Алгебраическая теория чисел

Титульный лист первого издания Disquisitiones Arithmeticae , одного из основополагающих трудов современной алгебраической теории чисел.

Алгебраическая теория чисел — это раздел теории чисел , который использует методы абстрактной алгебры для изучения целых чисел , рациональных чисел и их обобщений. Теоретико-числовые вопросы выражаются в терминах свойств алгебраических объектов, таких как поля алгебраических чисел и их кольца целых чисел , конечные поля и поля функций . Эти свойства, такие как допускает ли кольцо однозначную факторизацию , поведение идеалов и группы Галуа полей , могут решать вопросы первостепенной важности в теории чисел , такие как существование решений диофантовых уравнений .

История алгебраической теории чисел

Диофант

Начало алгебраической теории чисел можно проследить до диофантовых уравнений, ^[1] названных в честь александрийского математика 3-го века Диофанта , который изучал их и разработал методы решения некоторых видов диофантовых уравнений. Типичная диофантова задача — найти два целых числа x и y, такие, что их сумма и сумма их квадратов равны двум заданным числам A и B соответственно:

A=x+y\

B=x^{2}+y^{2}.\

Диофантовы уравнения изучаются уже тысячи лет. Например, решения квадратного диофантова уравнения
x ² + y ² = z ² даются пифагорейскими тройками , первоначально решенными вавилонянами ( ок. 1800 г. до н. э. ). ^[2] Решения линейных диофантовых уравнений, таких как 26 x + 65 y = 13, могут быть найдены с помощью алгоритма Евклида (ок. 5 в. до н. э.). ^[3]

Главным трудом Диофанта была «Арифметика» , от которой сохранилась лишь часть.

Ферма

Великая теорема Ферма была впервые высказана Пьером де Ферма в 1637 году, как известно, на полях экземпляра «Арифметики», где он утверждал, что у него есть доказательство, которое слишком велико, чтобы поместиться на полях. Ни одно успешное доказательство не было опубликовано до 1995 года, несмотря на усилия бесчисленных математиков в течение 358 прошедших лет. Нерешенная проблема стимулировала развитие алгебраической теории чисел в 19 веке и доказательство теоремы о модулярности в 20 веке.

Гаусс

Одна из основополагающих работ по алгебраической теории чисел, Disquisitiones Arithmeticae ( лат .: Арифметические исследования ) — учебник по теории чисел, написанный на латыни ^[4] Карлом Фридрихом Гауссом в 1798 году, когда Гауссу было 21 год, и впервые опубликованный в 1801 году, когда ему было 24 года. В этой книге Гаусс объединяет результаты по теории чисел, полученные такими математиками, как Ферма, Эйлер , Лагранж и Лежандр , и добавляет важные новые собственные результаты. До публикации Disquisitiones теория чисел состояла из собрания изолированных теорем и гипотез. Гаусс объединил работы своих предшественников со своей собственной оригинальной работой в систематическую структуру, заполнил пробелы, исправил несостоятельные доказательства и расширил предмет многочисленными способами.

Disquisitiones были отправной точкой для работы других европейских математиков девятнадцатого века, включая Эрнста Куммера , Петера Густава Лежена Дирихле и Рихарда Дедекинда . Многие из аннотаций , данных Гауссом, по сути, являются объявлениями о его дальнейших собственных исследованиях, некоторые из которых остались неопубликованными. Они, должно быть, казались особенно загадочными его современникам; теперь мы можем читать их как содержащие зародыши теорий L-функций и комплексного умножения , в частности.

Дирихле

В паре статей в 1838 и 1839 годах Петер Густав Лежен Дирихле доказал формулу числа первого класса для квадратичных форм (позднее улучшенную его учеником Леопольдом Кронекером ). Формула, которую Якоби назвал результатом «касающимся пределов человеческой проницательности», открыла путь для аналогичных результатов относительно более общих числовых полей . ^[5] Основываясь на своем исследовании структуры единичной группы квадратичных полей , он доказал единичную теорему Дирихле — фундаментальный результат в алгебраической теории чисел. ^[6]

Он впервые использовал принцип ящика , базовый аргумент подсчета, в доказательстве теоремы о диофантовых приближениях , позже названной в его честь теоремой о приближениях Дирихле . Он опубликовал важные вклады в последнюю теорему Ферма, для которой он доказал случаи n = 5 и n = 14, и в биквадратичный закон взаимности . ^[5] Проблема делителей Дирихле , для которой он нашел первые результаты, до сих пор остается нерешенной проблемой в теории чисел, несмотря на более поздние вклады других исследователей.

Дедекинд

Изучение Рихардом Дедекиндом работ Лежена Дирихле привело его к более позднему изучению алгебраических числовых полей и идеалов. В 1863 году он опубликовал лекции Лежена Дирихле по теории чисел под названием Vorlesungen über Zahlentheorie («Лекции по теории чисел»), о которых было написано следующее:

«Хотя книга, несомненно, основана на лекциях Дирихле и хотя сам Дедекинд на протяжении всей своей жизни называл ее книгой Дирихле, сама книга была полностью написана Дедекиндом, по большей части после смерти Дирихле» (Эдвардс, 1983).

Издания Vorlesungen 1879 и 1894 годов включали дополнения, вводящие понятие идеала, фундаментального для теории колец . (Слово «Кольцо», введенное позже Гильбертом , не появляется в работе Дедекинда.) Дедекинд определил идеал как подмножество множества чисел, состоящее из алгебраических целых чисел , которые удовлетворяют полиномиальным уравнениям с целыми коэффициентами. Эта концепция получила дальнейшее развитие в руках Гильберта и, особенно, Эмми Нётер . Идеалы обобщают идеальные числа Эрнста Эдуарда Куммера , разработанные как часть попытки Куммера 1843 года доказать Великую теорему Ферма.

Гильберт

Давид Гильберт объединил область алгебраической теории чисел своим трактатом 1897 года Zahlbericht (буквально «отчет о числах»). Он также решил важную проблему теории чисел, сформулированную Уорингом в 1770 году. Как и в случае с теоремой о конечности, он использовал доказательство существования, которое показывает, что должны быть решения для проблемы, а не предлагал механизм для получения ответов. ^[7] Затем у него было мало публикаций по этой теме; но появление модулярных форм Гильберта в диссертации студента означает, что его имя еще больше связано с важной областью.

Он выдвинул ряд гипотез о теории полей классов . Эти концепции оказали большое влияние, и его собственный вклад сохранился в названиях поля классов Гильберта и символа Гильберта локальной теории полей классов . Результаты были в основном доказаны к 1930 году после работы Тейджи Такаги . ^[8]

Артин

Эмиль Артин установил закон взаимности Артина в серии статей (1924; 1927; 1930). Этот закон является общей теоремой в теории чисел, которая образует центральную часть глобальной теории полей классов. ^[9] Термин « закон взаимности » относится к длинному ряду более конкретных утверждений теории чисел, которые он обобщает, от квадратичного закона взаимности и законов взаимности Эйзенштейна и Куммера до формулы произведения Гильберта для символа нормы . Результат Артина предоставил частичное решение девятой проблемы Гильберта .

Современная теория

Около 1955 года японские математики Горо Шимура и Ютака Танияма обнаружили возможную связь между двумя, казалось бы, совершенно разными ветвями математики, эллиптическими кривыми и модулярными формами . Полученная теорема о модулярности (в то время известная как гипотеза Таниямы–Шимуры) утверждает, что каждая эллиптическая кривая является модулярной , что означает, что ей может быть сопоставлена уникальная модулярная форма .

Первоначально она была отклонена как маловероятная или весьма спекулятивная, но была воспринята более серьезно, когда теоретик чисел Андре Вейль нашел подтверждающие ее свидетельства, но не доказательства; в результате «поразительная» ^[10] гипотеза часто была известна как гипотеза Таниямы–Шимуры–Вейля. Она стала частью программы Ленглендса , списка важных гипотез, требующих доказательства или опровержения.

С 1993 по 1994 год Эндрю Уайлс предоставил доказательство теоремы о модулярности для полустабильных эллиптических кривых , которая вместе с теоремой Рибета предоставила доказательство Великой теоремы Ферма. Почти каждый математик того времени ранее считал и Великую теорему Ферма, и теорему о модулярности либо невозможными, либо практически невозможными для доказательства, даже с учетом самых передовых разработок. Уайлс впервые объявил о своем доказательстве в июне 1993 года ^[11] в версии, которая вскоре была признана имеющей серьезный пробел в ключевом пункте. Доказательство было исправлено Уайлсом, частично в сотрудничестве с Ричардом Тейлором , и окончательная, широко принятая версия была выпущена в сентябре 1994 года и официально опубликована в 1995 году. Доказательство использует множество методов из алгебраической геометрии и теории чисел и имеет много ответвлений в этих разделах математики. Он также использует стандартные конструкции современной алгебраической геометрии, такие как категория схем и теория Ивасавы , а также другие методы 20-го века , недоступные Ферма.

Основные понятия

Неудача уникальной факторизации

Важным свойством кольца целых чисел является то, что оно удовлетворяет фундаментальной теореме арифметики , что каждое (положительное) целое число имеет факторизацию в произведение простых чисел , и эта факторизация является единственной с точностью до упорядочения множителей. Это может быть уже не так в кольце целых чисел $O$ алгебраического числового поля $K.$

Простой элемент — это элемент $p$ из $O,$ такой, что если $p$ делит произведение $ab$ , то он делит один из множителей $a$ или $b$ . Это свойство тесно связано с простотой целых чисел, потому что любое положительное целое число, удовлетворяющее этому свойству, равно либо $1$ , либо простому числу. Однако оно строго слабее. Например, $-2$ не является простым числом, потому что оно отрицательно, но является простым элементом. Если разрешено разложение на простые элементы, то даже в целых числах существуют альтернативные разложения, такие как

6=2\cdot 3=(-2)\cdot (-3).

В общем случае, если $u$ — единица , то есть число с мультипликативной инверсией в $O$ , и если $p$ — простой элемент, то $up$ также является простым элементом. Такие числа, как $p$ и $up,$ называются ассоциированными . В целых числах простые числа $p$ и $- p$ являются ассоциированными, но только одно из них положительно. Требование, чтобы простые числа были положительными, выбирает уникальный элемент из набора ассоциированных простых элементов. Однако, когда K не является рациональным числом, аналога положительности нет. Например, в гауссовых целых числах $Z [i]$ , ^[12] числа $1 + 2 i$ и $-2 + i$ являются ассоциированными, потому что последнее является произведением первого на $i$ , но нет способа выделить одно из них как более каноническое, чем другое. Это приводит к уравнениям, таким как

5=(1+2i)(1-2i)=(2+i)(2-i),

которые доказывают, что в $Z [i]$ неверно, что факторизации уникальны вплоть до порядка множителей. По этой причине принимается определение уникальной факторизации, используемое в доменах уникальной факторизации (UFD). В UFD простые элементы, встречающиеся в факторизации, должны быть уникальны только до единиц и их порядка.

Однако даже при таком более слабом определении многие кольца целых чисел в полях алгебраических чисел не допускают однозначной факторизации. Существует алгебраическое препятствие, называемое идеальной группой классов. Когда идеальная группа классов тривиальна, кольцо является UFD. Когда это не так, существует различие между простым элементом и неприводимым элементом . Неприводимый элемент $x$ — это элемент, такой что если $x = yz$ , то либо $y$ , либо $z$ является единицей. Это элементы, которые не могут быть разложены дальше. Каждый элемент в O допускает факторизацию на неприводимые элементы, но может допускать более одного. Это связано с тем, что, хотя все простые элементы неприводимы, некоторые неприводимые элементы могут не быть простыми. Например, рассмотрим кольцо $Z [\sqrt -5]$ . ^[13] В этом кольце числа $3$ , $2 + \sqrt -5$ и $2 - \sqrt -5$ неприводимы. Это означает, что число $9$ имеет два разложения на неприводимые элементы,

9=3^{2}=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).

Это уравнение показывает, что $3$ делит произведение $(2 + \sqrt -5)(2 - \sqrt -5) = 9$ . Если бы $3$ было простым элементом, то оно делило бы $2 + \sqrt -5$ или $2 - \sqrt -5$ , но этого не происходит, потому что все элементы, делящиеся на $3,$ имеют вид $3 a + 3 b \sqrt -5$ . Аналогично, $2 + \sqrt -5$ и $2 - \sqrt -5$ делят произведение $32$ , но ни один из этих элементов не делит само $3$ , поэтому ни один из них не является простым. Поскольку нет смысла, в котором элементы $3$ , $2 + \sqrt -5$ и $2 - \sqrt -5$ можно сделать эквивалентными, уникальная факторизация терпит неудачу в $Z [\sqrt -5]$ . В отличие от ситуации с единицами, где уникальность можно было бы исправить, ослабив определение, преодоление этой неудачи требует новой перспективы.

Разложение на простые идеалы

Если $I$ — идеал в $O$ , то всегда существует факторизация

I={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{t}^{e_{t}},

где каждый из них является простым идеалом , и где это выражение уникально с точностью до порядка множителей. В частности, это верно, если $I$ является главным идеалом, порожденным одним элементом. Это самый сильный смысл, в котором кольцо целых чисел общего числового поля допускает однозначную факторизацию. На языке теории колец это означает, что кольца целых чисел являются дедекиндовыми областями . ${\mathfrak {p}}_{i}$

Когда $O$ является UFD, каждый простой идеал порождается простым элементом. В противном случае существуют простые идеалы, которые не порождаются простыми элементами. В $Z [\sqrt -5]$ , например, идеал $(2, 1 + \sqrt -5)$ является простым идеалом, который не может быть порожден одним элементом.

Исторически идея разложения идеалов на простые идеалы предшествовала введению Эрнстом Куммером идеальных чисел. Это числа, лежащие в поле расширения $E$ поля $K.$ Это поле расширения теперь известно как поле классов Гильберта. По теореме о главном идеале каждый простой идеал $O$ порождает главный идеал кольца целых чисел $E.$ Генератор этого главного идеала называется идеальным числом. Куммер использовал их в качестве замены неудачной однозначной факторизации в циклотомических полях . В конечном итоге это привело Ричарда Дедекинда к введению предшественника идеалов и доказательству однозначной факторизации идеалов.

Идеал, который является простым в кольце целых чисел в одном числовом поле, может не быть простым при расширении на большее числовое поле. Рассмотрим, например, простые числа. Соответствующие идеалы $p Z$ являются простыми идеалами кольца $Z$ . Однако, когда этот идеал расширяется до гауссовских целых чисел для получения $p Z [i]$ , он может быть или не быть простым. Например, факторизация $2 = (1 + i)(1 - i)$ подразумевает, что

2\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z} [i]\cdot (1-i)\mathbf {Z} [i]=((1+i)\mathbf {Z} [i])^{2};

заметьте, что поскольку $1 + i = (1 - i) \cdot i$ , идеалы, порожденные $1 + i$ и $1 - i ,$ одинаковы. Полный ответ на вопрос о том, какие идеалы остаются простыми в гауссовых целых числах, дает теорема Ферма о суммах двух квадратов . Она подразумевает, что для нечетного простого числа $p$ , $p Z [i]$ является простым идеалом, если $p \equiv 3 (mod 4),$ и не является простым идеалом, если $p \equiv 1 (mod 4)$ . Это, вместе с наблюдением, что идеал $(1 + i) Z [i]$ является простым, дает полное описание простых идеалов в гауссовых целых числах. Обобщение этого простого результата на более общие кольца целых чисел является основной проблемой в алгебраической теории чисел. Теория полей классов достигает этой цели, когда K является абелевым расширением Q ( то есть расширением Галуа с абелевой группой Галуа).

Идеальная классная группа

Уникальная факторизация не выполняется тогда и только тогда, когда существуют простые идеалы, которые не являются главными. Объект, который измеряет неспособность простых идеалов быть главными, называется группой классов идеалов. Определение группы классов идеалов требует расширения множества идеалов в кольце алгебраических целых чисел так, чтобы они допускали групповую структуру. Это делается путем обобщения идеалов до дробных идеалов . Дробный идеал — это аддитивная подгруппа $J$ группы $K$ , которая замкнута относительно умножения на элементы из $O$ , что означает, что $xJ \subseteq J,$ если $x \in O.$ Все идеалы из $O$ также являются дробными идеалами. Если $I$ и $J$ являются дробными идеалами, то множество $IJ$ всех произведений элемента из $I$ и элемента из $J$ также является дробным идеалом. Эта операция превращает множество ненулевых дробных идеалов в группу. Групповое тождество — это идеал $(1) = O$ , а обратный к $J$ — это (обобщенный) идеальный фактор :

J^{-1}=(O:J)=\{x\in K:xJ\subseteq O\}.

Главные дробные идеалы, то есть идеалы вида $Ox$ , где $x \in K \times$ , образуют подгруппу группы всех ненулевых дробных идеалов. Фактор группы ненулевых дробных идеалов по этой подгруппе является группой классов идеалов. Два дробных идеала $I$ и $J$ представляют один и тот же элемент группы классов идеалов тогда и только тогда, когда существует элемент $x \in K$ такой, что $xI = J$ . Следовательно, группа классов идеалов делает два дробных идеала эквивалентными, если один из них настолько же близок к главному, насколько и другой. Группа классов идеалов обычно обозначается $Cl K$ , $Cl O$ или $Pic O$ (последнее обозначение отождествляет ее с группой Пикара в алгебраической геометрии).

Число элементов в группе классов называется числом классов K. Число классов $Q (\sqrt -5)$ равно 2. Это означает, что существует только два класса идеалов: класс главных дробных идеалов и класс неглавного дробного идеала, такого как $(2, 1 + \sqrt -5)$ .

Группа классов идеалов имеет другое описание в терминах делителей . Это формальные объекты, которые представляют возможные факторизации чисел. Группа делителей $Div K$ определяется как свободная абелева группа, порожденная простыми идеалами $O$ . Существует гомоморфизм групп из $K \times$ , ненулевых элементов $K$ с точностью до умножения, в $Div K$ . Предположим, что $x \in K$ удовлетворяет

(x)={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{t}^{e_{t}}.

Тогда $div x$ определяется как делитель

\operatorname {div} x=\sum _{i=1}^{t}e_{i}[{\mathfrak {p}}_{i}].

Ядро div $—$ это группа единиц в $O$ , а коядро — это идеальная группа классов. На языке гомологической алгебры это говорит о том , что существует точная последовательность абелевых групп (записанная мультипликативно),

1\to O^{\times }\to K^{\times }{\xrightarrow {\text{div}}}\operatorname {Div} K\to \operatorname {Cl} K\to 1.

Действительные и комплексные вложения

Некоторые числовые поля, такие как $Q (\sqrt 2)$ , могут быть определены как подполя действительных чисел. Другие, такие как $Q (\sqrt -1)$ , не могут. Абстрактно, такая спецификация соответствует гомоморфизму поля $K \to R$ или $K \to C$ . Они называются действительными вложениями и комплексными вложениями соответственно.

Действительное квадратичное поле $Q (\sqrt a)$ , где $a \in Q, a > 0$ , и $a$ не является полным квадратом , так называется потому, что оно допускает два действительных вложения, но не комплексных вложений. Это гомоморфизмы полей, которые переводят $\sqrt a$ в $\sqrt a$ и в $-\sqrt a$ , соответственно. Двойственно, мнимое квадратичное поле $Q (\sqrt - a)$ не допускает действительных вложений, но допускает сопряженную пару комплексных вложений. Одно из этих вложений переводит $\sqrt - a$ в $\sqrt - a$ , в то время как другое переводит его в его комплексно сопряженное , $-\sqrt - a$ .

Обычно число действительных вложений $K$ обозначается $r 1$ , а число сопряженных пар комплексных вложений обозначается $r 2$ . Сигнатура K — это пара $($ $r$ $1$ $,$ $r$ $2$ $)$ . Теорема гласит, что $r$ $1$ $+ 2$ $r$ $2$ $=$ $d$ , где $d$ — степень $K$ .

Рассмотрение всех вложений одновременно определяет функцию , или, что эквивалентно, Это называется вложением Минковского . $M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {C} ^{r_{2}}$ $M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {R} ^{2r_{2}}.$

Подпространство области значений, зафиксированное комплексным сопряжением, является вещественным векторным пространством размерности $d,$ называемым пространством Минковского . Поскольку вложение Минковского определяется полевыми гомоморфизмами, умножение элементов $K$ на элемент $x \in K$ соответствует умножению на диагональную матрицу во вложении Минковского. Скалярное произведение в пространстве Минковского соответствует следовой форме . $\langle x,y\rangle =\operatorname {Tr} (xy)$

Образ $O$ при вложении Минковского представляет собой $d$ -мерную решетку . Если $B$ $является$ базисом этой решетки, то $det B T B$ является дискриминантом O. Дискриминант обозначается $Δ$ или $D.$ Кообъем образа $O$ равен . ${\sqrt {|\Delta |}}$

Места

Действительные и комплексные вложения можно поставить на ту же основу, что и простые идеалы, приняв перспективу, основанную на оценках . Рассмотрим, например, целые числа. В дополнение к обычной функции абсолютного значения |·| : Q → R , существуют p-адические функции абсолютного значения |·| _p : Q → R , определенные для каждого простого числа p , которые измеряют делимость на p . Теорема Островского утверждает, что это все возможные функции абсолютного значения на Q (с точностью до эквивалентности). Следовательно, абсолютные значения являются общим языком для описания как действительного вложения Q, так и простых чисел.

Место алгебраического числового поля — это класс эквивалентности функций абсолютного значения на K. Существует два типа мест. Существует -адическое абсолютное значение для каждого простого идеала O , и, как и p -адические абсолютные значения, оно измеряет делимость. Они называются конечными местами . Другой тип места определяется с помощью действительного или комплексного вложения K и стандартной функции абсолютного значения на R или C. Это бесконечные места . Поскольку абсолютные значения не способны отличить комплексное вложение от его сопряженного, комплексное вложение и его сопряженное определяют одно и то же место. Следовательно, существует $r$ $1$ действительное место и $r$ $2$ комплексное место. Поскольку места охватывают простые числа, места иногда называют простыми числами . Когда это сделано, конечные места называются конечными простыми числами , а бесконечные места называются бесконечными простыми числами . Если $v$ — оценка, соответствующая абсолютному значению, то часто пишут , что $v$ — бесконечное место, и что это конечное место. ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$ $v\mid \infty$ $v\nmid \infty$

Рассмотрение всех мест поля вместе дает кольцо аделя числового поля. Кольцо аделя позволяет одновременно отслеживать все доступные данные с использованием абсолютных значений. Это дает значительные преимущества в ситуациях, когда поведение в одном месте может влиять на поведение в других местах, как в законе взаимности Артина .

Геометрически расположенные в бесконечности

Существует геометрическая аналогия для мест на бесконечности, которая справедлива для полей функций кривых. Например, пусть и будет гладкой , проективной , алгебраической кривой . Поле функций имеет много абсолютных значений или мест, и каждое соответствует точке на кривой. Если является проективным пополнением аффинной кривой , то точки в соответствуют местам на бесконечности. Тогда пополнение в одной из этих точек дает аналог -адики . $k=\mathbb {F} _{q}$ $X/k$ $F=k(X)$ $X$ ${\hat {X}}\subset \mathbb {A} ^{n}$ $X-{\hat {X}}$ $F$ $p$

Например, если то его функциональное поле изоморфно , где — неопределенность, а поле — поле дробей многочленов от . Тогда место в точке измеряет порядок обращения в нуль или порядок полюса дроби многочленов в точке . Например, если , так что на аффинной карте это соответствует точке , оценка измеряет порядок обращения в нуль минус порядок обращения в нуль в . Функциональное поле завершения в месте равно тогда что является полем степенных рядов по переменной , так что элемент имеет вид $X=\mathbb {P} ^{1}$ $k(t)$ $t$ $F$ $t$ $v_{p}$ $p\in X$ $p(x)/q(x)$ $p$ $p=[2:1]$ $x_{1}\neq 0$ $2\in \mathbb {A} ^{1}$ $v_{2}$ $p(x)$ $q(x)$ $2$ $v_{2}$ $k((t-2))$ $t-2$

${\begin{aligned}&a_{-k}(t-2)^{-k}+\cdots +a_{-1}(t-2)^{-1}+a_{0}+a_{1}(t-2)+a_{2}(t-2)^{2}+\cdots \\&=\sum _{n=-k}^{\infty }a_{n}(t-2)^{n}\end{aligned}}$

для некоторых . Для места на бесконечности это соответствует полю функций , которые являются степенными рядами вида $k\in \mathbb {N}$ $k((1/t))$

$\sum _{n=-k}^{\infty }a_{n}(1/t)^{n}$

Единицы

Целые числа имеют только две единицы, $1$ и $-1$ . Другие кольца целых чисел могут допускать больше единиц. Гауссовы целые числа имеют четыре единицы, предыдущие две, а также $\pm i$ . Целые числа Эйзенштейна $Z [exp(2π i / 3)]$ имеют шесть единиц. Целые числа в действительных квадратичных числовых полях имеют бесконечно много единиц. Например, в $Z [\sqrt 3]$ каждая степень $2 + \sqrt 3$ является единицей, и все эти степени различны.

В общем случае группа единиц $O$ , обозначаемая $O \times$ , является конечно порожденной абелевой группой. Следовательно, фундаментальная теорема о конечно порожденных абелевых группах подразумевает, что она является прямой суммой торсионной части и свободной части. Переосмысливая это в контексте числового поля, торсионная часть состоит из корней из единицы, которые лежат в $O$ . Эта группа является циклической. Свободная часть описывается теоремой Дирихле о единицах . Эта теорема гласит, что ранг свободной части равен $r 1 + r 2 - 1$ . Так, например, единственными полями, для которых ранг свободной части равен нулю, являются $Q$ и мнимые квадратичные поля. Более точное утверждение, дающее структуру O ^× ⊗ _Z Q как модуля Галуа для группы Галуа K / Q , также возможно. ^[14]

Свободную часть единичной группы можно изучить, используя бесконечные места $K.$ Рассмотрим функцию

{\begin{cases}L:K^{\times }\to \mathbf {R} ^{r_{1}+r_{2}}\\L(x)=(\log |x|_{v})_{v}\end{cases}}

где $v$ варьируется по бесконечным позициям $K$ и |·| _v — абсолютное значение, связанное с $v$ . Функция $L$ — гомоморфизм из $K \times$ в действительное векторное пространство. Можно показать, что образ $O \times$ — это решетка, охватывающая гиперплоскость, определяемую соотношением Кообъем этой решетки — регулятор числового поля. Одно из упрощений, ставших возможными благодаря работе с кольцом аделей, заключается в том, что существует один объект, группа классов иделей , которая описывает как фактор по этой решетке, так и группу классов идеалов. $x_{1}+\cdots +x_{r_{1}+r_{2}}=0.$

Дзета-функция

Дзета -функция Дедекинда числового поля, аналогичная дзета-функции Римана , является аналитическим объектом, описывающим поведение простых идеалов в $K.$ Когда $K$ является абелевым расширением $Q$ , дзета-функции Дедекинда являются произведениями L-функций Дирихле , причем для каждого характера Дирихле имеется один множитель . Тривиальный характер соответствует дзета-функции Римана. Когда $K$ является расширением Галуа , дзета-функция Дедекинда является L-функцией Артина регулярного представления группы Галуа $K$ и имеет факторизацию в терминах неприводимых представлений Артина группы Галуа.

Дзета-функция связана с другими инвариантами, описанными выше, формулой числа классов .

Местные поля

Заполнение числового поля K в месте w дает полное поле . Если оценка архимедова, получаем R или C , если она неархимедова и лежит над простым числом p рациональных чисел, получаем конечное расширение — полное дискретно значащее поле с конечным полем вычетов. Этот процесс упрощает арифметику поля и позволяет проводить локальное изучение проблем. Например, теорему Кронекера–Вебера можно легко вывести из аналогичного локального утверждения. Философия изучения локальных полей в значительной степени мотивирована геометрическими методами. В алгебраической геометрии принято изучать многообразия локально в точке путем локализации до максимального идеала. Затем глобальную информацию можно восстановить, склеив локальные данные. Этот дух принят в алгебраической теории чисел. Если задано простое число в кольце алгебраических целых чисел в числовом поле, желательно изучать поле локально в этом простом числе. Таким образом, кольцо целых алгебраических чисел локализуется на этом простом числе, а затем дополняется поле дробей во многом в духе геометрии. $K_{w}/\mathbf {Q} _{p}:$

Основные результаты

Конечность группы классов

Один из классических результатов в алгебраической теории чисел состоит в том, что идеальная группа классов алгебраического числового поля K конечна. Это следствие теоремы Минковского , поскольку существует лишь конечное число целочисленных идеалов с нормой, меньшей фиксированного положительного целого числа ^[15] ^{стр. 78.} Порядок группы классов называется числом классов и часто обозначается буквой h .

Теорема Дирихле о единице

Теорема Дирихле о единицах дает описание структуры мультипликативной группы единиц O ^× кольца целых чисел O . В частности, она утверждает, что O ^× изоморфна G × Z ^r , где G — конечная циклическая группа, состоящая из всех корней из единицы в O , а r = r ₁ + r ₂ − 1 (где r ₁ (соответственно, r _{2 ) обозначает число действительных вложений}( соответственно, пар сопряженных недействительных вложений) группы K ). Другими словами, O ^× — конечно порождённая абелева группа ранга r ₁ + r ₂ − 1 , кручение которой состоит из корней из единицы в O .

Законы взаимности

В терминах символа Лежандра закон квадратичной взаимности для положительных нечетных простых чисел гласит:

\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.

Закон взаимности является обобщением закона квадратичной взаимности .

Существует несколько различных способов выражения законов взаимности. Ранние законы взаимности, найденные в 19 веке, обычно выражались в терминах символа степенного вычета ( p / q ), обобщающего квадратичный символ взаимности , который описывает, когда простое число является n -ным вычетом по модулю другого простого числа, и давал связь между ( p / q ) и ( q / p ). Гильберт переформулировал законы взаимности, заявив, что произведение над p символов Гильберта ( a , b / p ), принимающих значения в корнях из единицы, равно 1. Переформулированный закон взаимности Артина утверждает, что символ Артина от идеалов (или иделей) к элементам группы Галуа тривиален на определенной подгруппе. Несколько более поздних обобщений выражают законы взаимности, используя когомологии групп или представления адельных групп или алгебраических K-групп, и их связь с исходным квадратичным законом взаимности может быть трудно увидеть.

Формула номера класса

Формула числа классов связывает многие важные инварианты числового поля со специальным значением его дзета-функции Дедекинда.

Связанные области

Алгебраическая теория чисел взаимодействует со многими другими математическими дисциплинами. Она использует инструменты гомологической алгебры . По аналогии полей функций и числовых полей она опирается на методы и идеи алгебраической геометрии. Более того, изучение многомерных схем над Z вместо числовых колец называется арифметической геометрией . Алгебраическая теория чисел также используется при изучении арифметических гиперболических 3-многообразий .

Смотрите также

Примечания

↑ Старк, стр. 145–146.
↑ Aczel, стр. 14–15.
↑ Старк, стр. 44–47.
^ Гаусс, Карл Фридрих; Уотерхаус, Уильям К. (2018) [1966], Disquisitiones Arithmeticae, Springer, ISBN 978-1-4939-7560-0
^ ab Elstrodt, Jürgen (2007), «Жизнь и творчество Гюстава Лежена Дирихле (1805–1859)» (PDF) , Clay Mathematics Proceedings , архивировано из оригинала (PDF) 2021-05-22 , извлечено 2007-12-25
^ Канемицу, Сигеру; Чаохуа Цзя (2002), Методы теории чисел: будущие тенденции , Springer, стр. 271–4, ISBN 978-1-4020-1080-4
^ Рид, Констанс (1996), Гильберт , Springer , ISBN 0-387-94674-8
↑ Эта работа сделала Такаги первым японским математиком международного уровня.
^ Хассе, Хельмут (2010) [1967], «История теории полей классов», в Cassels, JWS ; Фрёлих, Альбрехт (ред.), Алгебраическая теория чисел (2-е изд.), Лондон: 9780950273426, стр. 266–279, MR 0215665
^ Сингх, Саймон (1997), Последняя теорема Ферма , Четвертое сословие, ISBN 1-85702-521-0
↑ Колата, Джина (24 июня 1993 г.). «Наконец-то крик „Эврика!“ в древней математической тайне». The New York Times . Получено 21 января 2013 г.
^ Это обозначение указывает на кольцо, полученное из Z присоединением к Z элемента i .
^ Это обозначение указывает на кольцо, полученное из Z присоединением к Z элемента $\sqrt -5$ .
^ См. предложение VIII.8.6.11 из Neukirch, Schmidt & Wingberg 2000.
^ Стайн. «Вычислительное введение в алгебраическую теорию чисел» (PDF) .

Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 0948.11001

Дальнейшее чтение

Вводные тексты

Стайн, Уильям (2012), Алгебраическая теория чисел, вычислительный подход (PDF)
Айрленд, Кеннет; Розен, Майкл (2013), Классическое введение в современную теорию чисел , т. 84, Springer, doi :10.1007/978-1-4757-2103-4, ISBN 978-1-4757-2103-4
Стюарт, Ян ; Толл, Дэвид (2015), Алгебраическая теория чисел и Великая теорема Ферма, CRC Press, ISBN 978-1-4987-3840-8

Промежуточные тексты

Маркус, Дэниел А. (2018), Числовые поля (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3-319-90233-3

Тексты для выпускников

Касселс, JWS ; Фрелих, Альбрехт , ред. (2010) [1967], Алгебраическая теория чисел (2-е изд.), Лондон: 9780950273426, MR 0215665
Фрёлих, Альбрехт ; Тейлор, Мартин Дж. (1993), Алгебраическая теория чисел , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 27, Cambridge University Press , ISBN 0-521-43834-9, МР 1215934
Ланг, Серж (1994), Алгебраическая теория чисел , Graduate Texts in Mathematics , т. 110 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94225-4, г-н 1282723
Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория теории . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Том. 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.

Внешние ссылки

Медиа, связанные с алгебраической теорией чисел на Wikimedia Commons
«Алгебраическая теория чисел», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]