G-структура на многообразии

Подпучок группы структур на связке касательных кадров

В дифференциальной геометрии G - структура на n - многообразии M для данной структурной группы ^[1] G является главным G - подрасслоением касательного расслоения реперов F M (или GL( M ) ) к M.

В понятие G -структур входят различные классические структуры, которые можно определить на многообразиях, которые в некоторых случаях являются тензорными полями . Например, для ортогональной группы O( n )-структура определяет риманову метрику , а для специальной линейной группы SL( n , R )-структура совпадает с формой объёма . Для тривиальной группы { e }-структура представляет собой абсолютный параллелизм многообразия.

Обобщая эту идею на произвольные главные расслоения в топологических пространствах, можно задаться вопросом, «происходит» ли главное -расслоение над группой из подгруппы группы . Это называется редукцией структурной группы (к ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

Некоторые структуры на многообразиях, такие как комплексная структура , симплектическая структура или кэлерова структура , являются G -структурами с дополнительным условием интегрируемости .

Сокращение структурной группы

Можно задаться вопросом, «происходит» ли основной -расслоение над группой из подгруппы . Это называется редукцией структурной группы (к ) и имеет смысл для любого отображения , которое не обязательно должно быть отображением включения (несмотря на терминологию). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\to G}$

Определение

В дальнейшем пусть — топологическое пространство , топологические группы и групповой гомоморфизм . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G,H}$ ${\displaystyle \phi \colon H\to G}$

Что касается бетонных связок

Учитывая главное -расслоение над , редукция структурной группы (от к ) является -расслоением и изоморфизмом ассоциированного расслоения с исходным расслоением. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \phi _{Q}\colon Q\times _{H}G\to P}$

С точки зрения классификации пространств

Учитывая отображение , где — классифицирующее пространство для -расслоений, редукция структурной группы является отображением и гомотопией . ${\displaystyle \pi \colon X\to BG}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi _{Q}\colon X\to BH}$ ${\displaystyle \phi _{Q}\colon B\phi \circ \pi _{Q}\to \pi }$

Свойства и примеры

Редукции структурной группы существуют не всегда. Если они существуют, то обычно они не уникальны, поскольку изоморфизм является важной частью данных. ${\displaystyle \phi }$

В качестве конкретного примера: каждое четномерное действительное векторное пространство изоморфно базовому реальному пространству комплексного векторного пространства: оно допускает линейную комплексную структуру . Вещественное векторное расслоение допускает почти комплексную структуру тогда и только тогда, когда оно изоморфно вещественному расслоению, лежащему в основе комплексного векторного расслоения. Тогда это сокращение по включению GL ( n , C ) → GL (2 n , R )

С точки зрения карт переходов , G -расслоение может быть сокращено тогда и только тогда , когда карты переходов могут иметь значения в H. Обратите внимание, что термин «редукция» вводит в заблуждение: он предполагает, что H является подгруппой G , что часто имеет место, но не обязательно (например, для спиновых структур ): это правильно называется подъемом .

Более абстрактно, « G -расслоения над X » — это функтор ^[2] в G : учитывая гомоморфизм группы Ли H → G , можно получить отображение H -расслоений в G -расслоения путем индуцирования (как указано выше). Редукция структурной группы G -расслоения B заключается в выборе H -расслоения, образом которого является B .

Индуцирующее отображение H -расслоений в G -расслоения, вообще говоря, не является ни однозначным, ни однозначным, поэтому структурную группу не всегда можно свести, а когда это возможно, это сведение не обязательно должно быть уникальным. Например, не каждое многообразие ориентируемо , а ориентируемые допускают ровно две ориентации.

Если H — замкнутая подгруппа группы G , то существует естественное взаимно-однозначное соответствие между редукциями G -расслоения B к H и глобальными сечениями расслоения B / H , полученными факторизацией B по правому действию H . В частности, расслоение B → B / H является главным H -расслоением над B / H . Если σ : X → B / H — сечение, то расслоение обратного образа B _H = σ ⁻¹ B является редукцией B . ^[3]

г-структуры

Каждое векторное расслоение размерности имеет каноническое -расслоение, расслоение фреймов . В частности, каждое гладкое многообразие имеет каноническое векторное расслоение — касательное расслоение . Для группы Ли и группового гомоморфизма -структура является редукцией структурной группы расслоения фреймов к . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle GL(n)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \phi \colon G\to GL(n)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Примеры

Следующие примеры определены для вещественных векторных расслоений , особенно касательного расслоения гладкого многообразия .

Некоторые -структуры определяются через другие: для заданной римановой метрики на ориентированном многообразии -структура для 2-кратного накрытия является спиновой структурой . (Обратите внимание, что групповой гомоморфизм здесь не является включением.) ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mbox{Spin}}(n)\to {\mbox{SO}}(n)}$

Основные пакеты

Хотя теория главных расслоений играет важную роль в изучении G -структур, эти два понятия различны. G - структура является главным подрасслоением касательного фрейма , но тот факт, что G -структура состоит из касательных фреймов, рассматривается как часть данных. Например, рассмотрим две римановы метрики ^на Rn . Соответствующие O( n )-структуры изоморфны тогда и только тогда, когда метрики изометричны. Но поскольку Rn стягиваемо, лежащие в его основе O( ⁿ ) -расслоения всегда будут изоморфны как главные расслоения, поскольку единственные расслоения над стягиваемыми пространствами являются тривиальными расслоениями.

Это фундаментальное различие между двумя теориями можно уловить, предоставив дополнительные данные о базовом G -расслоении G- структуры: форме припоя . Форма пайки — это то, что связывает основное главное расслоение G- структуры с локальной геометрией самого многообразия, определяя канонический изоморфизм касательного расслоения к M ассоциированному векторному расслоению . Хотя форма припоя не является формой соединения , иногда ее можно рассматривать как предшественник таковой.

Подробно предположим, что Q — главный расслоение G -структуры . Если Q реализуется как редукция расслоения реперов M , то форма спая задается откатом тавтологической формы расслоения реперов вдоль включения. Абстрактно, если рассматривать Q как главное расслоение независимо от его реализации как редукции расслоения фреймов, то форма пайки состоит из представления ρ группы G на R ⁿ и изоморфизма расслоений θ : TM → Q × _ρ R ⁿ .

Условия интегрируемости и плоскостьг-структуры

Некоторые структуры на многообразиях, такие как комплексная структура, симплектическая структура или кэлерова структура , являются G -структурами (и, следовательно, могут быть затруднены), но должны удовлетворять дополнительному условию интегрируемости . Без соответствующего условия интегрируемости структура вместо этого называется «почти» структурой, как почти комплексная структура , почти симплектическая структура или почти кэлерова структура .

В частности, структура симплектического многообразия является более сильным понятием, чем G -структура для симплектической группы . Симплектическая структура на многообразии — это невырожденная 2-форма ω на M (которая является -структурой или почти симплектической структурой) вместе с дополнительным условием, что d ω = 0; последнее называется условием интегрируемости . ${\displaystyle Sp}$

Точно так же слоения соответствуют G -структурам, происходящим из блочных матриц вместе с условиями интегрируемости, так что применима теорема Фробениуса .

Плоская G- структура — это G -структура P , имеющая глобальное сечение ( V ₁ ,..., V _{n )} , состоящее из коммутирующих векторных полей . G - структура называется интегрируемой (или локально плоской ), если она локально изоморфна плоской G- структуре.

Изоморфизмг-структуры

Множество диффеоморфизмов M , сохраняющих G -структуру, называется группой автоморфизмов этой структуры. Для O( n )-структуры это группа изометрий римановой метрики, а для SL( n , R )-структуры — отображения, сохраняющие объем.

Пусть P — G -структура на многообразии M , а Q — G -структура на многообразии N. Тогда изоморфизм G -структур — это диффеоморфизм f  : M → N такой, что продвижение линейных фреймов f _*  : FM → FN ограничивается, давая отображение P в Q . (Заметим, что достаточно, чтобы Q содержалось внутри образа f _* .) G -структуры P и Q локально изоморфны, если M допускает накрытие открытыми множествами U и семейством диффеоморфизмов f _U  : U → f ( U ) ⊂ N такой, что f _U индуцирует изоморфизм P | _У → К | _{ж ( U )} .

Автоморфизм G - структуры — это изоморфизм G - структуры P самой с собой. Автоморфизмы часто возникают ^[6] при изучении групп преобразований геометрических структур, поскольку многие важные геометрические структуры на многообразии могут быть реализованы как G -структуры.

Широкий класс проблем эквивалентности можно сформулировать на языке G -структур. Например, пара римановых многообразий (локально) эквивалентна тогда и только тогда, когда их расслоения ортонормированных реперов являются (локально) изоморфными G -структурами. С этой точки зрения общая процедура решения проблемы эквивалентности состоит в построении системы инвариантов G -структуры , которых затем достаточно, чтобы определить, является ли пара G -структур локально изоморфной или нет.

Соединения включеныг-структуры

Пусть Q — G - структура на M. Основная связность на главном расслоении Q индуцирует связность на любом ассоциированном векторном расслоении: в частности, на касательном расслоении. Возникающая таким образом линейная связность ∇ на TM называется совместной с Q . Соединения, совместимые с Q, также называются адаптированными соединениями .

Конкретно говоря, адаптированные связи можно понимать в терминах движущейся системы отсчета . ^[7] Предположим, что V _i является базой локальных сечений TM (т. е. фреймом на M ), который определяет сечение Q . Любая связность ∇ определяет систему базисно-зависимых 1-форм ω через

∇ _X V _i = ω _i ^j (X)V _j

где как матрица 1-форм ω ∈ Ω ¹ (M)⊗ gl ( n ). Адаптированная связь — это связь , для которой ω принимает свои значения в алгебре Ли g группы G.

Кручениег-состав

С любой G- структурой связано понятие кручения, связанное с кручением соединения. Заметим, что данная G- структура может допускать множество различных совместимых связей, которые, в свою очередь, могут иметь разные кручения, но, несмотря на это, можно дать независимое понятие кручения G-структуры следующим образом. ^[8]

Разность двух адаптированных связностей представляет собой 1-форму на M со значениями в присоединенном расслоении Ad _Q . Другими словами, пространство адаптированных связностей A ^Q является аффинным пространством для Ω ¹ (Ad _Q ).

Кручение адаптированного соединения определяет отображение

${\displaystyle A^{Q}\to \Omega ^{2}(TM)\,}$

к 2-формам с коэффициентами в TM . Эта карта линейна; его линеаризация

${\displaystyle \tau :\Omega ^{1}(\mathrm {Ad} _{Q})\to \Omega ^{2}(TM)\,}$

называется алгебраическим отображением кручения . Для двух адаптированных связностей ∇ и ∇′ их тензоры кручения T _∇ , T _∇′ отличаются на τ(∇−∇′). Следовательно, образ T _∇ в coker(τ) не зависит от выбора ∇.

Образ T _∇ в coker(τ) для любой адаптированной связности ∇ называется кручением G -структуры . G -структура называется без кручения, если ее кручение равно нулю. Это происходит именно тогда, когда Q допускает адаптированную связность без кручения.

Пример: кручение для почти сложных конструкций.

Примером G -структуры является почти комплексная структура , то есть редукция структурной группы четномерного многообразия к GL( n , C ). Такая редукция однозначно определяется C ^∞ -линейным эндоморфизмом J ∈ End( TM ) таким, что J ² = −1. В этой ситуации кручение можно вычислить явно следующим образом.

Простой подсчет измерений показывает, что

${\displaystyle \Omega ^{2}(TM)=\Omega ^{2,0}(TM)\oplus \mathrm {im} (\tau )}$,

где ^2,0 ( TM ) — пространство форм B ∈ ² ( TM ), удовлетворяющих условиям

${\displaystyle B(JX,Y)=B(X,JY)=-JB(X,Y).\,}$

Поэтому кручение почти сложной структуры можно рассматривать как элемент из Ω ^2,0 ( TM ). Легко проверить, что кручение почти сложной структуры равно ее тензору Нийенхейса .

Более высокого порядкаг-структуры

Наложение условий интегрируемости на конкретную G- структуру (например, в случае симплектической формы) можно решить с помощью процесса продолжения . В таких случаях протяженную G -структуру нельзя отождествлять с G -подрасслоением связки линейных фреймов. Однако во многих случаях продолжение является самостоятельным главным расслоением, и его структурную группу можно отождествить с подгруппой струйной группы более высокого порядка . В этом случае ее называют G -структурой более высокого порядка [Кобаяши]. В целом к ​​таким случаям применим метод эквивалентности Картана .

Смотрите также

• Г ₂ -структура

Примечания

1. Это отображение группы Ли в общую линейную группу . Часто, но не всегда, это подгруппа Ли ; например, для спиновой структуры карта является покрытием ее изображения. ${\displaystyle G\to GL(n,\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbf {R} )}$
2. Действительно, это бифунктор в G и X .
3. В классической теории поля такой раздел описывает классическое поле Хиггса ( Сарданашвили, Г. (2006). «Геометрия классических полей Хиггса». Международный журнал геометрических методов в современной физике . 03 : 139–148. arXiv : hep- th/0510168 . doi : 10.1142/S0219887806001065. ${\displaystyle \sigma }$).
4. Это гравитационное поле в калибровочной теории гравитации ( Сарданашвили, Г. (2006). «Калибровочная теория гравитации с геометрической точки зрения». Международный журнал геометрических методов в современной физике . 3 (1): v – xx. arXiv : gr -qc/0512115 . Бибкод : 2005gr.qc....12115S.)
5. Бесс 1987, §14.61
6. Кобаяши 1972
7. Кобаяши 1972, I.4
8. Годюшон 1997

Рекомендации

• Бесс, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3). Том. 10. Перепечатано в 2008 г. Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-540-74311-8. ISBN 3-540-15279-2. МР  0867684. Збл  0613.53001.
• Черн, Шиинг-Шен (1966). «Геометрия G-структур». Бюллетень Американского математического общества . 72 (2): 167–219. дои : 10.1090/S0002-9904-1966-11473-8 .
• Годюшон, Поль (1997). «Канонические связи для почти гиперкомплексных структур». Комплексный анализ и геометрия . Исследовательские заметки Питмана в серии «Математика». Том. 366. Лонгман. стр. 123–13. ISBN 978-0-582-29276-5.
• Кобаяши, Шошичи (1972). Группы преобразований в дифференциальной геометрии . Классика по математике. Спрингер. ISBN 978-3-540-58659-3. ОСЛК  31374337.
• Штернберг, Шломо (1983). Лекции по дифференциальной геометрии ((2-е изд.) Изд.). Нью-Йорк: ISBN издательства Chelsea Publishing Co. 978-0-8218-1385-0. ОСЛК  43032711.
• Година, Марко; Маттеуччи, Паоло (2003). «Редуктивные G-структуры и производные Ли». Журнал геометрии и физики . 47 (1): 66–86. arXiv : математика/0201235 . Бибкод : 2003JGP....47...66G. дои : 10.1016/S0393-0440(02)00174-2. MR  2006228. S2CID  119558088.