От нуля до бесконечности

Книга по теории чисел

«От нуля до бесконечности: что делает числа интересными» — книга Констанс Рид по популярной математике и теории чисел . Первоначально он был опубликован в 1955 году компанией Thomas Y. Crowell. ^[1] Четвертое издание было опубликовано в 1992 году Математической ассоциацией Америки в серии MAA Spectrum. ^{[2] [3] [4]} AK Peters опубликовал пятое «Пятидесятилетие издания» в 2006 году. ^{[5] [6] [7] [8] [9] [10]}

Фон

Рид сама не была профессиональным математиком, но происходила из математической семьи, в которую входили ее сестра Джулия Робинсон и зять Рафаэль М. Робинсон . ^[11] Она работала школьной учительницей, но к моменту публикации « От нуля до бесконечности » была «домохозяйкой и писателем-фрилансером». ^[1] Она стала известна своими многочисленными книгами о математике и математиках, ориентированными на широкую аудиторию, из которых эта была первой. ^[11]

Интерес Рид к теории чисел был вызван использованием ее сестрой компьютеров для открытия простых чисел Мерсенна . В 1953 году она опубликовала в журнале Scientific American статью на тесно связанную с ней тему — совершенные числа , а вскоре после этого написала эту книгу. ^[4] Ее предполагаемое название было «Что делает числа интересными» ; название «От нуля до бесконечности» было изменением, внесенным издателем. ^[8]

Темы

Двенадцать глав «От нуля до бесконечности» пронумерованы десятью десятичными цифрами ( число Эйлера примерно 2,71828) и наименьшим бесконечным кардинальным числом . Тема каждой главы каким-то образом связана с номером ее главы, причем уровень сложности, как правило, увеличивается по мере продвижения книги: ^{[4] [5] [10]} ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

• В главе 0 обсуждается история систем счисления, развитие позиционных обозначений и необходимость использования символа-заполнителя для нуля, а также гораздо более позднее понимание нуля как самого числа. В нем обсуждаются особые свойства нуля среди всех других чисел, а также концепция неопределенных форм , возникающих в результате деления на ноль . ^{[4] [5] [10]}
• Глава 1 посвящена использованию чисел для подсчета вещей, арифметике, а также понятиям простых чисел и факторизации целых чисел . ^{[4] [5]}
• Темы главы 2 включают двоичное представление , его древнее использование в крестьянском умножении и в современной компьютерной арифметике, а также его формализацию в виде системы счисления Готфрида Лейбница . В более общем плане обсуждается идея систем счисления с разными основаниями, а также конкретные основы, включая шестнадцатеричные . ^{[4] [5]}
• Глава 3 возвращается к простым числам, включая решето Эратосфена для их получения, а также более современные тесты на простоту . ^[4]
• Глава 4 посвящена квадратным числам , наблюдению Галилея о том, что квадраты равнозначны счетным числам, теореме Пифагора , Великой теореме Ферма и диофантовым уравнениям в более общем плане. ^{[4] [5]}
• В главе 5 обсуждаются фигурные числа , целочисленные разбиения , а также производящие функции и теорема о пятиугольных числах , которые связывают эти две концепции. ^{[4] [5]}
• В главе 6 Рид приводит материал из своей более ранней статьи о совершенных числах (из которых 6 является наименьшим нетривиальным примером), их связи с простыми числами Мерсенна , поиске больших простых чисел и открытии родственниками Рида новых простых чисел Мерсенна. ^{[4] [5]}
• Простые числа Мерсенна — это простые числа на одну единицу меньше степени двойки . Вместо этого глава 7 посвящена простым числам, которые на единицу больше степени двойки, простым числам Ферма , и их тесной связи с конструируемыми многоугольниками . Семиугольник с семью сторонами — это наименьший многоугольник, который невозможно построить, поскольку он не является произведением простых чисел Ферма . ^[4]
• Глава 8 посвящена кубам и проблеме Уоринга о представлении целых чисел в виде сумм кубов или других степеней. ^{[4] [5]}
• Темой главы 9 является модульная арифметика , делимость и их связь с позиционной записью, включая использование исключения девяток для определения делимости на девять. ^{[4] [5] [10]}
• В главе « От нуля до бесконечности» происходит переход от целых чисел к иррациональным числам , комплексным числам , логарифмам и формуле Эйлера . Он связывает эти темы с целыми числами посредством теории цепных дробей и теоремы о простых числах . ^[4] ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e^{i\pi }=1}$
• Последняя глава, Глава , представляет собой базовое введение в числа Алеф и теорию бесконечных множеств, включая диагональный аргумент Кантора в пользу существования несчетных бесконечных множеств. ^{[4] [5]} ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Первое издание включало только главы с 0 по 9. ^[1] Глава о бесконечных множествах была добавлена ​​во второе издание, заменив раздел, посвященный парадоксу интересных чисел . ^[12] Более поздние издания книги были «тщательно обновлены» Ридом; ^[4] в частности, пятое издание включает обновленную информацию о поиске простых чисел Мерсенна и доказательстве Великой теоремы Ферма , а также восстанавливает индекс, который был исключен из предыдущих изданий. ^[9]

Аудитория и прием

Книга «От нуля до бесконечности» была написана так, чтобы быть доступной как учащимся, так и взрослым, не разбирающимся в математике, ^[4] для которой в качестве основы требуется только математика на уровне средней школы. ^[7] Короткие наборы «вопросов-викторин» в конце главы могут помочь в организации дискуссий в классе, что делает их полезными в качестве дополнительного материала для курсов математики в средней школе. ^{[6] [10]}

Рецензируя четвертое издание, математик Дэвид Сингмастер описывает его как «одно из классических произведений математической популяризации с момента его первого появления» и «восхитительное введение в суть математики». ^[4] Рецензент Линн Годшалл называет это «легко читаемой историей чисел», «легко понятной как преподавателям, так и их ученикам». ^[6] Мюррей Сигел описывает ее как необходимую для «библиотеки каждого учителя математики и преподавателей университета, которые готовят студентов к преподаванию математики». ^[10]

Сингмастер жалуется только на две части математики в книге: утверждение в главе 4 о том, что египтяне были знакомы с прямоугольным треугольником 3-4-5 (до сих пор являющимся предметом серьезных научных дебатов) и отсутствие в главе 7 какого-либо обсуждения этого вопроса. почему классификацию конструктивных многоугольников можно свести к случаю простых чисел сторон. ^[4] Сигел указывает на еще одну небольшую ошибку, связанную с алгебраической факторизацией, но предполагает, что ее обнаружение может стать еще одним полезным упражнением для студентов. ^[10]

Рекомендации

1. Гибб, Э. Гленадин (февраль 1957 г.), «Обзор книги « От нуля до бесконечности », 1-е изд.», Учитель математики , 50 (2): 178, JSTOR  27955358
2. Лими, Джон (март 1993 г.), «Обзор книги « От нуля до бесконечности », 4-е изд.», Учитель математики , 86 (3): 265, JSTOR  27968284
3. Моррисон, Филип ; Моррисон, Филис (декабрь 1992 г.), «Обзор книги « От нуля до бесконечности », 4-е изд.», Научные книги для молодежи, Scientific American , 267 (6), JSTOR  24939341
4. Сингмастер, Дэвид (1993), «Обзор книги «От нуля до бесконечности », 4-е изд.», MathSciNet , MR  1154796, Zbl  0803.00002
5. Belle, Vaishak (июнь 2011 г.), «Обзор книги «От нуля до бесконечности», 5-е изд.» (PDF) , Новости ACM SIGACT , 42 (2): 10–11, doi : 10.1145/1998037.1998040
6. Годшалл, Линн (июль 2007 г.), «Обзор книги «От нуля до бесконечности», 5-е изд.», Конвергенция
7. Хоугланд, Кайана (апрель 2008 г.), «Обзор книги « От нуля до бесконечности », 5-е изд.», Учитель математики , 101 (8): 622–623, JSTOR  20876226
8. Лозано-Робледо, Альваро (май 2006 г.), «Обзор книги «От нуля до бесконечности», 5-е изд.», Обзоры MAA , Математическая ассоциация Америки
9. Папп, Ф.-Ж. (2006), «Обзор книги « От нуля до бесконечности », 5-е изд.», MathSciNet , MR  2198198
10. Сигел, Мюррей Х. (февраль 2007 г.), «Обзор книги « От нуля до бесконечности », 5-е изд.», Преподавание математики в средней школе , 12 (6): 350, JSTOR  41182422
11. «Автор и давний член MAA Констанс Рид умирает в возрасте 92 лет», MAA News , Математическая ассоциация Америки, 20 октября 2010 г.
12. Гамильтон, JMC (1960), «Обзор книги « От нуля до бесконечности », 2-е изд.», Mathematics Magazine , 34 (1): 43–44, doi : 10.2307/2687853, JSTOR  2687853?, MR  1571022