входах НОД , заданных как ${\displaystyle \mu (n)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\left(\sum _{k=1}^{n}f(\gcd(k,n))\right){\frac {1}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}},\forall \Re (s)>\sigma _{a,f}+1.}$

У нас также есть формула между DGF двух арифметических функций f и g , связанных инверсией Мёбиуса . В частности, если , то по инверсии Мёбиуса мы имеем, что . Следовательно, если F и G являются двумя соответствующими DGF для f и g , то мы можем связать эти два DGF формулами: ${\displaystyle g(n)=(f\ast 1)(n)}$ ${\displaystyle f(n)=(g\ast \mu )(n)}$

${\displaystyle F(s)={\frac {G(s)}{\zeta (s)}},\Re (s)>\max(\sigma _{a,f},\sigma _{a,g}).}$

Известна формула для экспоненты ряда Дирихле. Если — ДФР некоторой арифметики f с , то ДФР G выражается суммой ${\displaystyle F(s)=\exp(G(s))}$ ${\displaystyle f(1)\neq 0}$

${\displaystyle G(s)=\log(f(1))+\sum _{n\geq 2}{\frac {(f^{\prime }\ast f^{-1})(n)}{\log(n)\cdot n^{s}}},}$

где — обратная функция Дирихле для f и где арифметическая производная f задаётся формулой для всех натуральных чисел . ${\displaystyle f^{-1}(n)}$ ${\displaystyle f^{\prime }(n)=\log(n)\cdot f(n)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

Аналитические свойства

Учитывая последовательность комплексных чисел, мы пытаемся рассмотреть значение ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

как функция комплексной переменной s . Чтобы это имело смысл, нам нужно рассмотреть свойства сходимости приведенного выше бесконечного ряда:

Если — ограниченная последовательность комплексных чисел, то соответствующий ряд Дирихле f абсолютно сходится в открытой полуплоскости Re( s ) > 1. В общем случае, если a _n = O( n ^k ), ряд абсолютно сходится в полуплоскости Re( s ) >  k  + 1. ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

Если набор сумм

${\displaystyle a_{n}+a_{n+1}+\cdots +a_{n+k}}$

ограничена при n и k ≥ 0, то указанный бесконечный ряд сходится на открытой полуплоскости s, причем Re( s ) > 0.

В обоих случаях f является аналитической функцией на соответствующей открытой полуплоскости.

В общем случае — это абсцисса сходимости ряда Дирихле, если он сходится при и расходится при Это аналог для ряда Дирихле радиуса сходимости для степенного ряда . Однако случай ряда Дирихле более сложен: абсолютная сходимость и равномерная сходимость могут иметь место в различных полуплоскостях. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Re (s)>\sigma }$ ${\displaystyle \Re (s)<\sigma .}$

Во многих случаях аналитическая функция, связанная с рядом Дирихле, имеет аналитическое расширение на большую область.

Абсцисса сходимости

Предполагать

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}}$

сходится для некоторых ${\displaystyle s_{0}\in \mathbb {C} ,\Re (s_{0})>0.}$

Предложение 1. ${\displaystyle A(N):=\sum _{n=1}^{N}a_{n}=o(N^{s_{0}}).}$

Доказательство. Обратите внимание, что:

${\displaystyle (n+1)^{s}-n^{s}=\int _{n}^{n+1}sx^{s-1}\,dx={\mathcal {O}}(n^{s-1}).}$

и определить

${\displaystyle B(N)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}=\ell +o(1)}$

где

${\displaystyle \ell =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}.}$

Суммируя по частям, имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}A(N)&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}n^{s_{0}}\\&=B(N)N^{s_{0}}+\sum _{n=1}^{N-1}B(n)\left(n^{s_{0}}-(n+1)^{s_{0}}\right)\\&=(B(N)-\ell )N^{s_{0}}+\sum _{n=1}^{N-1}(B(n)-\ell )\left(n^{s_{0}}-(n+1)^{s_{0}}\right)\\&=o(N^{s_{0}})+\sum _{n=1}^{N-1}{\mathcal {o}}(n^{s_{0}-1})\\&=o(N^{s_{0}})\end{aligned}}}$

Предложение 2. Определить

${\displaystyle L={\begin{cases}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}&{\text{If convergent}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Затем:

${\displaystyle \sigma =\lim \sup _{N\to \infty }{\frac {\ln |A(N)-L|}{\ln N}}=\inf _{\sigma }\left\{A(N)-L={\mathcal {O}}(N^{\sigma })\right\}}$

— абсцисса сходимости ряда Дирихле.

Доказательство. Из определения

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\qquad A(N)-L={\mathcal {O}}(N^{\sigma +\varepsilon })}$

так что

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s}}}&=A(N)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}A(n)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\&=(A(N)-L)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}(A(n)-L)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\&={\mathcal {O}}(N^{\sigma +\varepsilon -s})+\sum _{n=1}^{N-1}{\mathcal {O}}(n^{\sigma +\varepsilon -s-1})\end{aligned}}}$

который сходится как и всякий раз , когда Следовательно, для каждого такого, который расходится, мы имеем и это завершает доказательство. ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle \Re (s)>\sigma .}$ ${\displaystyle s}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}}$ ${\displaystyle \sigma \geq \Re (s),}$

Предложение 3. Если сходится, то при и где она мероморфна ( не имеет полюсов на ). ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle f(\sigma +it)=o\left({\tfrac {1}{\sigma }}\right)}$ ${\displaystyle \sigma \to 0^{+}}$ ${\displaystyle f(s)}$ ${\displaystyle \Re (s)=0}$

Доказательство. Обратите внимание, что

${\displaystyle n^{-s}-(n+1)^{-s}=sn^{-s-1}+O(n^{-s-2})}$

и мы имеем путем суммирования по частям, для ${\displaystyle A(N)-f(0)\to 0}$ ${\displaystyle \Re (s)>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(s)&=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s}}}\\&=\lim _{N\to \infty }A(N)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}A(n)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\&=s\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-1}+\underbrace {{\mathcal {O}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-2}\right)} _{={\mathcal {O}}(1)}\end{aligned}}}$

Теперь найдем N такое, что для n  >  N , ${\displaystyle |A(n)-f(0)|<\varepsilon }$

${\displaystyle s\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-1}=\underbrace {sf(0)\zeta (s+1)+s\sum _{n=1}^{N}(A(n)-f(0))n^{-s-1}} _{={\mathcal {O}}(1)}+\underbrace {s\sum _{n=N+1}^{\infty }(A(n)-f(0))n^{-s-1}} _{<\varepsilon |s|\int _{N}^{\infty }x^{-\Re (s)-1}\,dx}}$

и, следовательно, для каждого существует такое , что для : ^[2] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \sigma >0}$

${\displaystyle |f(\sigma +it)|<C+\varepsilon |\sigma +it|{\frac {1}{\sigma }}.}$

Формальный ряд Дирихле

Формальный ряд Дирихле над кольцом R связан с функцией a от положительных целых чисел до R

${\displaystyle D(a,s)=\sum _{n=1}^{\infty }a(n)n^{-s}\ }$

сложение и умножение определяются

${\displaystyle D(a,s)+D(b,s)=\sum _{n=1}^{\infty }(a+b)(n)n^{-s}\ }$

${\displaystyle D(a,s)\cdot D(b,s)=\sum _{n=1}^{\infty }(a*b)(n)n^{-s}\ }$

где

${\displaystyle (a+b)(n)=a(n)+b(n)\ }$

это поточечная сумма и

${\displaystyle (a*b)(n)=\sum _{k\mid n}a(k)b(n/k)\ }$

является сверткой Дирихле a и b .

Формальный ряд Дирихле образует кольцо Ω, на самом деле R -алгебру, с нулевой функцией как аддитивным нулевым элементом и функцией δ, определяемой как δ (1) = 1, δ ( n ) = 0 для n  > 1 как мультипликативной единицей. Элемент этого кольца обратим, если a (1) обратим в R . Если R коммутативно, то и Ω; если R - область целостности , то и Ω. Ненулевые мультипликативные функции образуют подгруппу группы единиц Ω.

Кольцо формальных рядов Дирихле над C изоморфно кольцу формальных степенных рядов от счетного числа переменных. ^[3]

Производные

Данный

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

можно показать, что

${\displaystyle F'(s)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\log(n)}{n^{s}}}}$

предполагая, что правая часть сходится. Для полностью мультипликативной функции ƒ( n ), и предполагая, что ряд сходится при Re( s ) > σ ₀ , тогда имеем, что

${\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}$

сходится при Re( s ) > _σ0 . Здесь Λ( n ) — функция фон Мангольдта .

Продукция

Предполагать

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}$

и

${\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }g(n)n^{-s}.}$

Если и F ( s ), и G ( s ) абсолютно сходятся при s > a и s > b, то мы имеем

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}\,F(a+it)G(b-it)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)g(n)n^{-a-b}{\text{ as }}T\sim \infty .}$

Если a = b и ƒ ( n ) = g ( n ), то имеем

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}|F(a+it)|^{2}\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}{\text{ as }}T\sim \infty .}$

Обращение коэффициента (интегральная формула)

Для всех положительных целых чисел функция f в точке x может быть восстановлена ​​из производящей функции Дирихле (ПФД) F функции f (или ряда Дирихле по f ) с использованием следующей интегральной формулы, где , абсцисса абсолютной сходимости ПФД F ^[4] ${\displaystyle x\geq 1}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \sigma >\sigma _{a,f}}$

${\displaystyle f(x)=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x^{\sigma +it}F(\sigma +it)dt.}$

Также возможно инвертировать преобразование Меллина суммирующей функции f , которая определяет DGF F функции f, чтобы получить коэффициенты ряда Дирихле (см. раздел ниже). В этом случае мы приходим к комплексной формуле контурного интеграла, связанной с теоремой Перрона. Практически говоря, скорости сходимости приведенной выше формулы как функции T являются переменными, и если ряд Дирихле F чувствителен к изменению знака как медленно сходящийся ряд, может потребоваться очень большое T для аппроксимации коэффициентов F с помощью этой формулы без принятия формального предела.

Другой вариант предыдущей формулы, изложенной в книге Апостола, дает интегральную формулу для альтернативной суммы в следующем виде для и любого действительного числа , где мы обозначаем : ${\displaystyle c,x>0}$ ${\displaystyle \Re (s)\equiv \sigma >\sigma _{a,f}-c}$ ${\displaystyle \Re (s):=\sigma }$

${\displaystyle {\sum _{n\leq x}}^{\prime }{\frac {f(n)}{n^{s}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }D_{f}(s+z){\frac {x^{z}}{z}}dz.}$

Интегральные и рядовые преобразования

Обратное преобразование Меллина ряда Дирихле, деленное на s, задается формулой Перрона . Кроме того, если — (формальная) обычная производящая функция последовательности , то интегральное представление для ряда Дирихле последовательности производящей функции , задается формулой ^[5] ${\textstyle F(z):=\sum _{n\geq 0}f_{n}z^{n}}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle \{f_{n}z^{n}\}_{n\geq 0}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}z^{n}}{(n+1)^{s}}}={\frac {(-1)^{s-1}}{(s-1)!}}\int _{0}^{1}\log ^{s-1}(t)F(tz)\,dt,\ s\geq 1.}$

Другой класс связанных производных и основанных на рядах преобразований производящей функции на основе обычной производящей функции последовательности, которые эффективно производят разложение левой части в предыдущем уравнении, соответственно определены в ^{[6] [7]}

Отношение к степенному ряду

Последовательность a _{n ,} генерируемая функцией, производящей ряд Дирихле, соответствующей:

${\displaystyle \zeta (s)^{m}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

где ζ ( s ) — дзета-функция Римана , имеет обычную производящую функцию:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}=x+{m \choose 1}\sum _{a=2}^{\infty }x^{a}+{m \choose 2}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }x^{ab}+{m \choose 3}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }x^{abc}+{m \choose 4}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }\sum _{d=2}^{\infty }x^{abcd}+\cdots }$

Связь с суммирующей функцией арифметической функции через преобразования Меллина

Если f — арифметическая функция с соответствующей DGF F , а сумматорная функция f определяется как

${\displaystyle S_{f}(x):={\begin{cases}\sum _{n\leq x}f(n),&x\geq 1;\\0,&0<x<1,\end{cases}}}$

тогда мы можем выразить F через преобразование Меллина суммирующей функции в . А именно, мы имеем, что ${\displaystyle -s}$

${\displaystyle F(s)=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {S_{f}(x)}{x^{s+1}}}dx,\Re (s)>\sigma _{a,f}.}$

Для и любых натуральных чисел мы также имеем приближение к DGF F функции f, заданное формулой ${\displaystyle \sigma :=\Re (s)>0}$ ${\displaystyle N\geq 1}$

${\displaystyle F(s)=\sum _{n\leq N}f(n)n^{-s}-{\frac {S_{f}(N)}{N^{s}}}+s\cdot \int _{N}^{\infty }{\frac {S_{f}(y)}{y^{s+1}}}dy.}$

Смотрите также

• Общий ряд Дирихле
• Регуляризация дзета-функции
• произведение Эйлера
• свертка Дирихле

Ссылки

1. Формулы для обеих серий приведены в разделе 27.4 Справочника по математическим функциям NIST.
2. Харди, Г. Х .; Рисс, М. (1915). Общая теория рядов Дирихле. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Том 18. Cambridge University Press.
3. Cashwell, ED; Everett, CJ (1959). «Кольцо функций теории чисел». Pacific J. Math . 9 (4): 975–985. doi : 10.2140/pjm.1959.9.975 . ISSN  0030-8730. MR  0108510. Zbl  0092.04602.
4. Раздел 11.11 книги Апостола доказывает эту формулу.
5. Борвейн, Дэвид; Борвейн, Джонатан М.; Гиргенсон, Роланд (1995). «Явная оценка сумм Эйлера». Труды Эдинбургского математического общества. Серия II . 38 (2): 277–294. doi :10.1017/S0013091500019088. hdl : 1959.13/1043647 .
6. Шмидт, МД (2017). "Преобразования функций генерации дзета-рядов, связанные с функциями полилогарифма и гармоническими числами k-го порядка" (PDF) . Онлайн-журнал аналитической комбинаторики (12).
7. Шмидт, МД (2016). «Преобразования функций генерации дзета-рядов, связанные с обобщенными числами Стирлинга и частичными суммами дзета-функции Гурвица». arXiv : 1611.00957 [math.CO].

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Бакалаврские тексты по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001
• Харди, Г. Х.; Рисс, Марсель (1915). Общая теория рядов Дирихле . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 18. Cambridge University Press.
• Общая теория рядов Дирихле, автор GH Hardy. Библиотека Корнеллского университета, исторические математические монографии. {Перепечатано} Цифровые коллекции библиотеки Корнеллского университета
• Gould, Henry W.; Shonhiwa, Temba (2008). "Каталог интересных рядов Дирихле". Miss. J. Math. Sci . 20 (1). Архивировано из оригинала 2011-10-02.
• Матар, Ричард Дж. (2011). «Обзор рядов Дирихле мультипликативных арифметических функций». arXiv : 1106.4038 [math.NT].
• Тененбаум, Жеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел . Кембриджские исследования по высшей математике. Том 46. Cambridge University Press . ISBN 0-521-41261-7. Збл  0831.11001.
• "Ряд Дирихле". PlanetMath .