Сопряженные переменные

Переменные, двойственные преобразованию Фурье

Сопряженные переменные — это пары переменных, математически определенные таким образом, что они становятся двойственными преобразованиями Фурье , ^{[1] [2]} или, в более общем смысле, связаны через двойственность Понтрягина . Отношения двойственности естественным образом приводят к соотношению неопределенности — в физике называемому принципом неопределенности Гейзенберга — между ними. В математических терминах сопряженные переменные являются частью симплектического базиса , а отношение неопределенности соответствует симплектической форме . Кроме того, сопряженные переменные связаны теоремой Нётер , которая утверждает, что если законы физики инвариантны относительно изменения одной из сопряженных переменных, то другая сопряженная переменная не будет меняться со временем (т.е. будет сохраняться).

Примеры

Существует много типов сопряженных переменных, в зависимости от типа работы, которую выполняет (или которой подвергается) определенная система. Примеры канонически сопряженных переменных включают следующее:

• Время и частота : чем дольше сохраняется музыкальная нота, тем точнее мы знаем ее частоту, но она охватывает большую продолжительность и, таким образом, является более распределенным событием или «мгновением» во времени. И наоборот, очень короткая музыкальная нота становится просто щелчком и поэтому более локализована во времени, но невозможно очень точно определить ее частоту. ^[3]
• Допплер и дальность : чем больше мы знаем о том, как далеко находится радиолокационная цель, тем меньше мы можем знать о точной скорости приближения или отступления, и наоборот. В этом случае двумерная функция доплера и дальности известна как функция радиолокационной неоднозначности или диаграмма радиолокационной неоднозначности .
• Поверхностная энергия: γ  d A ( γ = поверхностное натяжение ; A = площадь поверхности).
• Упругое растяжение: F  d L ( F = сила упругости; L длина в растянутом состоянии).

Производные действия

В классической физике производные действия — это переменные, сопряженные с величиной, по которой производится дифференцирование. В квантовой механике эти же пары переменных связаны принципом неопределенности Гейзенберга .

• Энергия частицы в определенном событии является отрицательной производной действия вдоль траектории этой частицы, заканчивающейся в этом событии, по отношению ко времени события .
• Линейный импульс частицы является производной ее действия по отношению к ее положению .
• Угловой момент частицы является производной ее действия по ее ориентации (угловому положению).
• Массовый момент ( ) частицы является отрицательным значением производной ее действия по ее быстроте . ${\displaystyle \mathbf {N} =t\mathbf {p} -E\mathbf {r} }$
• Электрический потенциал (φ, напряжение ) при событии является отрицательным значением производной действия электромагнитного поля по плотности (свободного) электрического заряда в этом событии. ^{[ нужна цитата ]}
• Магнитный потенциал ( A ) при событии является производной действия электромагнитного поля по отношению к плотности (свободного) электрического тока в этом событии. ^{[ нужна цитата ]}
• Электрическое поле ( E ) при событии является производной действия электромагнитного поля по отношению к плотности электрической поляризации в этом событии. ^{[ нужна цитата ]}
• Магнитная индукция ( B ) при событии является производной действия электромагнитного поля по отношению к намагниченности в этом событии. ^{[ нужна цитата ]}
• Ньютоновский гравитационный потенциал в момент события представляет собой отрицательную производную действия ньютоновского гравитационного поля по отношению к плотности массы в этом событии. ^{[ нужна цитата ]}

Квантовая теория

В квантовой механике сопряженные переменные реализуются как пары наблюдаемых, операторы которых не коммутируют. В общепринятой терминологии их называют несовместимыми наблюдаемыми . Рассмотрим, в качестве примера, измеримые величины, определяемые положением и импульсом . В квантово-механическом формализме две наблюдаемые и соответствуют операторам и , которые обязательно удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению : ${\displaystyle \left(x\right)}$ ${\displaystyle \left(p\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\widehat {x}}}$ ${\displaystyle {\widehat {p\,}}}$

$${\displaystyle [{\widehat {x}},{\widehat {p\,}}]={\widehat {x}}{\widehat {p\,}}-{\widehat {p\,}}{\widehat {x}}=i\hbar }$$

Для каждого ненулевого коммутатора двух операторов существует «принцип неопределенности», который в нашем рассматриваемом примере может быть выражен в виде:

$${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2}$$

В этих нечетких обозначениях и обозначают «неопределенность» одновременной спецификации и . Более точное и статистически полное утверждение, касающееся стандартного отклонения, гласит: ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2}$$

В более общем смысле, для любых двух наблюдаемых и соответствующих операторам и обобщенный принцип неопределенности определяется следующим образом: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ ${\displaystyle {\widehat {B}}}$

$${\displaystyle {\sigma _{A}}^{2}{\sigma _{B}}^{2}\geq \left({\frac {1}{2i}}\left\langle \left[{\widehat {A}},{\widehat {B}}\right]\right\rangle \right)^{2}}$$

Теперь предположим, что нам нужно было явно определить два конкретных оператора, присвоив каждому определенную математическую форму, так чтобы пара удовлетворяла вышеупомянутому коммутационному соотношению. Важно помнить, что наш конкретный «выбор» операторов будет просто отражать одно из многих эквивалентных или изоморфных представлений общей алгебраической структуры, которая фундаментально характеризует квантовую механику. Обобщение формально обеспечивается алгеброй Ли Гейзенберга с соответствующей группой, называемой группой Гейзенберга . ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}}$ ${\displaystyle H_{3}}$

Гидравлическая механика

В гамильтоновой механике жидкости и квантовой гидродинамике само действие ( или потенциал скорости ) является сопряженной переменной плотности ( или плотности вероятности ).

Смотрите также

• Канонические координаты

Примечания

1. «Гейзенберг - Квантовая механика, 1925–1927: отношения неопределенности». Архивировано из оригинала 22 декабря 2015 г. Проверено 7 августа 2010 г.
2. Ялмарс, С. (1962). «Некоторые замечания о времени и энергии как сопряженных переменных». Иль Нуово Чименто . 25 (2): 355–364. Бибкод : 1962NCim...25..355H. дои : 10.1007/BF02731451. S2CID  120008951.
3. Манн, С.; Хайкин, С. (ноябрь 1995 г.). «Преобразование чирплета: физические соображения» (PDF) . Транзакции IEEE по обработке сигналов . 43 (11): 2745–2761. Бибкод : 1995ITSP...43.2745M. дои : 10.1109/78.482123.