В математике модуль Галуа — это G -модуль , где G — группа Галуа некоторого расширения полей . Термин «представление Галуа» часто используется, когда G -модуль является векторным пространством над полем или свободным модулем над кольцом в теории представлений , но также может использоваться как синоним G -модуля. Изучение модулей Галуа для расширений локальных или глобальных полей и их групповых когомологий — важный инструмент теории чисел .
Пусть K — значенное поле (нормирование обозначается v ), и пусть L / K — конечное расширение Галуа с группой Галуа G. Для расширения w от v до L пусть Iw обозначает его группу инерции . Модуль Галуа ρ : G → Aut( V ) называется неразветвленным, если ρ( I w ) = {1}.
В классической алгебраической теории чисел пусть L — расширение Галуа поля K , и пусть G — соответствующая группа Галуа. Тогда кольцо O L целых алгебраических чисел L можно рассматривать как OK [ G ] -модуль и можно задаться вопросом, какова его структура . Это арифметический вопрос, поскольку по теореме о нормальном базисе известно, что L является свободным K [ G ]-модулем ранга 1. Если то же самое верно для целых чисел, это эквивалентно существованию нормального целочисленного базиса. , т.е. такого α в OL , что его сопряженные элементы относительно G дают свободный базис для OL над OK . Это интересный вопрос даже (возможно, особенно), когда K — поле рациональных чисел Q.
Например, если L = Q ( √ −3 ), существует ли нормальный целочисленный базис? Ответ — да, как можно увидеть, отождествив его с Q ( ζ ), где
Фактически, все подполя круговых полей для корней p -й степени из единицы для p простого числа имеют нормальные целые базы (над Z ), как можно вывести из теории гауссовских периодов ( теорема Гильберта – Спейзера ). С другой стороны, гауссово поле этого не делает. Это пример необходимого условия, найденного Эмми Нётер ( возможно, известного ранее? ). Здесь важно ручное разветвление . С точки зрения дискриминанта D числа L и принимая по-прежнему K = Q , никакое простое число p не должно делить D в степени p . Тогда теорема Нётер утверждает, что ручное ветвление необходимо и достаточно для того, чтобы OL был проективным модулем над Z [ G ]. Поэтому, безусловно, необходимо, чтобы это был бесплатный модуль. Это оставляет вопрос о разрыве между свободным и проективным, для которого сейчас создана большая теория.
Классический результат, основанный на результате Дэвида Гильберта , состоит в том, что правильно разветвленное абелево числовое поле имеет нормальный целочисленный базис. В этом можно убедиться, используя теорему Кронекера-Вебера для встраивания абелева поля в круговое поле. [1]
Многие объекты, возникающие в теории чисел, естественно, являются представлениями Галуа. Например, если L — расширение Галуа числового поля K , кольцо целых чисел O L поля L является модулем Галуа над OK для группы Галуа поля L / K (см. теорему Гильберта – Шпейзера). Если K — локальное поле, мультипликативная группа его сепарабельного замыкания является модулем абсолютной группы Галуа поля K , и ее изучение приводит к локальной теории полей классов . Для глобальной теории полей классов вместо этого используется объединение групп идельных классов всех конечных сепарабельных расширений K.
Существуют также представления Галуа, которые возникают из вспомогательных объектов и могут быть использованы для изучения групп Галуа. Важным семейством примеров являются ℓ-адические модули Тейта абелевых многообразий .
Пусть K — числовое поле. Эмиль Артин ввел класс представлений Галуа абсолютной группы Галуа G K группы K , теперь называемых представлениями Артина . Это непрерывные конечномерные линейные представления G K на комплексных векторных пространствах . Изучение Артином этих представлений привело его к формулировке закона взаимности Артина и гипотезе того, что сейчас называется гипотезой Артина о голоморфности L - функций Артина .
Из-за несовместимости проконечной топологии на G K и обычной (евклидовой) топологии на комплексных векторных пространствах образ представления Артина всегда конечен.
Пусть ℓ — простое число . ℓ -адическое представление G K — это непрерывный групповой гомоморфизм ρ : G K → Aut( M ) , где M — либо конечномерное векторное пространство над Q ℓ (алгебраическое замыкание ℓ-адических чисел Q ℓ ), либо конечно порожденный Z ℓ -модуль (где Z ℓ — целое замыкание Z ℓ в Q ℓ ) . Первыми возникшими примерами были ℓ-адический круговой характер и ℓ-адические модули Тейта абелевых многообразий над K . Другие примеры взяты из представлений Галуа модулярных форм и автоморфных форм, а также представлений Галуа на ℓ-адических группах когомологий алгебраических многообразий.
В отличие от представлений Артина, ℓ-адические представления могут иметь бесконечный образ. Например, образ G Q под ℓ-адическим круговым символом равен . ℓ-адические представления с конечным образом часто называют представлениями Артина. Благодаря изоморфизму Q ℓ с C их можно отождествить с настоящими представлениями Артина.
Это представления над конечным полем характеристики ℓ. Они часто возникают как сокращение по модулю ℓ ℓ-адического представления.
Существует множество условий на представления, заданные некоторым свойством представления, ограниченным группой разложения некоторого простого числа. Терминология этих состояний несколько хаотична: разные авторы придумывают разные названия для одного и того же состояния и используют одно и то же название в разных значениях. Некоторые из этих условий включают в себя:
Если K — локальное или глобальное поле, теория формирований классов присоединяет к K его группу Вейля W K , непрерывный групповой гомоморфизм φ : W K → G K и изоморфизм топологических групп.
где C K — это K × или группа классов иделей I K / K × (в зависимости от того, является ли K локальным или глобальным), а W аб
К является абелианизацией группы Вейля группы K . Через φ любое представление GK можно рассматривать как представление WK . Однако W K может иметь строго больше представлений, чем G K . Например, через r K непрерывные комплексные характеры W K находятся в биекции с характерами C K . Таким образом, символ абсолютного значения на C K дает характер W K , образ которого бесконечен и, следовательно, не является характером G K (поскольку все такие символы имеют конечный образ).
ℓ-адическое представление W K определяется так же, как и для G K . Они естественным образом возникают из геометрии: если X — гладкое проективное многообразие над K , то ℓ-адические когомологии геометрического слоя X являются ℓ-адическим представлением G K , которое через φ индуцирует ℓ-адическое представление W К. Если K — локальное поле вычетной характеристики p ≠ ℓ, то проще изучать так называемые представления Вейля–Делиня W K .
Пусть K — локальное поле. Пусть E — поле нулевой характеристики. Представление Вейля –Делиня над E группы W K (или просто K ) — это пара ( r , N ), состоящая из
Эти представления совпадают с представлениями над E группы Вейля –Делиня группы K .
Если характеристика вычета K отличается от ℓ, теорема Гротендика о ℓ-адической монодромии устанавливает биекцию между ℓ-адическими представлениями W K (над Q ℓ ) и представлениями Вейля – Делиня W K над Q ℓ (или, что эквивалентно, над С ). Последние имеют то приятное свойство, что непрерывность r имеет место только по отношению к дискретной топологии на V , что делает ситуацию более алгебраической по своей сути.
