Преобразование Фурье–Броса–Ягольницера

Математическое преобразование

В математике преобразование FBI или преобразование Фурье–Бро–Ягольницера является обобщением преобразования Фурье, разработанного французскими математиками-физиками Жаком Бро и Даниэлем Ягольницером для характеристики локальной аналитичности функций (или распределений ) на R ⁿ . Преобразование обеспечивает альтернативный подход к аналитическим волновым фронтам распределений, разработанный независимо японскими математиками Микио Сато , Масаки Касиварой и Такахиро Каваи в их подходе к микролокальному анализу . Его также можно использовать для доказательства аналитичности решений аналитических эллиптических уравнений в частных производных , а также в качестве версии классической теоремы единственности, усиливающей теорему Коши–Ковалевски , предложенную шведским математиком Эриком Альбертом Хольмгреном (1872–1943).

Определения

Преобразование Фурье функции Шварца f в S ( R ⁿ ) определяется как

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(t)=(2\pi )^{-n/2}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}f(x)e^{-ix\cdot t}\,dx.}$

Преобразование FBI функции f определяется для a ≥ 0 следующим образом:

${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{a}f)(t,y)=(2\pi )^{-n/2}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}f(x)e^{-a|x-y|^{2}/2}e^{-ix\cdot t}\,dx.}$

Таким образом, при a = 0 оно по сути совпадает с преобразованием Фурье.

Те же формулы можно использовать для определения преобразований Фурье и FBI для распределений с поправкой на закон ^S ' ( Rn ) .

Формула обращения

Формула обращения Фурье

${\displaystyle f(x)={\mathcal {F}}^{2}f(-x)}$

позволяет восстановить функцию f из ее преобразования Фурье.

В частности

${\displaystyle f(x)=(2\pi )^{-n/2}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}e^{it\cdot x}{\mathcal {F}}(f)(t)\,dt}$

Аналогично, при положительном значении a , f (0) может быть восстановлена ​​из преобразования FBI f ( x ) с помощью формулы инверсии

${\displaystyle f(x)=(2\pi )^{-n/2}\int _{{\mathbf {R} }^{n}}e^{it\cdot x}e^{a|x-y|^{2}/2}{\mathcal {F}}_{a}(f)(t,y)\,dt}$

Критерий локальной аналитичности

Брос и Ягольницер показали, что распределение f локально равно действительной аналитической функции в точке y в направлении ξ тогда и только тогда, когда его преобразование FBI удовлетворяет неравенству вида

${\displaystyle |({\mathcal {F}}_{|\xi |}f)(\xi ,y)|\leq Ce^{-\varepsilon |\xi |},}$

для достаточно большого |ξ| .

Теорема единственности Хольмгрена

Простым следствием характеристики локальной аналитичности, данной Бросом и Ягольницером, является следующий результат Ларса Хёрмандера и Микио Сато (Sjöstrand (1982)).

Теорема. Пусть P — эллиптический частный дифференциальный оператор с аналитическими коэффициентами, определенный на открытом подмножестве X в R ⁿ . Если Pf аналитичен в X , то таковым является и f .

Когда в этой теореме «аналитический» заменяется на «гладкий», результатом становится просто классическая лемма Германа Вейля об эллиптической регулярности , обычно доказанная с использованием пространств Соболева (Warner 1983). Это частный случай более общих результатов, включающих аналитический волновой фронт (см. ниже), из которых следует классическое усиление Хольмгреном теоремы Коши–Ковалевской о линейных частных дифференциальных уравнениях с действительными аналитическими коэффициентами. На современном языке теорема уникальности Хольмгрена утверждает, что любое распределительное решение такой системы уравнений должно быть аналитическим и, следовательно, единственным по теореме Коши–Ковалевской.

Аналитический волновой фронт

Аналитический волновой фронт или сингулярный спектр WF _A ( f ) распределения f ( или, в более общем смысле, гиперфункции ) можно определить в терминах преобразования FBI (Хёрмандер (1983)) как дополнение конического множества точек ( x , λ ξ) (λ > 0) таких, что преобразование FBI удовлетворяет неравенству Броса–Ягольницера

${\displaystyle |({\mathcal {F}}_{|\xi |}f)(\xi ,y)|\leq Ce^{-\varepsilon |\xi |},}$

для y точки, в которой хотелось бы проверить аналитичность, и | ξ | достаточно большой и указывающий в направлении, в котором хотелось бы искать волновой фронт, то есть направление, в котором распространяется особенность в y , если она существует. JM Bony (Sjöstrand (1982), Hörmander (1983)) доказал, что это определение совпадает с другими определениями, введенными независимо Сато, Кашиварой и Каваи и Hörmander. Если P - линейный дифференциальный оператор m- го порядка, имеющий аналитические коэффициенты

${\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha },}$

с основным символом

${\displaystyle \sigma _{P}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha },}$

и характерное разнообразие

${\displaystyle {\rm {char}}\,P=\{(x,\xi ):\xi \neq 0,\,\sigma _{P}(x,\xi )=0\},}$

затем

• ${\displaystyle \operatorname {WF} _{A}(Pf)\subseteq \operatorname {WF} _{A}(f)}$
• ${\displaystyle \operatorname {WF} _{A}(f)\subseteq \operatorname {WF} _{A}(Pf)\cup \operatorname {char} P.}$

В частности, когда P эллиптический, char P = ø, так что

WF _A ( Pf ) = WF _A ( f ).

Это усиление аналитической версии эллиптической регулярности, упомянутой выше.

Ссылки

• Фолланд, Джеральд Б. (1989), Гармонический анализ в фазовом пространстве , Annals of Mathematics Studies, т. 122, Princeton University Press, ISBN 0-691-08528-5
• Гординг, Ларс (1998), Математика и математики: Математика в Швеции до 1950 года , Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0612-2
• Хёрмандер, Ларс (1983), Анализ операторов в частных производных I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-12104-8(Глава 9.6, Аналитический волновой фронт.)
• Ягольницер, Даниэль (1975), Микролокальная существенная поддержка распределения и локальные разложения – введение. В Гиперфункции и теоретическая физика , Lecture Notes in Mathematics, т. 449, Springer-Verlag, стр. 121–132
• Кранц, Стивен ; Паркс, Гарольд Р. (1992), Учебник по действительным аналитическим функциям , Birkhäuser, ISBN 0-8176-4264-1. 2-е изд., Биркхойзер (2002), ISBN 0-8176-4264-1 . 
• Сьёстранд, Йоханнес (1982), «Singularités analytiques microlocales. [Микролокальные аналитические особенности]», Asterisque , 95 : 1–166.
• Трев, Франсуа (1992), Гипоаналитические структуры: Локальная теория , Princeton Mathematical Series, т. 40, Princeton University Press, ISBN 0-691-08744-X(Глава 9, Преобразование ФБР в гипоаналитическом многообразии.)
• Уорнер, Фрэнк (1983), Основы дифференциальной геометрии и групп Ли , Выпускные тексты по математике, т. 94, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90894-3