Гауссова гравитационная постоянная

Константа, используемая в орбитальной механике

Карл Фридрих Гаусс представил миру свою константу в своей работе «Теория движения» 1809 года .

Открытие Пиацци Цереры , описанное в его книге «Открытие новой планеты Церера Фердинанда» , продемонстрировало полезность гауссовой гравитационной постоянной для прогнозирования положения объектов в Солнечной системе.

Гауссова гравитационная постоянная (символ k ) — параметр, используемый в орбитальной механике Солнечной системы . Она связывает орбитальный период с большой полуосью орбиты и массой вращающегося тела в солнечных массах .

Значение k исторически выражает среднюю угловую скорость системы Земля+Луна и Солнце, рассматриваемую как задача двух тел , со значением около 0,986 градуса в день , или около 0,0172 радиана в день. Как следствие закона тяготения и третьего закона Кеплера , k прямо пропорционально квадратному корню стандартного гравитационного параметра Солнца , а его значение в радианах в день следует из установки большой полуоси Земли ( астрономической единицы , а.е.) на единицу, k : (рад/д) = ( G M _☉ ) ^0,5 · а.е. ^−1,5 .

Значение k =0,017 202 098 95 рад/день было определено Карлом Фридрихом Гауссом в его работе 1809 года Theoria Motus Corporum Coelestium in Sectionibus Conicis Solem Ambientum («Теория движения небесных тел, движущихся вокруг Солнца в конических сечениях»). ^[1] Значение Гаусса было введено как фиксированное, определенное значение Международным астрономическим союзом (принято в 1938 году, формально определено в 1964 году), что отделило его от его непосредственного представления (наблюдаемой) средней угловой скорости системы Солнце–Земля. Вместо этого астрономическая единица теперь стала измеримой величиной, немного отличной от единицы. Это было полезно в небесной механике XX века для предотвращения постоянной адаптации орбитальных параметров к обновленным измеренным значениям, но это достигалось за счет интуитивности, поскольку астрономическая единица, якобы единица длины, теперь зависела от измерения величины гравитационной силы .

В 2012 году МАС отказался от определенного значения k в пользу определенного значения астрономической единицы1,495 978 707 00 × 10 ¹¹  м точно, в то время как сила гравитационной силы теперь должна быть выражена в отдельном стандартном гравитационном параметре G M _☉ , измеряемом в единицах СИ м ³ ⋅с ⁻² . ^[2]

Обсуждение

Постоянная Гаусса выводится из применения третьего закона Кеплера к системе Земля+Луна и Солнце, рассматриваемой как задача двух тел , связывая период обращения ( P ) с большой полуосью орбиты ( a ) и общей массой вращающихся тел ( M ). Ее численное значение было получено путем приравнивания большой полуоси и массы Солнца к единице и измерения периода в средних солнечных сутках:

k = 2 π √ a ³ / ( P √ M ) ≈ 0,0172021 [рад], где:

P ≈ 365,256 [дней], M = ( M _☉ + ME ₊ M _☾ ) ≈ 1,00000304 [ M _☉ ], и a = 1 по определению.

Значение представляет собой среднее угловое движение системы Земля-Солнце в радианах в день , что эквивалентно значению чуть меньше одного градуса (деление окружности на 360 градусов в вавилонской астрономии, вероятно, предназначалось для приблизительного определения количества дней в солнечном году ^[3] ). Поправка, вызванная делением на квадратный корень из M, отражает тот факт, что система Земля-Луна вращается не вокруг самого Солнца, а вокруг центра масс системы.

Сам Исаак Ньютон определил значение этой константы, которое с точностью до шести значащих цифр совпадало со значением Гаусса. ^[4] Гаусс (1809) дал значение с девятью значащими цифрами, как 3548,18761 угловых секунд .

Поскольку все задействованные параметры, орбитальный период , отношение масс Земли к Солнцу , большая полуось и продолжительность средних солнечных суток , подлежат все более точным измерениям, точное значение константы должно было бы быть пересмотрено с течением времени. Но поскольку константа участвует в определении орбитальных параметров всех других тел в Солнечной системе, было обнаружено, что более удобно установить ее на фиксированное значение, по определению, подразумевая, что значение a будет отклоняться от единицы. Фиксированное значение k = 0,01720209895 [рад] было принято равным значению, установленному Гауссом (преобразованному из градусов в радианы ), так что a = 4 π ² :( k ² P ² M ) ≈ 1. ^[5]

Таким образом, значение константы Гаусса 1809 года использовалось в качестве авторитетного опорного значения для орбитальной механики Солнечной системы в течение двух столетий. С момента его введения до 1938 года оно считалось измеряемой величиной, а с 1938 года до 2012 года оно использовалось как определяемая величина, причем неопределенность измерения была делегирована значению астрономической единицы . Определенное значение k было отменено МАС в 2012 году, и использование k было устарело, и было заменено фиксированным значением астрономической единицы и (измеренной) величиной стандартного гравитационного параметра G M _☉ .

Роль как определяющей константы динамики Солнечной системы

Сам Гаусс выразил константу в угловых секундах с девятью значащими цифрами как k = 3548″.187 61 . В конце 19 века это значение было принято и преобразовано в радианы Саймоном Ньюкомбом как k = 0,017 202 098 95 . ^[6] и константа появляется в этой форме в его Таблицах Солнца , опубликованных в 1898 году. ^[7]

Работа Ньюкомба была широко принята как лучшая из доступных на тот момент ^[8] , и его значения констант были включены в большое количество астрономических исследований. Из-за этого стало трудно отделить константы от исследований; новые значения констант, по крайней мере частично, сделали бы недействительным большой объем работы. Таким образом, после образования Международного астрономического союза в 1919 году некоторые константы постепенно стали приниматься как «фундаментальные»: определяющие константы, из которых выводятся все остальные. В 1938 году VI Генеральная ассамблея МАС заявила :

Примем за постоянную Гаусса значение

к = 0,01720 20989 50000

единица времени – средние солнечные сутки 1900,0 ^[9]

Однако никаких дальнейших усилий по установлению набора констант не было предпринято до 1950 года. ^[10] Симпозиум МАС по системе констант был проведен в Париже в 1963 году, частично в ответ на последние разработки в области исследования космоса. ^[6] В то время участники наконец решили установить согласованный набор констант. В резолюции 1 говорилось, что

Новая система должна определяться неизбыточным набором фундаментальных констант и явными связями между ними и константами, полученными из них.

Рекомендуется резолюция 4

что рабочая группа должна рассматривать следующие величины как фундаментальные константы (в смысле Резолюции № 1).

В список фундаментальных констант был включен

Гауссова постоянная гравитации, определенная VI Генеральной ассамблеей МАС в 1938 году, имеет значение 0,017202098950000. ^[6]

Эти резолюции были рассмотрены рабочей группой МАС, которая в своем отчете рекомендовала две определяющие константы, одна из которых была

Гауссова гравитационная постоянная, определяющая au       k = 0,01720209895 ^[6]

Впервые роль постоянной Гаусса в масштабах Солнечной системы была официально признана. Рекомендации рабочей группы были приняты на XII Генеральной ассамблее МАС в Гамбурге, Германия, в 1964 году. ^[11]

Определение астрономической единицы

Гаусс намеревался определить свою постоянную, используя среднее расстояние ^{[примечание 1]} Земли от Солнца, равное точно 1 астрономической единице . ^[6] С принятием резолюций 1964 года МАС, по сути, сделал наоборот: определил постоянную как фундаментальную, а астрономическую единицу как производную, при этом другие переменные в определении были уже фиксированы: масса (Солнца) и время (день86 400 секунд). Это перенесло неопределенность от гравитационной постоянной к неопределенности большой полуоси системы Земля-Солнце, которая больше не была точно одной а.е. (а.е. определялась как зависящая от значения гравитационной постоянной). Таким образом, астрономическая единица стала измеряемой величиной, а не определенной, фиксированной. ^[12]

^{В 1976 году на XVI Генеральной ассамблее в Гренобле [13]} МАС подтвердил статус гауссовой константы, объявив ее определяющей константой, и что

Астрономической единицей длины является та длина ( А ), для которой гауссова гравитационная постоянная ( k ) принимает значение0,017 202 098 95 , когда единицами измерения являются астрономические единицы длины, массы и времени. Размерности k ² соответствуют размерностям постоянной тяготения ( G ), т. е. T ⁻² L ³ M ⁻¹ . Термин «единица расстояния» также используется для длины ( A ).

Из этого определения следует, что среднее расстояние от Земли до Солнца составляет 1,000 000 03 а.е., но с учетом возмущений со стороны других планет, которые со временем не стремятся к нулю, среднее расстояние составляет 1,000 000 20 а.е. ^[6]

Оставление

В 2012 году МАС в рамках нового, самосогласованного набора единиц и числовых стандартов для использования в современной динамической астрономии переопределил астрономическую единицу следующим образом ^[14]

условная единица длины, равная149 597 870 700  м точно, ... ... учитывая, что точность современных измерений дальности делает использование соотношений расстояний ненужным

и поэтому отказался от постоянной Гаусса как косвенного определения масштаба в Солнечной системе, рекомендовав

исключить гауссову гравитационную постоянную k из системы астрономических констант.

Значение k, основанное на определенном значении астрономической единицы, теперь будет зависеть от неопределенности измерения стандартного гравитационного параметра , ${\displaystyle k={\sqrt {GM_{\odot }}}\cdot {\text{au}}^{-1.5}\cdot {\text{d}}={1.32712440018(9)}^{0.5}\cdot 1.495978707^{-1.5}\cdot 8.64\cdot 10^{-2.5}=0.0172020989484(6).}$

Единицы и размеры

k задается как безразмерная дробь порядка 1,7%, но ее можно считать эквивалентной квадратному корню из гравитационной постоянной , ^[15] в этом случае она имеет единицы измерения а.е. ^{3 ⁄ 2} ⋅d ⁻¹ ⋅ M _☉ ^{− 1 ⁄ 2} , ^[6] где

au — это расстояние , на котором k принимает свое значение, определенное Гауссом, — расстояние невозмущенной круговой орбиты гипотетического безмассового тела, орбитальный период которого равен ⁠2π/к⁠ дней, ^[12]

d — средние солнечные сутки (86 400 секунд),

M _☉ — масса Солнца .​

Следовательно, размерности k равны ^[16 ]

длина ^{3 ⁄ 2} время ⁻¹ масса ^{− 1 ⁄ 2} или L ^{3 ⁄ 2} T ⁻¹ M ^{− 1 ⁄ 2} .

Несмотря на это k известно с гораздо большей точностью, чем G (или квадратный корень из G ). Абсолютное значение G известно с точностью около 10−4 ^, но произведение G M _☉ (гравитационный параметр Солнца) известно с точностью лучше, чем ¹⁰⁻¹⁰ .

Вывод

Оригинал Гаусса

Гаусс начинает свою «Теорию движения» с изложения без доказательств нескольких законов, касающихся движения тел вокруг Солнца . ^[1] Далее в тексте он упоминает, что Пьер-Симон Лаплас подробно рассматривает их в своей «Небесной механике» . ^[17] Последние два закона Гаусса таковы:

• Площадь , ометаемая линией, соединяющей тело и Солнце, деленная на время, за которое она ометается, дает постоянное частное . Это второй закон Кеплера о движении планет .
• Квадрат этого частного пропорционален параметру (то есть latus rectum ) орбиты и сумме масс Солнца и тела. Это модифицированная форма третьего закона Кеплера .

Далее он определяет:

• 2 p как параметр (т.е. latus rectum ) орбиты тела,
• μ как масса тела, где масса Солнца = 1,
• ⁠1/2⁠ g как область, охватываемая линией, соединяющей Солнце и тело,
• t как время, за которое эта область очищается,

и заявляет, что

${\displaystyle {\frac {g}{t{\sqrt {p}}{\sqrt {1+\mu }}}}}$

является «постоянной для всех небесных тел». Он продолжает: «не имеет значения, какое тело мы используем для определения этого числа», и поэтому использует Землю, определяя

• единичное расстояние = среднее расстояние Земли (то есть ее большая полуось ) от Солнца,
• единица времени = одни солнечные сутки .

Он утверждает, что площадь, охватываемая Землей на ее орбите, «очевидно, будет» π √ p , и использует это для упрощения своей константы до

${\displaystyle {\frac {2\pi }{t{\sqrt {1+\mu }}}}.}$

Здесь он называет константу k и подставляет некоторые измеренные значения, t =365,256 3835 дней, μ = ⁠1/354 710⁠ солнечных масс, достигает результата k =0,017 202 098 95 .

В современных терминах

Гаусс известен тем, что упускает детали, и этот вывод не является исключением. Здесь он повторяется в современных терминах, дополняя некоторые детали.

Определить без доказательства

${\displaystyle h=2{\frac {dA}{dt}},}$

где ^[18]

• ⁠дА/дт⁠ - это скорость перемещения тела по своей орбите , постоянная величина согласновторому закону Кеплера , и
• h — удельный момент импульса , одна из констант движения двух тел .

Далее определить

${\displaystyle h^{2}=\mu p,}$

где ^[19]

• μ = G ( M + m ) , гравитационный параметр , ^{[примечание 2]} где
  • G — гравитационная постоянная Ньютона ,
  • M — масса первичного тела (т.е. Солнца ),
  • m — масса вторичного тела (т.е. планеты ), а
• p — полупараметр (полуширота прямой кишки ) орбиты тела.

Обратите внимание, что каждая переменная в приведенных выше уравнениях является константой для движения двух тел. Объединяя эти два определения,

${\displaystyle \left(2{\frac {dA}{dt}}\right)^{2}=G(M+m)p,}$

что Гаусс описывал последним из своих законов. Взяв квадратный корень ,

${\displaystyle 2{\frac {dA}{dt}}={\sqrt {G}}{\sqrt {M+m}}{\sqrt {p}},}$

и решение для √ G ,

${\displaystyle {\sqrt {G}}={\frac {2dA}{dt{\sqrt {M+m}}{\sqrt {p}}}}.}$

В этой точке определим k ≡ √ G . ^[2] Пусть dA будет всей площадью, охватываемой телом при его движении по орбите, следовательно, dA = π ab , площадь эллипса , где a — большая полуось , а b — малая полуось . Пусть dt = P , время, необходимое телу для завершения одного оборота. Таким образом,

${\displaystyle k={\frac {2\pi ab}{P{\sqrt {M+m}}{\sqrt {p}}}}.}$

Здесь Гаусс решает использовать Землю для решения k . Из геометрии эллипса , p = ⁠б ²/а⁠ . ^[20]   При установке большой полуоси Земли, a = 1 , p уменьшается до b ² и √ p = b . Подставляя, площадь эллипса «очевидно» равна π √ p , а не π ab . Подставляя это в числитель уравнения для k и сокращая,

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{P{\sqrt {M+m}}}}.}$

Обратите внимание, что Гаусс, нормализуя размер орбиты, полностью исключил ее из уравнения. Нормализуя далее, установим массу Солнца равной 1,

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{P{\sqrt {1+m}}}},}$

где теперь m в солнечных массах . Остаются две величины: P , период обращения Земли вокруг Земли или звездный год , величина, точно известная по измерениям на протяжении столетий, и m , масса системы Земля-Луна. Снова подставляем измеренные значения, как они были известны во времена Гаусса, P =365,256 3835 дней, м = ⁠1/354 710⁠ массы Солнца, ^{[ необходимо разъяснение ],} дающее результат k =0,017 202 098 95 .

Постоянная Гаусса и третий закон Кеплера

Постоянная Гаусса тесно связана с третьим законом Кеплера о движении планет , и одно легко выводится из другого. Начиная с полного определения постоянной Гаусса,

${\displaystyle k={\frac {2\pi ab}{P{\sqrt {M+m}}{\sqrt {p}}}},}$

где

• а — большая полуось эллиптической орбиты ,
• b — малая полуось эллиптической орбиты,
• P — орбитальный период ,
• M — масса первичного тела,
• m — масса вторичного тела, а
• p — полуширокая прямая кость эллиптической орбиты.

Из геометрии эллипса , полуширокой прямой кишки, p можно выразить через a и b следующим образом: p = ⁠б ²/а⁠ . ^[20]   Поэтому,

${\displaystyle {\sqrt {p}}={\frac {b}{\sqrt {a}}}.}$

Подставляя и сокращая, постоянная Гаусса становится

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{P}}{\sqrt {\frac {a^{3}}{M+m}}}.}$

Из орбитальной механики , ⁠2π/П⁠ — это просто n , среднее движение тела по его орбите. ^[18] Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}k&=n{\sqrt {\frac {a^{3}}{M+m}}},\\[8pt]k^{2}&={\frac {n^{2}a^{3}}{M+m}},\\[8pt]k^{2}(M+m)&=n^{2}a^{3},\end{aligned}}}$

что является определением третьего закона Кеплера. ^{[19] [21]} В этой форме его часто можно увидеть с G , ньютоновской гравитационной постоянной , вместо k ² .

При a = 1 , M = 1 , m ≪ M и n в радианах в день получаем k ≈ n , также в радианах в день, о чем см. соответствующий раздел статьи о среднем движении .

Другие определения

Значение постоянной Гаусса, в точности как он его вывел, использовалось со времен Гаусса, поскольку оно считалось фундаментальной константой, как описано выше. Солнечная масса , средние солнечные сутки и звездный год , с помощью которых Гаусс определял свою константу, медленно меняются в значении. Если современные ^{[ требуется разъяснение ]} значения были вставлены в определяющее уравнение, значениеРезультат составит 0,017 202 097 89. ^{[ сомнительно – обсудим ] [22]}

Также можно установить гравитационную постоянную, массу Солнца и астрономическую единицу на 1. Это определяет единицу времени, с которой период результирующей орбиты равен 2π . Их часто называют каноническими единицами . ^[22]

Смотрите также

• Гравитационная постоянная
• Стандартный гравитационный параметр
• Законы движения планет Кеплера
• Среднее движение

Примечания

1. Исторически ^{[ требуется ссылка ]} термин среднее расстояние использовался взаимозаменяемо с эллиптическим параметром большая полуось . Он не относится к фактическому среднему расстоянию.
2. Не путайте гравитационный параметр μ с обозначением Гаусса для массы тела.

Ссылки

1. Гаусс, Карл Фридрих; Дэвис, Чарльз Генри (1857). Теория движения небесных тел, движущихся вокруг Солнца в конических сечениях. Бостон: Little, Brown and Company. стр. 2.
2. Smart, WM (1953). Небесная механика . Лондон: Longmans, Green and Co. стр. 4.
3. Дэвид Х. Келли, Юджин Ф. Милон, Исследование древнего неба: обзор древней и культурной астрономии (2011), стр. 219
4. "Численное значение постоянной Гаусса было определено самим Ньютоном за 120 лет до Гаусса. Оно совпадает с современным значением с точностью до шести значащих цифр. Поэтому название "постоянная Гаусса" следует рассматривать как дань заслугам Гаусса перед небесной механикой в ​​целом, а не как указание на приоритет в определении численного значения постоянной тяготения, используемой в небесной механике, как иногда считается при ссылке на его работу". Сагитов (1970:713). [Это утверждение сомнительно, поскольку Сагитов не приводит ссылку на то, где Ньютон вычислил это значение.]
5. Сагитов, М. У., «Современное состояние определений гравитационной постоянной и массы Земли», Советская астрономия, т. 13 (1970), 712–718, перевод с Астрономического журнала, т. 46, № 4 (июль–август 1969), 907–915.
6. Клеменс, GM (1965). «Система астрономических констант». Annual Review of Astronomy and Astrophysics . 3 : 93. Bibcode :1965ARA&A...3...93C. doi :10.1146/annurev.aa.03.090165.000521.
7. "Принятое значение постоянной Гаусса — это значение самого Гаусса, а именно: k = 3548″.187 61 = 0.017 202 098 95 ". Ньюкомб, Саймон (1898). "I, Таблицы движения Земли по ее оси и вокруг Солнца". Астрономические документы, подготовленные для использования в Американском эфемеридном и морском альманахе. Т. VI. Бюро оборудования, Военно-морское ведомство. стр. 10.
8. de Sitter, W.; Brouwer, D. (1938). "О системе астрономических констант". Бюллетень астрономических институтов Нидерландов . 8 : 213. Bibcode :1938BAN.....8..213D.
9. «Резолюции VI Генеральной ассамблеи Международного астрономического союза, Стокгольм, 1938» (PDF) .. До 1940-х годов сама секунда определялась как часть средних солнечных суток, так что средние солнечные сутки по определению составляли 86 400 с (после переопределения секунды средние солнечные сутки стали измеряемой величиной, колеблющейся между 86 400 000 и 86 400 003 с), см. День .
10. Уилкинс, GA (1964). «Система астрономических констант. Часть I». Ежеквартальный журнал Королевского астрономического общества . 5 : 23. Bibcode : 1964QJRAS...5...23W.
11. «Резолюции XII Генеральной ассамблеи Международного астрономического союза, Гамбург, Германия, 1964» (PDF) .
12. Herrick, Samuel (1965). "Фиксация гауссовой гравитационной постоянной и соответствующей геоцентрической гравитационной постоянной". Труды симпозиума МАС № 21. 21 : 95. Bibcode : 1965IAUS...21...95H.
13. «Резолюции XVI Генеральной ассамблеи Международного астрономического союза, Гренобль, Франция, 1976» (PDF) .
14. «Резолюции XXVIII Генеральной ассамблеи Международного астрономического союза, 2012 г.» (PDF) .
15. Военно-морская обсерватория США, Управление морского альманаха; Управление морского альманаха Её Величества (1961). Пояснительное дополнение к Астрономическим эфемеридам и Американскому эфемеридному и морскому альманаху . Лондон: Управление канцелярии Её Величества. стр. 493.
16. Брауэр, Дирк; Клеменс, Джеральд М. (1961). Методы небесной механики . Нью-Йорк и Лондон: Academic Press. стр. 58.
17. Лаплас, Пьер Симон; Боудич, Натаниэль (1829). Механика Селеста. Бостон: Хиллиард, Грей, Литтл и Уилкинс.
18. Smart, WM (1977). Учебник по сферической астрономии (6-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. стр. 100. ISBN 0-521-29180-1.
19. Смарт, WM (1977). п. 101.
20. Smart, WM (1977). стр. 99.
21. Вальядо, Дэвид А. (2001). Основы астродинамики и ее применения (2-е изд.). Эль Сегундо, Калифорния: Microcosm Press. стр. 31. ISBN 1-881883-12-4.
22. Дэнби, JMA (1988). Основы небесной механики . Ричмонд, Вирджиния: Уиллманн-Белл. п. 146. ИСБН 0-943396-20-4.

Дальнейшее чтение

• Brumfiel, Geoff (14 сентября 2012 г.). "Астрономическая единица фиксируется: расстояние от Земли до Солнца меняется с скользкого уравнения на одно число". Nature . doi :10.1038/nature.2012.11416. S2CID  123424704 . Получено 14 сентября 2012 г. .
• Seares, Frederick H. (февраль 1899 г.). "Константа притяжения". Publications of the Astronomical Society of the Pacific . 11 (66): 22. Bibcode : 1899PASP...11...22S. doi : 10.1086/121298 .

Внешние ссылки

• Статья в глоссарии Гауссова гравитационная постоянная Архивировано 19 августа 2017 г. на Wayback Machine в Астрономическом альманахе Военно-морской обсерватории США в Интернете Архивировано 20 апреля 2015 г. на Wayback Machine
• Гауссова гравитационная постоянная, Wolfram ScienceWorld