Теорема Голди

Результат в теории колец

В математике теорема Голди является основным структурным результатом в теории колец , доказанным Альфредом Голди в 1950-х годах. То, что сейчас называется правым кольцом Голди , — это кольцо R , которое имеет конечную равномерную размерность (="конечный ранг" ) как правый модуль над собой и удовлетворяет условию возрастающей цепи на правых аннуляторах подмножеств R.

Теорема Голди утверждает, что полупервичные правые кольца Голди — это в точности те, которые имеют полупростое артиново правое классическое кольцо частных . Структура этого кольца частных тогда полностью определяется теоремой Артина–Веддерберна .

В частности, теорема Голди применима к полупервичным правым нётеровым кольцам , поскольку по определению правые нётеровы кольца имеют условие возрастающей цепи на всех правых идеалах. Этого достаточно, чтобы гарантировать, что право-нётерово кольцо является правым Голди. Обратное не выполняется: каждая правая область Оре является правой областью Голди, и, следовательно, таковой является каждая коммутативная целостная область .

Следствием теоремы Голди, опять же принадлежащей Голди, является то, что каждое полупервичное кольцо главных правых идеалов изоморфно конечной прямой сумме первичных колец главных правых идеалов. Каждое первичное кольцо главных правых идеалов изоморфно кольцу матриц над правым доменом Оре .

Набросок доказательства

Это набросок характеристики, упомянутой во введении. Его можно найти в (Lam 1999, стр. 324).

• Если R — полупервичное правое кольцо Голди, то оно является правым порядком в полупростом кольце:
  • Существенные правые идеалы R — это в точности те, которые содержат регулярный элемент .
  • В R нет ненулевых нуль-идеалов .
  • R — правое несингулярное кольцо . ^[1]
  • Из предыдущих наблюдений следует, что R — правое кольцо Оре , и поэтому его правое классическое кольцо частных Q ^r существует. Также из предыдущих наблюдений следует, что Q ^r — полупростое кольцо . Таким образом, R — правый порядок в Q ^r .
• Если R — правый порядок в полупростом кольце Q , то он является полупервичным правым Голди:
  • Любой правильный порядок в нётеровом кольце (например, Q ) является правильным Голди.
  • Любой правый порядок в нётеровом полупервичном кольце (таком как Q ) сам по себе является полупервичным.
  • Таким образом, R — полупростое правое число Голди.

Ссылки

1. Это можно вывести из теоремы Мьюборна и Уинтона, что если кольцо удовлетворяет максимальному условию для правых аннуляторов, то правый сингулярный идеал нильпотентен. (Lam 1999, стр. 252)

• Coutinho, SC; McConnell, JC (2003). «Поиск фактор-колец (некоммутативных нётеровых колец)». American Mathematical Monthly . 110 (4): 298–313. CiteSeerX  10.1.1.296.8947 . doi :10.2307/3647879. JSTOR  3647879.
• Goldie, AW (1958). «Структура первичных колец при условиях возрастающей цепи». Proc. London Math. Soc . 8 (4): 589–608. doi :10.1112/plms/s3-8.4.589.
• Goldie, AW (1960). «Полупервичные кольца с максимальными условиями». Proc. London Math. Soc . 10 : 201–220. doi :10.1112/plms/s3-10.1.201.
• Herstein, IN (1969). Темы в теории колец . Чикагские лекции по математике. Чикаго, Иллинойс: Chicago Univ. Pr. стр. 61–86. ISBN 978-0-226-32802-7.
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции о модулях и кольцах , Graduate Texts in Mathematics No. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, г-н  1653294

Внешние ссылки

• Страница PlanetMath о теореме Голди
• Страница PlanetMath о кольце Goldie