Теория динамо

Механизм, посредством которого небесное тело генерирует магнитное поле

Иллюстрация механизма динамо, который генерирует магнитное поле Земли: конвекционные потоки жидкого металла во внешнем ядре Земли , приводимые в движение тепловым потоком из внутреннего ядра, организованные в рулоны силой Кориолиса , генерируют циркулирующие электрические токи, которые поддерживают магнитное поле. ^[1]

В физике теория динамо предлагает механизм, посредством которого небесное тело, такое как Земля или звезда, генерирует магнитное поле . Теория динамо описывает процесс, посредством которого вращающаяся, конвективная и электропроводящая жидкость может поддерживать магнитное поле в течение астрономических временных масштабов. Считается, что динамо является источником магнитного поля Земли и магнитных полей Меркурия и планет-гигантов .

История теории

Когда Уильям Гилберт опубликовал de Magnete в 1600 году, он пришел к выводу, что Земля является магнитной, и предложил первую гипотезу происхождения этого магнетизма: постоянный магнетизм, такой как тот, что обнаружен в магните . В 1822 году Андре-Мари Ампер предположил, что внутренние токи ответственны за магнетизм Земли. ^[2] В 1919 году Джозеф Лармор предположил, что динамо может генерировать поле. ^{[3] [4]} Однако даже после того, как он выдвинул свою гипотезу, некоторые выдающиеся ученые выдвинули альтернативные объяснения. Лауреат Нобелевской премии Патрик Блэкетт провел серию экспериментов в поисках фундаментальной связи между угловым моментом и магнитным моментом , но не нашел ни одной. ^{[5] [6]}

Уолтер М. Эльзассер , считающийся «отцом» ныне принятой теории динамо как объяснения магнетизма Земли, предположил, что это магнитное поле является результатом электрических токов, индуцированных в жидком внешнем ядре Земли. Он раскрыл историю магнитного поля Земли, став пионером в изучении магнитной ориентации минералов в горных породах.

Для того, чтобы поддерживать магнитное поле против омического распада (который произошел бы для дипольного поля через 20 000 лет), внешнее ядро ​​должно быть конвективным. Конвекция, вероятно, является некоторой комбинацией тепловой и композиционной конвекции. Мантия контролирует скорость, с которой тепло извлекается из ядра. Источники тепла включают гравитационную энергию, выделяемую при сжатии ядра, гравитационную энергию, выделяемую при отторжении легких элементов (вероятно, серы , кислорода или кремния ) на внутренней границе ядра по мере его роста, скрытую теплоту кристаллизации на внутренней границе ядра и радиоактивность калия , урана и тория . ^[7]

На заре 21-го века численное моделирование магнитного поля Земли не было успешно продемонстрировано. Первоначальные модели были сосредоточены на генерации поля путем конвекции в жидком внешнем ядре планеты. Было возможно показать генерацию сильного поля, подобного земному, когда модель предполагала однородную температуру ядра-поверхности и исключительно высокую вязкость для жидкости ядра. Вычисления, которые включали более реалистичные значения параметров, давали магнитные поля, которые были менее земными, но указывали, что уточнения модели ^{[ какие? ]} могут в конечном итоге привести к точной аналитической модели. Небольшие изменения температуры ядра-поверхности в диапазоне нескольких милликельвинов приводят к значительному увеличению конвективного потока и создают более реалистичные магнитные поля. ^{[8] [9]}

Формальное определение

Теория динамо описывает процесс, посредством которого вращающаяся, конвективная и электропроводящая жидкость действует для поддержания магнитного поля. Эта теория используется для объяснения наличия аномально долгоживущих магнитных полей в астрофизических телах. Проводящая жидкость в геодинамо — это жидкое железо во внешнем ядре, а в солнечном динамо — ионизированный газ в тахоклине . Теория динамо астрофизических тел использует уравнения магнитогидродинамики для исследования того, как жидкость может непрерывно восстанавливать магнитное поле. ^[10]

Когда-то считалось, что диполь , который составляет большую часть магнитного поля Земли и смещен вдоль оси вращения на 11,3 градуса, был вызван постоянным намагничиванием материалов в Земле. Это означает, что теория динамо изначально использовалась для объяснения магнитного поля Солнца в его связи с полем Земли. Однако эта гипотеза, первоначально предложенная Джозефом Лармором в 1919 году, была изменена из-за обширных исследований магнитных вековых вариаций , палеомагнетизма (включая инверсию полярности ), сейсмологии и обилия элементов в Солнечной системе. Кроме того, применение теорий Карла Фридриха Гаусса к магнитным наблюдениям показало, что магнитное поле Земли имеет внутреннее, а не внешнее происхождение.

Для работы динамо-машины необходимы три условия:

• Электропроводящая жидкая среда
• Кинетическая энергия, обеспечиваемая вращением планет
• Внутренний источник энергии для создания конвективных движений внутри жидкости. ^[11]

В случае Земли магнитное поле индуцируется и постоянно поддерживается конвекцией жидкого железа во внешнем ядре. Требованием для индукции поля является вращающаяся жидкость. Вращение во внешнем ядре обеспечивается эффектом Кориолиса , вызванным вращением Земли. Сила Кориолиса стремится организовать движения жидкости и электрические токи в столбы (см. также столбцы Тейлора ), выровненные с осью вращения. Индукция или генерация магнитного поля описывается уравнением индукции : где u — скорость, B — магнитное поле, t — время, а — магнитная диффузия с электропроводностью и проницаемостью . Отношение второго члена в правой части к первому члену дает магнитное число Рейнольдса , безразмерное отношение адвекции магнитного поля к диффузии. $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} +\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )}$$ ${\displaystyle \eta =1/(\sigma \mu )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$

Приливное отопление, поддерживающее динамо-машину

Приливные силы между небесными телами, вращающимися по орбите, вызывают трение, которое нагревает их внутреннюю часть. Это известно как приливной нагрев, и это помогает поддерживать внутреннюю часть в жидком состоянии. Жидкая внутренняя часть, которая может проводить электричество, необходима для создания динамо. Энцелад Сатурна и Ио Юпитера имеют достаточно приливного нагрева, чтобы разжижить свои внутренние ядра, но они не могут создать динамо, потому что не могут проводить электричество. ^{[12] [13]} Меркурий, несмотря на свой небольшой размер, имеет магнитное поле, потому что у него есть проводящее жидкое ядро, созданное его железным составом и трением, возникающим в результате его высокоэллиптической орбиты. ^[14] Предполагается, что у Луны когда-то было магнитное поле, основанное на доказательствах из намагниченных лунных пород, из-за ее кратковременного близкого расстояния к Земле, создающего приливной нагрев. ^[15] Орбита и вращение планеты помогают обеспечить жидкое ядро ​​и дополняют кинетическую энергию, которая поддерживает действие динамо.

Кинематическая теория динамо

В кинематической теории динамо поле скорости предписано , а не является динамической переменной: Модель не предусматривает искажения потока в ответ на магнитное поле. Этот метод не может обеспечить переменное во времени поведение полностью нелинейного хаотического динамо, но может быть использован для изучения того, как напряженность магнитного поля изменяется в зависимости от структуры потока и скорости.

Используя уравнения Максвелла одновременно с ротором закона Ома , можно вывести то, что по сути является линейным уравнением собственных значений для магнитных полей ( B ), что можно сделать, предположив, что магнитное поле не зависит от поля скорости. Получается критическое магнитное число Рейнольдса , выше которого сила потока достаточна для усиления наложенного магнитного поля, а ниже которого магнитное поле рассеивается.

Практическая мера возможных динамо

Наиболее функциональная особенность теории кинематического динамо заключается в том, что ее можно использовать для проверки того, способно ли поле скорости к действию динамо. Экспериментально прикладывая определенное поле скорости к небольшому магнитному полю, можно наблюдать, имеет ли магнитное поле тенденцию к росту (или нет) в ответ на приложенный поток. Если магнитное поле растет, то система либо способна к действию динамо, либо является динамо, но если магнитное поле не растет, то ее просто называют «не динамо».

Аналогичный метод, называемый мембранной парадигмой, представляет собой способ изучения черных дыр , позволяющий описать вещество вблизи их поверхности на языке теории динамо.

Спонтанное нарушение топологической суперсимметрии

Кинематическое динамо можно также рассматривать как явление спонтанного нарушения топологической суперсимметрии соответствующего стохастического дифференциального уравнения, связанного с потоком фоновой материи. ^[16] В рамках стохастической суперсимметричной теории эта суперсимметрия является внутренним свойством всех стохастических дифференциальных уравнений , ее интерпретация заключается в том, что фазовое пространство модели сохраняет непрерывность посредством непрерывных потоков времени. Когда непрерывность этого потока спонтанно нарушается, система оказывается в стохастическом состоянии детерминированного хаоса . ^[17] Другими словами, кинематическое динамо возникает из-за хаотического потока в базовой фоновой материи.

Нелинейная теория динамо

Кинематическое приближение становится недействительным, когда магнитное поле становится достаточно сильным, чтобы влиять на движения жидкости. В этом случае поле скорости начинает подвергаться влиянию силы Лоренца , и поэтому уравнение индукции больше не является линейным в магнитном поле. В большинстве случаев это приводит к гашению амплитуды динамо. Такие динамо иногда также называют гидромагнитными динамо . ^[18] Практически все динамо в астрофизике и геофизике являются гидромагнитными динамо.

Основная идея теории заключается в том, что любое малое магнитное поле, существующее во внешнем ядре, создает токи в движущейся жидкости из-за силы Лоренца. Эти токи создают дополнительное магнитное поле из-за закона Ампера . При движении жидкости токи переносятся таким образом, что магнитное поле становится сильнее (пока отрицательно ^[19] ). Таким образом, «зародышевое» магнитное поле может становиться все сильнее и сильнее, пока не достигнет некоторого значения, связанного с существующими немагнитными силами. ${\displaystyle \;\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\;}$

Для моделирования полностью нелинейных динамо используются числовые модели. Используются следующие уравнения:

• Уравнение индукции, представленное выше.
• Уравнения Максвелла для пренебрежимо малого электрического поля: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla \cdot \mathbf {B} =0\\[1ex]&\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} \end{aligned}}}$$
• Уравнение непрерывности сохранения массы , для которого часто используют приближение Буссинеска : $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}$$
• Уравнение Навье-Стокса для сохранения импульса , снова в том же приближении, с магнитной силой и силой тяготения в качестве внешних сил: где — кинематическая вязкость , — средняя плотность, — относительное возмущение плотности, которое обеспечивает плавучесть (для тепловой конвекции, где — коэффициент теплового расширения ), — скорость вращения Земли , — плотность электрического тока. $${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=-{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\rho '\mathbf {g} +2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} +{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {R} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\mathbf {J} \times \mathbf {B} ~,}$$ ${\displaystyle \,\nu \,}$ ${\displaystyle \,\rho _{0}\,}$ ${\displaystyle \rho '}$ ${\displaystyle \;\rho '=\alpha \Delta T\;}$ ${\displaystyle \,\alpha \,}$ ${\displaystyle \,\Omega \,}$ ${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$
• Уравнение переноса, обычно тепла (иногда концентрации легкого элемента): где T — температура, — температуропроводность с k — теплопроводность, теплоемкость и плотность, а — необязательный источник тепла. Часто давление — это динамическое давление, при этом гидростатическое давление и центростремительный потенциал удалены. $${\displaystyle {\frac {\,\partial T\,}{\partial t}}=\kappa \nabla ^{2}T+\varepsilon }$$ ${\displaystyle \;\kappa =k/\rho c_{p}\;}$ ${\displaystyle \,c_{p}\,}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Эти уравнения затем обезразмериваются, вводя безразмерные параметры, где R _a - число Рэлея , E - число Экмана , P _r и P _m - число Прандтля и магнитное число Прандтля . Масштабирование магнитного поля часто осуществляется в единицах числа Эльзассера $${\displaystyle R_{\mathsf {a}}={\frac {\,g\alpha TD^{3}\,}{\nu \kappa }}\;,\quad E={\frac {\nu }{\,\Omega D^{2}\,}}\;,\quad P_{\mathsf {r}}={\frac {\,\nu \,}{\kappa }}\;,\quad P_{\mathsf {m}}={\frac {\,\nu \,}{\eta }}}$$ ${\displaystyle B=(\rho \Omega /\sigma )^{1/2}.}$

Преобразование энергии между магнитной и кинематической энергией

Скалярное произведение приведенной выше формы уравнения Навье-Стокса с дает скорость увеличения плотности кинетической энергии, , в левой части. Последний член в правой части тогда , локальный вклад в кинетическую энергию из-за силы Лоренца . ${\displaystyle \;\rho _{0}\mathbf {u} \;}$ ${\displaystyle \;{\tfrac {1}{2}}\rho _{0}u^{2}c\;}$ ${\displaystyle \;\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\;}$

Скалярное произведение уравнения индукции с дает скорость увеличения плотности магнитной энергии, , в левой части. Последний член в правой части равен Тогда Поскольку уравнение является интегрируемым по объему, этот член эквивалентен с точностью до граничного члена (и с двойным использованием тождества скалярного тройного произведения ) (где использовалось одно из уравнений Максвелла). Это локальный вклад в магнитную энергию из-за движения жидкости. ${\textstyle {\tfrac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} }$ ${\displaystyle \;{\tfrac {1}{2}}\mu _{0}B^{2}\;}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} \cdot \left(\nabla \times \left(\mathbf {u} \times \mathbf {B} \right)\right)\;.}$ ${\textstyle \;-\mathbf {u} \cdot \left({\tfrac {1}{\mu _{0}}}\left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} \right)=-\mathbf {u} \cdot \left(\mathbf {J} \times \mathbf {B} \right)~}$

Таким образом, этот термин — скорость преобразования кинетической энергии в магнитную энергию. Она должна быть неотрицательной по крайней мере в части объема, чтобы динамо создавало магнитное поле. ^[19] ${\displaystyle \;-\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\;}$

Из приведенной выше диаграммы неясно, почему этот член должен быть положительным. Простой аргумент может быть основан на рассмотрении чистых эффектов. Чтобы создать магнитное поле, чистый электрический ток должен обернуться вокруг оси вращения планеты. В этом случае, чтобы член был положительным, чистый поток проводящей материи должен быть направлен к оси вращения. Диаграмма показывает только чистый поток от полюсов к экватору. Однако сохранение массы требует дополнительного потока от экватора к полюсам. Если бы этот поток был вдоль оси вращения, это означало бы, что циркуляция была бы завершена потоком от тех, которые показаны, к оси вращения, создавая желаемый эффект.

Порядок величины магнитного поля, создаваемого динамо Земли

Приведенная выше формула для скорости преобразования кинетической энергии в магнитную энергию эквивалентна скорости работы, совершаемой силой на внешнем веществе ядра, скорость которой . Эта работа является результатом немагнитных сил, действующих на жидкость. ${\displaystyle \;\mathbf {J} \times \mathbf {B} \;}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

Из них гравитационная сила и центробежная сила являются консервативными и, следовательно, не оказывают общего влияния на движение жидкости в замкнутых контурах. Число Экмана (определенное выше), которое является отношением между двумя оставшимися силами, а именно вязкостью и силой Кориолиса, очень мало внутри внешнего ядра Земли, поскольку его вязкость мала (1,2–1,5 ×10−2 ^{паскаль} -секунда ^[20] ) из-за его текучести.

Таким образом, основной усредненный по времени вклад в работу вносит сила Кориолиса, величина которой, хотя и связана с этой величиной, связана лишь косвенно и в общем случае не является одинаковой локально (то есть они влияют друг на друга, но не в одном и том же месте и времени). ${\displaystyle \;-2\rho \,\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} \;,}$ ${\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }$

Плотность тока J сама по себе является результатом магнитного поля согласно закону Ома . Опять же, из-за движения материи и тока это не обязательно поле в том же месте и в то же время. Однако эти соотношения все еще могут быть использованы для выведения порядков величин рассматриваемых величин.

С точки зрения порядка величины и , давая или: ${\displaystyle \;J\,B\sim \rho \,\Omega \,u\;}$ ${\displaystyle \;J\sim \sigma uB\;}$ ${\displaystyle \;\sigma \,u\,B^{2}\sim \rho \,\Omega \,u\;,}$ $${\displaystyle B\sim {\sqrt {{\frac {\,\rho \,\Omega \,}{\sigma }}\;}}}$$

Точное соотношение между обеими сторонами равно квадратному корню из числа Эльзассера .

Обратите внимание, что направление магнитного поля не может быть выведено из этого приближения (по крайней мере, его знак), поскольку оно представляется квадратичным и, действительно, иногда перевернутым , хотя в целом оно лежит на той же оси, что и . ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$

Для внешнего ядра Земли ρ приблизительно равно 10 ⁴ кг/м ³ , ^[20]   Ω = 2 π /день = 7,3×10 ⁻⁵ /секунду, а   σ   приблизительно равно 10 ⁷ Ω ⁻¹ м ⁻¹  . ^[21] Это дает 2,7×10 ⁻⁴  Тесла .

Магнитное поле магнитного диполя имеет обратную кубическую зависимость от расстояния, поэтому его порядок величины на поверхности Земли можно приблизительно оценить, умножив приведенный выше результат на ( R _{внешнего ядра} ⁄ R _Земли ) ³ = ( 2890 ⁄ 6370 ) ³ = 0,093, что дает 2,5×10−5 ^Тесла  , что недалеко от измеренного значения 3×10−5 ^Тесла  на экваторе .

Числовые модели

Визуальное представление модели Глатцмайера до инверсии диполя

В целом, модели геодинамо пытаются создавать магнитные поля, согласующиеся с наблюдаемыми данными при определенных условиях и уравнениях, как упоминалось в разделах выше. Успешная реализация уравнений магнитогидродинамики имела особое значение, поскольку они подтолкнули модели динамо к самосогласованности. Хотя модели геодинамо особенно распространены, модели динамо не обязательно ограничиваются геодинамо; солнечные и общие модели динамо также представляют интерес. Изучение моделей динамо полезно в области геофизики, поскольку это позволяет определить, как различные механизмы формируют магнитные поля, подобные тем, которые создаются астрофизическими телами, такими как Земля, и как они заставляют магнитные поля проявлять определенные особенности, такие как смена полюсов.

Уравнения, используемые в числовых моделях динамо, очень сложны. Десятилетиями теоретики были ограничены двумерными кинематическими моделями динамо , описанными выше, в которых движение жидкости выбирается заранее, а влияние на магнитное поле рассчитывается. Прогресс от линейных к нелинейным, трехмерным моделям динамо был в значительной степени затруднен поиском решений магнитогидродинамических уравнений, которые устраняют необходимость во многих предположениях, сделанных в кинематических моделях, и допускают самосогласованность.

Визуальное представление модели Глатцмайера во время инверсии диполя

Первые самосогласованные модели динамо, которые определяют как движение жидкости, так и магнитное поле, были разработаны двумя группами в 1995 году: одной в Японии ^[22] и одной в Соединенных Штатах. ^{[23] [24]} Последняя была создана как модель относительно геодинамо и привлекла значительное внимание, поскольку она успешно воспроизводила некоторые характеристики поля Земли. ^[19] После этого прорыва произошел большой всплеск в разработке разумных трехмерных моделей динамо. ^[19]

Хотя сейчас существует много самосогласованных моделей, между моделями существуют значительные различия, как в результатах, которые они производят, так и в способе их разработки. ^[19] Учитывая сложность разработки модели геодинамо, существует много мест, где могут возникнуть расхождения, например, при принятии предположений, касающихся механизмов, которые обеспечивают энергию для динамо, при выборе значений для параметров, используемых в уравнениях, или при нормализации уравнений. Несмотря на множество различий, которые могут возникнуть, большинство моделей имеют общие черты, такие как четкие осевые диполи. Во многих из этих моделей также были успешно воссозданы такие явления, как вековые вариации и геомагнитные инверсии полярности . ^[19]

Наблюдения

Визуальное представление модели Глатцмайера после инверсии диполя

Многие наблюдения могут быть сделаны с помощью моделей динамо. Модели могут быть использованы для оценки того, как магнитные поля меняются со временем, и могут быть сравнены с наблюдаемыми палеомагнитными данными, чтобы найти сходства между моделью и Землей. Однако из-за неопределенности палеомагнитных наблюдений сравнения могут быть не совсем достоверными или полезными. ^[19] Упрощенные модели геодинамо показали взаимосвязи между числом динамо (определяемым дисперсией скоростей вращения во внешнем ядре и зеркально-асимметричной конвекцией (например, когда конвекция благоприятствует одному направлению на севере, а другому на юге)) и инверсиями магнитных полюсов, а также обнаружили сходство между геодинамо и динамо Солнца. ^[19] Во многих моделях кажется, что магнитные поля имеют несколько случайные величины, которые следуют нормальной тенденции, которая в среднем равна нулю. [ ^19] В дополнение к этим наблюдениям, общие наблюдения о механизмах, приводящих в действие геодинамо, могут быть сделаны на основе того, насколько точно модель отражает фактические данные, собранные с Земли.

Современное моделирование

Сложность моделирования динамо настолько велика, что модели геодинамо ограничены нынешней мощностью суперкомпьютеров , в частности потому, что расчет чисел Экмана и Рэлея внешнего ядра чрезвычайно сложен и требует огромного количества вычислений.

Было предложено много улучшений в моделировании динамо с момента самосогласованного прорыва в 1995 году. Одним из предложений по изучению сложных изменений магнитного поля является применение спектральных методов для упрощения вычислений. ^[25] В конечном счете, пока не будут достигнуты значительные улучшения в вычислительной мощности, методы вычисления реалистичных моделей динамо должны быть сделаны более эффективными, поэтому внесение улучшений в методы вычисления модели имеет большое значение для продвижения численного моделирования динамо.

Известные люди

• Станислав Иванович Брагинский , научный сотрудник-геофизик

Смотрите также

• Теорема антидинамо
• Вращающееся магнитное поле
• Светская вариация

Ссылки

1. "Как ядро ​​Земли генерирует магнитное поле?". Часто задаваемые вопросы USGS . Геологическая служба США. Архивировано из оригинала 18 января 2015 года . Получено 21 октября 2013 года .
2. Ампер, Андре-Мари (1822). Сбор электродинамических наблюдений: содержание различных воспоминаний, заметок, дополнительных писем или периодических изданий по связанным с науками действиям взаимных действий двух курантов электриков, в клетке, которая существует между курантом и земным шаром. terrestre, et à celle de deux aimants l'un sur l'autre (на французском языке). Париж: Крошар.[ISBN не указан]
3. Лармор, Дж. (1919). «Как вращающееся тело, такое как Солнце, может стать магнитом?». Доклады Британской ассоциации . 87 : 159–160.
4. Лармор, Дж. (1919). «Возможное вращательное происхождение магнитных полей Солнца и Земли». Electrical Review . 85 : 412ff. Перепечатано в журнале Engineering , т. 108, стр. 461 и далее (3 октября 1919 г.).
5. Най, Мэри Джо (1 марта 1999 г.). «Искушения теории, стратегии доказательств: П. ​​М. Блэкетт и магнетизм Земли, 1947–52». Британский журнал истории науки . 32 (1): 69–92. doi :10.1017/S0007087498003495. S2CID  143344977.
6. Merrill, McElhinny & McFadden 1996, стр. 17 утверждают, что в 1905 году, вскоре после написания своей статьи по специальной теории относительности , Альберт Эйнштейн описал происхождение магнитного поля Земли как одну из величайших нерешенных проблем, стоящих перед современными физиками . Однако они не приводят подробностей о том, где он сделал это заявление.
7. Сандерс, Роберт (10.12.2003). "Радиоактивный калий может быть основным источником тепла в ядре Земли". UC Berkeley News . Получено 28.02.2007 .
8. Сакураба, Атару; Пол Х. Робертс (4 октября 2009 г.). «Генерация сильного магнитного поля с использованием однородного теплового потока на поверхности ядра». Nature Geoscience . 2 (11): 802–805. Bibcode : 2009NatGe...2..802S. doi : 10.1038/ngeo643.
9. Баффет, Брюс (2009). «Геодинамо: вопрос границ». Природа Геонауки . 2 (11): 741–742. Бибкод : 2009NatGe...2..741B. дои : 10.1038/ngeo673.
10. Бранденбург, Аксель (2007). «Теория гидромагнитного динамо». Scholarpedia . 2 (3): 2309. Bibcode : 2007SchpJ...2.2309B. doi : 10.4249/scholarpedia.2309 .
11. Э. Палле (2010). Земля как далекая планета: Розеттский камень для поиска миров, подобных Земле (Библиотека астрономии и астрофизики). Берлин: Springer. С. 316–317. ISBN 978-1-4419-1683-9. Получено 17 июля 2010 г.
12. Штайгервальд, Билл (6 октября 2010 г.). «Ледяная луна Сатурна может сохранять океаны жидкими из-за колебания». NASA. Архивировано из оригинала 24 марта 2015 г. Получено 14 августа 2012 г.
13. Кассис, Никки (19 марта 2012 г.). «Геологическая карта спутника Юпитера Ио детализирует потустороннюю вулканическую поверхность». Astrogeology Science Center . Получено 14 августа 2012 г.^{[ постоянная мертвая ссылка ‍ ]}
14. "Удивительные особенности ядра и ландшафта Меркурия". MESSENGER . Carnegie Institution for Science. 21 марта 2012 г. Архивировано из оригинала 18 января 2015 г. Получено 14 августа 2012 г.
15. Стивенс, Тим (9 ноября 2011 г.). «Древнее лунное динамо может объяснить намагниченность лунных пород». Калифорнийский университет . Получено 14 августа 2012 г.
16. Овчинников, IV; Энслин, TA (апрель 2016 г.). «Кинематическое динамо, нарушение суперсимметрии и хаос». Physical Review D. 93 ( 8): 085023. arXiv : 1512.01651 . Bibcode : 2016PhRvD..93h5023O. doi : 10.1103/PhysRevD.93.085023. S2CID  59367815.
17. Овчинников, IV (март 2016). "Введение в суперсимметричную теорию стохастики". Энтропия . 18 (4): 108. arXiv : 1511.03393 . Bibcode : 2016Entrp..18..108O. doi : 10.3390/e18040108 . S2CID  2388285.
18. Паркер, Юджин Н. (сентябрь 1955 г.). «Модели гидромагнитного динамо». The Astrophysical Journal . 122 : 293–314. Bibcode : 1955ApJ...122..293P. doi : 10.1086/146087.
19. Коно, Масару; Робертс, Пол Х. (2002). "Современные геодинамические моделирования и наблюдения геомагнитного поля". Обзоры геофизики . 40 (4): 1–53. Bibcode :2002RvGeo..40.1013K. doi : 10.1029/2000RG000102 .
20. de Wijs, GA, Kresse, G., Vočadlo, L., Dobson, D., Alfe, D., Gillan, MJ, & Price, GD (1998). Вязкость жидкого железа в физических условиях ядра Земли. Nature, 392(6678), 805.
21. Охта, К., Куваяма, Й., Хиросе, К., Шимизу, К. и Охиши, Й. (2016). Экспериментальное определение электрического сопротивления железа в условиях ядра Земли. Nature, 534(7605), 95. Ссылка на резюме
22. Кагеяма, Акира; Сато, Тетсуя (1 января 1995 г.). «Компьютерное моделирование магнитогидродинамического динамо. II». Физика плазмы . 2 (5): 1421–1431. Bibcode :1995PhPl....2.1421K. doi :10.1063/1.871485.
23. Глатцмайер, Гэри А.; Робертс, Пол Х. (1995). «Трехмерное самосогласованное компьютерное моделирование инверсии геомагнитного поля». Nature . 377 (6546): 203–209. Bibcode :1995Natur.377..203G. doi :10.1038/377203a0. S2CID  4265765.
24. Глатцмайер, Г.; Робертс, Пол Х. (1995). «Трехмерное конвективное динамо-решение с вращающимся и конечно проводящим внутренним ядром и мантией». Физика Земли и недр планет . 91 (1–3): 63–75. Bibcode : 1995PEPI...91...63G. doi : 10.1016/0031-9201(95)03049-3.
25. Эвери, Маргарет С.; Констебль, Кэтрин Г .; Дэвис, Кристофер Дж.; Габбинс, Дэвид (2019-01-01). «Спектральные методы анализа энергетических балансов в моделировании геодинамо» (PDF) . Физика Земли и недр планет . 286 : 127–137. Bibcode : 2019PEPI..286..127A. doi : 10.1016/j.pepi.2018.10.002 . ISSN  0031-9201.

• Деморест, Пол (21 мая 2001 г.). "Теория динамо и магнитное поле Земли (курсовая работа)" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 21 февраля 2007 г. . Получено 14 октября 2011 г. .
• Фицпатрик, Ричард (18 мая 2002 г.). "Теория МГД-динамо". Физика плазмы . Техасский университет в Остине . Получено 14 октября 2011 г.
• Меррилл, Рональд Т.; МакЭлхинни, Майкл В.; МакФадден, Филлип Л. (1996). Магнитное поле Земли: палеомагнетизм, ядро ​​и глубокая мантия . Academic Press . ISBN 978-0-12-491246-5.
• Стерн, Дэвид П. "Глава 12: Процесс динамо". Великий Магнит, Земля . Получено 14 октября 2011 г.
• Стерн, Дэвид П. "Глава 13: Динамо в ядре Земли". Великий магнит, Земля . Получено 14 октября 2011 г.