Онтологическое доказательство Гёделя

Логический аргумент в пользу существования Бога

Онтологическое доказательство Гёделя — это формальный аргумент математика Курта Гёделя (1906–1978) в пользу существования Бога . Аргумент находится в линии развития, которая восходит к Ансельму Кентерберийскому (1033–1109). Онтологический аргумент святого Ансельма в его наиболее краткой форме выглядит следующим образом: «Бог, по определению, есть то, для чего нельзя помыслить ничего большего. Бог существует в понимании. Если Бог существует в понимании, мы могли бы представить Его большим, существуя в реальности . Следовательно, Бог должен существовать». Более сложная версия была дана Готфридом Лейбницем (1646–1716); это версия, которую Гёдель изучал и пытался прояснить с помощью своего онтологического аргумента.

Гёдель оставил в своих работах четырнадцатипунктный план своих философских убеждений. ^[1] Пункты, имеющие отношение к онтологическому доказательству, включают:

4. Существуют иные миры и разумные существа иного, более высокого рода.

5. Мир, в котором мы живем, не единственный, в котором мы будем жить или жили.

13. Существует научная (точная) философия и теология, которая имеет дело с понятиями высшей отвлеченности; и это также в высшей степени плодотворно для науки.

14. Религии по большей части плохи, но религия — нет.

История

Первая версия онтологического доказательства в работах Гёделя датируется «около 1941 года». Известно, что Гёдель никому не рассказывал о своей работе над доказательством до 1970 года, когда он думал, что умирает. В феврале он позволил Дане Скотт скопировать версию доказательства, которая распространялась в частном порядке. В августе 1970 года Гёдель сказал Оскару Моргенштерну , что он «удовлетворён» доказательством, но Моргенштерн записал в своей дневниковой записи от 29 августа 1970 года, что Гёдель не будет публиковать его, потому что он боялся, что другие могут подумать, «что он действительно верит в Бога, тогда как он занимается только логическим исследованием (то есть показывает, что такое доказательство с классическими предположениями (полнота и т. д.), соответственно аксиоматизированными, возможно)». ^[2] Гёдель умер 14 января 1978 года. Другая версия, немного отличающаяся от версии Скотта, была найдена в его бумагах. Она была окончательно опубликована вместе с версией Скотта в 1987 году. ^[3]

В письмах к своей матери, которая не была прихожанкой церкви и воспитывала Курта и его брата как свободомыслящих , ^[4] Гёдель подробно отстаивал веру в загробную жизнь. ^[5] Он сделал то же самое в интервью со скептиком Хао Ваном , который сказал: «Я выразил свои сомнения, когда говорил Г [...] Гёдель улыбался, отвечая на мои вопросы, очевидно, понимая, что его ответы меня не убеждают». ^[6] Ван сообщает, что жена Гёделя, Адель, через два дня после смерти Гёделя, сказала Вану, что «Гёдель, хотя он и не ходил в церковь, был религиозным и читал Библию в постели каждое воскресное утро». ^[7] В неотправленном ответе на анкету Гёдель описал свою религию как «крещеный лютеранин (но не член какой-либо религиозной общины). Моя вера теистическая , а не пантеистическая , следующая Лейбницу , а не Спинозе ». ^{[примечание 1]}

Контур

Доказательство ^{[8] [10]} использует модальную логику , которая различает необходимые истины и условные истины . В наиболее общей семантике модальной логики рассматривается множество « возможных миров ». Истина необходима , если она истинна во всех возможных мирах. Напротив, если утверждение оказывается истинным в нашем мире, но ложным в другом мире, то это условная истина. Утверждение, которое является истинным в некотором мире (не обязательно в нашем собственном), называется возможной истиной.

Более того, доказательство использует логику более высокого порядка (модальную), поскольку определение Бога использует явную квантификацию свойств. ^[11]

Во-первых, Гёдель аксиоматизирует понятие «положительного свойства»: ^{[примечание 2]} для каждого свойства φ либо φ , либо его отрицание ¬ φ должны быть положительными, но не оба одновременно (аксиома 2). Если положительное свойство φ подразумевает свойство ψ в каждом возможном мире, то ψ также положительно (аксиома 1). ^{[примечание 3]} Затем Гёдель утверждает, что каждое положительное свойство «возможно проиллюстрировано», т. е. применимо по крайней мере к некоторому объекту в некотором мире (теорема 1). Определяя объект как богоподобный, если он обладает всеми положительными свойствами (определение 1), ^{[примечание 4]} и требуя, чтобы это свойство само было положительным (аксиома 3), ^{[примечание 5]} Гёдель показывает, что в некотором возможном мире существует богоподобный объект (теорема 2), называемый далее «Богом». ^{[примечание 6]} Гёдель продолжает доказывать, что богоподобный объект существует в каждом возможном мире.

С этой целью он определяет сущности : если x является объектом в некотором мире, то свойство φ называется сущностью x , если φ ( x ) истинно в этом мире и если φ с необходимостью влечет за собой все другие свойства, которые x имеет в этом мире (определение 2). Требуя, чтобы положительные свойства были положительными в каждом возможном мире (аксиома 4), Гёдель может показать, что Богоподобие является сущностью Богоподобного объекта (теорема 3). Теперь говорят , что x существует с необходимостью , если для каждой сущности φ объекта x существует элемент y со свойством φ в каждом возможном мире (определение 3). Аксиома 5 требует, чтобы необходимое существование было положительным свойством.

Следовательно, это должно следовать из Богоподобия. Более того, Богоподобие является сущностью Бога, поскольку оно влечет за собой все положительные свойства, а любое неположительное свойство является отрицанием некоторого положительного свойства, поэтому Бог не может иметь никаких неположительных свойств. Поскольку необходимое существование также является положительным свойством (аксиома 5), оно должно быть свойством каждого Богоподобного объекта, поскольку каждый Богоподобный объект обладает всеми положительными свойствами (определение 1). Поскольку любой Богоподобный объект обязательно существует, из этого следует, что любой Богоподобный объект в одном мире является Богоподобным объектом во всех мирах, по определению необходимого существования. Учитывая существование Богоподобного объекта в одном мире, доказанное выше, мы можем заключить, что в каждом возможном мире существует Богоподобный объект, как и требовалось (теорема 4). Помимо аксиомы 1-5 и определения 1-3, в доказательстве неявно использовались несколько других аксиом из модальной логики ^{[ необходимо разъяснение ] .}

Исходя из этих гипотез, можно также доказать, что в каждом мире существует только один Бог по закону Лейбница, тождеству неразличимых : два или более объекта идентичны (одинаковы), если все их свойства одинаковы, и, таким образом, в каждом мире будет только один объект, обладающий свойством G. Однако Гёдель не пытался этого сделать, поскольку он намеренно ограничил свое доказательство вопросом существования, а не уникальности.

Символическое обозначение

${\displaystyle {\begin{array}{rl}{\text{Ax. 1.}}&\left(P(\varphi )\;\wedge \;\Box \;\forall x(\varphi (x)\Rightarrow \psi (x))\right)\;\Rightarrow \;P(\psi )\\{\text{Ax. 2.}}&P(\neg \varphi )\;\Leftrightarrow \;\neg P(\varphi )\\{\text{Th. 1.}}&P(\varphi )\;\Rightarrow \;\Diamond \;\exists x\;\varphi (x)\\{\text{Df. 1.}}&G(x)\;\Leftrightarrow \;\forall \varphi (P(\varphi )\Rightarrow \varphi (x))\\{\text{Ax. 3.}}&P(G)\\{\text{Th. 2.}}&\Diamond \;\exists x\;G(x)\\{\text{Df. 2.}}&\varphi {\text{ ess }}x\;\Leftrightarrow \;\varphi (x)\wedge \forall \psi \left(\psi (x)\Rightarrow \Box \;\forall y(\varphi (y)\Rightarrow \psi (y))\right)\\{\text{Ax. 4.}}&P(\varphi )\;\Rightarrow \;\Box \;P(\varphi )\\{\text{Th. 3.}}&G(x)\;\Rightarrow \;G{\text{ ess }}x\\{\text{Df. 3.}}&E(x)\;\Leftrightarrow \;\forall \varphi (\varphi {\text{ ess }}x\Rightarrow \Box \;\exists y\;\varphi (y))\\{\text{Ax. 5.}}&P(E)\\{\text{Th. 4.}}&\Box \;\exists x\;G(x)\end{array}}}$

Критика

Большая часть критики доказательства Гёделя направлена ​​на его аксиомы: как и в случае любого доказательства в любой логической системе, если аксиомы, на которых основано доказательство, подвергаются сомнению, то и выводы могут быть подвергнуты сомнению. Это особенно применимо к доказательству Гёделя, поскольку оно опирается на пять аксиом, некоторые из которых считаются сомнительными. Доказательство не требует, чтобы заключение было правильным, а скорее того, чтобы принятие аксиом логически следовало из него.

Многие философы подвергали аксиомы сомнению. Первый уровень критики заключается в том, что не представлено никаких аргументов, которые объясняют, почему аксиомы истинны. Второй уровень заключается в том, что эти конкретные аксиомы приводят к нежелательным выводам. Эта линия мысли была высказана Джорданом Говардом Собелем , ^[12] показывающим, что если аксиомы приняты, они приводят к « модальному коллапсу », где каждое утверждение, которое является истинным, обязательно истинно, т. е. множества необходимых, контингентных и возможных истин совпадают (при условии, что вообще существуют доступные миры). ^{[примечание 7]} Согласно Роберту Кунсу , ^{[9] : 9} Собел предположил в докладе на конференции 2005 года ^{[ требуется ссылка ]} , что Гёдель мог бы приветствовать модальный коллапс. ^[13]

Предлагаются поправки к доказательству, представленные К. Энтони Андерсоном ^[14] , но Андерсон и Майкл Геттингс утверждают, что они могут быть опровергнуты. ^[15] Доказательство Собеля о модальном коллапсе было подвергнуто сомнению Кунсом ^{[9] [примечание 8],} но Собел дал контрзащиту. ^{[ необходима ссылка ]}

Доказательство Гёделя также было подвергнуто сомнению Грэмом Оппи ^[16], который спросил, будут ли многие другие почти боги также «доказаны» через аксиомы Гёделя. Этот контраргумент был подвергнут сомнению Геттингсом ^[17], который согласен, что аксиомы могут быть подвергнуты сомнению, но не согласен, что конкретный контрпример Оппи может быть показан из аксиом Гёделя.

Религиозный ученый- отец Роберт Дж. Шпицер принял доказательство Гёделя, назвав его «улучшением онтологического аргумента Ансельма (который не работает)» ^{[18] .}

Однако существует гораздо больше критических замечаний, большинство из которых сосредоточены на вопросе о том, следует ли отвергать эти аксиомы, чтобы избежать странных выводов. Более широкая критика заключается в том, что даже если аксиомы нельзя доказать как ложные, это не означает, что они истинны. Знаменитое замечание Гильберта о взаимозаменяемости имен примитивов применимо как к тем, которые содержатся в онтологических аксиомах Гёделя («положительный», «богоподобный», «сущность»), так и к тем, которые содержатся в аксиомах геометрии Гильберта («точка», «линия», «плоскость»). Согласно Андре Фурманну (2005), остается показать, что ослепительное понятие, предписанное традициями и часто считающееся по сути таинственным, удовлетворяет аксиомам Гёделя. Это не математическая, а теологическая задача. ^{[19] : 364–366} Именно эта задача решает, существование бога какой религии было доказано.

Версии, проверенные вычислительным путем

Кристоф Бенцмюллер и Бруно Вольценлогель-Палео формализовали доказательство Гёделя до уровня, пригодного для автоматизированного доказательства теорем или, по крайней мере, для вычислительной проверки с помощью помощников доказательства . ^[20] Эта работа попала в заголовки немецких газет. По словам авторов этой работы, они были вдохновлены книгой Мелвина Фиттинга . ^[21]

В 2014 году они вычислительно проверили доказательство Гёделя (в вышеуказанной версии). ^{[22] : 97  [примечание 9]} Они также доказали, что аксиомы этой версии непротиворечивы, ^{[примечание 10],} но подразумевают модальный коллапс, ^{[примечание 11]} , тем самым подтверждая аргумент Собеля 1987 года. В той же статье они заподозрили, что первоначальная версия аксиом Гёделя ^{[примечание 12]} является противоречивой, поскольку им не удалось доказать их непротиворечивость. ^{[примечание 13]}

В 2016 году они дали автоматизированное доказательство того, что исходная версия подразумевает , т. е. является противоречивой в каждой модальной логике с рефлексивным или симметричным отношением доступности . ^{[24] : 940 lf} Более того, они привели аргумент, что эта версия является противоречивой в любой логике вообще, ^{[примечание 14]} но не смогли воспроизвести его с помощью автоматизированных доказывающих средств. ^{[примечание 15]} Однако они смогли проверить переформулировку аргумента Мелвином Фитингом и гарантировать его согласованность. ^[25] ${\displaystyle \Diamond \Box \bot }$

В литературе

Юмористический вариант онтологического доказательства Гёделя упоминается в романе Квентина Кантерела «Весёлый коронер» . ^{[26] [ нужна страница ]} Доказательство также упоминается в телесериале « Длань Бога» . ^{[ указать ]}

В романе Джеффри Кеглера 2007 года «Доказательство Бога» описывается (вымышленное) повторное открытие утерянной записной книжки Гёделя об онтологическом доказательстве. ^[27]

Смотрите также

• Существование Бога
• Философия религии
• Теизм
• Онтологический аргумент

Примечания

1. Ответ Гёделя на специальную анкету, присланную ему социологом Берком Гранджаном. Этот ответ цитируется напрямую в Wang 1987, стр. 18, и косвенно в Wang 1996, стр. 112. Он также цитируется напрямую в Dawson 1997, стр. 6, который цитирует Wang 1987. Анкета Гранджана, возможно, является самым обширным автобиографическим пунктом в работах Гёделя. Гёдель заполнил ее карандашом и написал сопроводительное письмо, но так и не вернул его. «Теистический» выделен курсивом как в Wang 1987, так и в Wang 1996. Возможно, что этот курсив принадлежит Вангу, а не Гёделю. Цитата следует за Wang 1987, с двумя исправлениями, взятыми из Wang 1996. Wang 1987 читает «баптист-лютеранин», тогда как Wang 1996 пишет «крещеный лютеранин». «Баптист-лютеранин» не имеет смысла, особенно в контексте, и, предположительно, является опечаткой или неправильной транскрипцией. Wang 1987 пишет «отн. конг.», что в Wang 1996 расширено до «религиозная община».
2. Он предполагает, что можно выделить положительные свойства из всех свойств. Гёдель комментирует, что «Положительное означает положительное в морально -эстетическом смысле (независимо от случайной структуры мира)... Это может также означать чистую атрибуцию в противоположность лишению (или содержащему лишение)». (Гёдель 1995), см. также рукопись в (Голик 2012).
3. В качестве нечестивого примера, если свойство быть зеленым положительно, то свойство не быть красным также положительно (по аксиоме 1), следовательно, свойство быть красным отрицательно (по аксиоме 2). В более общем смысле, максимум один цвет может считаться положительным.
4. Продолжая пример с цветом, божественный объект должен иметь уникальный цвет, который считается положительным, или не иметь цвета вообще; обе альтернативы могут показаться нелогичными.
5. Если рассмотреть частичный порядок, определяемый if , то Аксиомы 1-3 можно суммировать, сказав, что положительные свойства образуют ультрафильтр на этом порядке. Определение 1 и Аксиома 4 необходимы для установления свойства Богоподобия как главного элемента ультрафильтра. ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle \varphi \preceq \psi }$ ${\displaystyle \square \forall y(\varphi (y)\to \psi (y))}$
6. Удалив все модальные операторы из аксиом, определений, доказательств и теорем, получаем модифицированную версию теоремы 2, которая гласит: "∃ x G ( x )", т.е. "Существует объект, который имеет все положительные, но не имеет отрицательных свойств". Для этого результата не нужно рассматривать ничего, кроме аксиом 1-3, определения 1 и теорем 1-2.
7. Формально, для всех p следует для всех p по косвенному доказательству , и справедливо для всех p всякий раз, когда есть доступные миры. ${\displaystyle p\Rightarrow \Box p}$ ${\displaystyle \Diamond p\Rightarrow p}$ ${\displaystyle \Box p\Rightarrow \Diamond p}$
8. Поскольку доказательство Собеля модального коллапса использует лямбда-абстракцию , а доказательство Гёделя — нет, Кунс предлагает запретить эту операцию построения свойств как «наиболее консервативную» меру, прежде чем «отвергать или исправлять ... аксиомы (как это делает Андерсон)».
9. Строки "T3" на рис.2 и пункт 3 в разделе 4 ("Основные выводы"). Их теорема "T3" соответствует "Th.4", показанной выше.
10. Линия «CO» на рис. 2 и пункт 1 в разделе 4 (стр. 97).
11. Строка «MC» на рис. 2 и пункт 6 в разделе 4 (стр. 97).
12. Версия, представленная здесь, принадлежит Дэне Скотт. ^[23] Она отличается от оригинала Гёделя тем, что в Df.2 отсутствует первый конъюнкт. ${\displaystyle \varphi (x)}$
13. Строки «CO'» на рис. 2 и пункт 5 в разделе 4 (стр. 97).
14. Пункт 8 в разделе 4.1 «Неформальный аргумент» (стр. 940).
15. Подробное обсуждение см. в разделе 4 «Аргумент интуитивной непоследовательности» (стр. 939–941).

Ссылки

1. В: Ван, Хао. Логическое путешествие: от Гёделя к философии. A Bradford Book, 1997. Печать. С.316.
2. Цитируется в Gödel 1995, стр. 388. Немецкий оригинал цитируется в Dawson 1997, стр. 307. Вложенные скобки находятся в оригинальной записи в дневнике Моргенштерна, цитируемой Доусоном.
3. История публикации доказательства в этом параграфе взята из Gödel 1995, стр. 388.
4. Доусон 1997, стр. 6.
5. Доусон 1997, стр. 210–212.
6. Ван 1996, стр. 317. Многоточие принадлежит Википедии.
7. Ван 1996, стр. 51.
8. Доказательство Гёделя перепечатано на стр. 403-404,429-437 из: Курт Гёдель (март 1995). Соломон Феферман и Джон В. Доусон мл. и Уоррен Голдфарб и Чарльз Парсонс и Роберт М. Соловей (ред.). Неопубликованные эссе и лекции (PDF) . Собрание сочинений. Том III (1-е изд.). Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 0-19-507255-3.
9. Роберт К. Кунс (июль 2005 г.). Собель об онтологическом доказательстве Гёделя (PDF) (неопубликованная статья). Техасский университет в Остине. Архивировано из оригинала (PDF) 2020-08-02.
10. Представленная ниже презентация следует из работы Кунса (2005), ^[9] стр. 3-7.
11. Фитинг, 2002, стр. 139
12. Jordan Howard Sobel (ноябрь 1987). «Онтологическое доказательство Гёделя». В Judith Jarvis Thomson (ред.). On Being and Saying: Essays for Richard Cartwright . Cambridge/MA & London, England: MIT Press. стр. 241–261. ISBN 978-0262200639.
13. Курт Гёдель (март 1995 г.). «Тексты, относящиеся к онтологическому доказательству (Приложение B)». В Соломоне Фефермане; Джоне У. Доусоне-младшем; Уоррене Голдфарбе; Чарльзе Парсонсе; Роберте М. Соловее (ред.). Неопубликованные эссе и лекции (PDF) . Собрание сочинений. Том III (1-е изд.). Оксфорд: Oxford University Press. стр. 429–437. ISBN 0-19-507255-3.Здесь: стр. 435; вероятно, Собель ссылался на примечание Гёделя 4.: "... Если предполагается [как вытекающее из сущности ], ... но это низший путь. Скорее, должно следовать прежде всего из существования Бога". ${\displaystyle \varphi (x)\Rightarrow \Box \varphi (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi (x)\Rightarrow \Box \varphi (x)}$ Примечание может указывать на то, что Гёдель знал о своих аксиомах, подразумевающих модальный коллапс.
14. Кертис Энтони Андерсон (июль 1990 г.). «Некоторые поправки к онтологическому доказательству Гёделя» (PDF) . Вера и философия . 7 (3): 291–303. doi :10.5840/faithphil19907325. Архивировано (PDF) из оригинала 04.06.2015.
15. Кертис Энтони Андерсон и Майкл Геттингс (август 1996 г.). «Пересмотр онтологического доказательства Гёделя». В Петре Гаеке (ред.). Proc. Gödel '96: Логические основы математики, компьютерной науки и физики — Наследие Курта Гёделя . Заметки лекций по логике. Том 6. Springer. С. 167–172.
16. Грэм Оппи (октябрь 1996 г.). «Геделевские онтологические аргументы». Анализ . 54 (4): 226–230. doi :10.1093/analys/56.4.226.— Более длинная версия (2005)
17. Геттингс Майкл (1999). «Онтологический аргумент Гёделя: ответ Оппи». Анализ . 59 (264): 309–313. doi :10.1111/1467-8284.00184 (неактивен 2024-09-11).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of September 2024 (link)
18. "Теорема Гёделя и существование Бога". Magis Center . 2017-04-26 . Получено 2018-05-23 .
19. Андре Фурманн (2005). «Existenz und Notwendigkeit — аксиоматическая теология Курта Гёделя» [Существование и необходимость — аксиоматическая теология Курта Гёделя] (PDF) . В В. Споне (ред.). Logik in der Philosophie [ Логика в философии ] (на немецком языке). Гейдельберг: Синхрон. стр. 349–374. Архивировано (PDF) из оригинала 18 мая 2016 г.
20. "Формальная теология/GoedelGod". Гитхаб . 28 июня 2021 г.
21. Найт, Дэвид (23 октября 2013 г.). «Ученые используют компьютер для математического доказательства теоремы Гёделя о Боге». Der Spiegel . Получено 28 октября 2013 г.
22. Кристоф Бенцмюллер и Бруно Вольценлогель-Палео (2014). «Автоматизация онтологического доказательства Гёделя существования Бога с помощью автоматизированных доказательств теорем высшего порядка» (PDF) . Proc. Европейская конференция по искусственному интеллекту . Frontiers in Artificial Intelligence and Applications. Vol. 263. IOS Press. pp. 93–98. Архивировано (PDF) из оригинала 2014-07-14.
23. D. Scott (2004). «Приложение B: Заметки рукой Даны Скотт [1972]». В JH Sobel (ред.). Логика и теизм: аргументы за и против веры в Бога . Кембридж: Cambridge University Press. стр. 145–146. ISBN 978-0511497988.
24. Кристоф Бенцмюллер и Бруно Вольценлогель-Палео (июль 2016 г.). «Непоследовательность в онтологическом аргументе Гёделя: история успеха ИИ в метафизике» (PDF) . В Subbarao Kambhampati (ред.). Proc. 25-я Международная совместная конференция по искусственному интеллекту . AAAI Press. стр. 936–942. Архивировано (PDF) из оригинала 13.11.2016.
25. Кристоф Бенцмюллер и Дэвид Фуэнмайор (май 2017 г.). «Типы, Таблицы и Бог Гёделя в Изабель/HOL». Архив формальных доказательств . ISSN  2150-914X.
26. Квентин Кантерел (2015). Веселый коронер: плутовской роман . Acorn Independent Press.
27. Джеффри Кеглер (2007), The God Proof, архивировано из оригинала 28.07.2021 , извлечено 25.03.2021, полный текст онлайн.

Дальнейшее чтение

• Фроде Альфсон Бьёрдаль , «Понимание онтологического аргумента Гёделя», в Т. Чайлдерсе (ред.), The Logica Yearbook 1998 , Прага 1999, 214–217.
• Фроде Альфсон Бьёрдаль, «Все свойства божественны, или Бог существует», в журнале «Логика и логическая философия», т. 27, № 3, 2018 г., стр. 329–350.
• Броманд, Иоахим. «Gödels ontologischer Beweis und andere modallogische Gottesbeweise», в книге J. Bromand und G. Kreis (Hg.), Gottesbeweise von Anselm bis Gödel , Berlin 2011, 381–491.
• Джон В. Доусон-младший (1997). Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Гёделя . Уэллсли, Массачусетс: AK Peters, Ltd. ISBN 1-56881-025-3.
• Мелвин Фиттинг , «Типы, таблицы и Бог Гёделя» Издатель: Dordrecht Kluwer Academic, 2002, ISBN 1-4020-0604-7 , ISBN 978-1-4020-0604-3  
• Курт Гёдель (март 1995 г.). Соломон Феферман; Джон В. Доусон-младший; Уоррен Голдфарб; Чарльз Парсонс; Роберт М. Соловей (ред.). Неопубликованные эссе и лекции (PDF) . Собрание сочинений. Том III (1-е изд.). Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 0-19-507255-3.— См. главу «Онтологическое доказательство», стр. 403–404, и Приложение B «Тексты, относящиеся к онтологическому доказательству», стр. 429–437.
• Голдман, Рэндольф Р. «Онтологический аргумент Гёделя», докторская диссертация, Калифорнийский университет, Беркли, 2000.
• Хазен, А.П. «Об онтологическом доказательстве Гёделя», Australasian Journal of Philosophy, т. 76, № 3, стр. 361–377, сентябрь 1998 г.
• Смолл, Кристофер. "Размышления об онтологическом аргументе Гёделя" (PDF) . Университет Ватерлоо . Архивировано из оригинала (PDF) 2009-12-22 . Получено 2010-08-31 .
• Ван, Хао (1987). Размышления о Курте Гёделе . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 0-262-23127-1.
• Ван, Хао (1996). Логическое путешествие: от Гёделя к философии . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 0-262-23189-1.

Внешние ссылки

• Оппи, Грэм. «Онтологические аргументы». В Zalta, Edward N. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Аннотированная библиография исследований по онтологическому аргументу Гёделя
• Томас Гаулик, Был ли грех и был ли он соллен математическим Gottesbeweise? , январь 2012 г. — показан оригинал корректуры Гёделя на стр. 2-3
• Доказательство божественной непротиворечивости математики — представленная работа Харви Фридмана, показывающая, что если Бог существует (в смысле Гёделя), то математика, формализованная обычными аксиомами ZFC , непротиворечива.