stringtranslate.com

Схема Горенштейна

В алгебраической геометрии схема Горенштейна — это локально нётерова схема , все локальные кольца которой являются горенштейновыми . [1] Каноническое линейное расслоение определяется для любой схемы Горенштейна над полем , и его свойства во многом такие же, как и в частном случае гладких схем .

Связанные свойства

Для схемы Горенштейна X конечного типа над полем, f : X → Spec( k ), дуализирующий комплекс f ! ( k ) на X является линейным расслоением (называемым каноническим расслоением K X ), рассматриваемым как комплекс в степени −dim( X ). [2] Если X является гладким размерности n над k , каноническое расслоение K X можно отождествить с линейным расслоением Ω n дифференциальных форм высшей степени . [3]

При использовании канонического расслоения двойственность Серра принимает ту же форму для схем Горенштейна, что и для гладких схем.

Пусть X — нормальная схема конечного типа над полем k . Тогда X регулярна вне замкнутого подмножества коразмерности не менее 2. Пусть U — открытое подмножество, где X регулярно; тогда каноническое расслоение K U является линейным расслоением. Ограничение с группы классов дивизоров Cl( X ) на Cl( U ) является изоморфизмом, и (поскольку U гладко) Cl( U ) можно отождествить с группой Пикара Pic( U ). В результате K U определяет линейный класс эквивалентности дивизоров Вейля на X . Любой такой дивизор называется каноническим дивизором K X . Для нормальной схемы X канонический дивизор K X называется Q-Картье, если некоторое положительное кратное дивизора Вейля K X является Картье . (Это свойство не зависит от выбора дивизора Вейля в его классе линейной эквивалентности.) В качестве альтернативы нормальные схемы X с K X Q -Картье иногда называются Q-Горенштейновыми .

Также полезно рассмотреть нормальные схемы X, для которых канонический делитель K X есть Картье . Такая схема иногда называется Q-Горенштейном индекса 1. (Некоторые авторы используют термин «Горенштейн» для этого свойства, но это может привести к путанице.) Нормальная схема X есть Горенштейн (как определено выше) тогда и только тогда, когда K X есть Картье, а X есть Коэн–Маколей . [4]

Примеры

Примечания

  1. ^ Коллар (2013), раздел 2.5; Проект Stacks, Тег 0AWV.
  2. ^ (Хартшорн 1966, Предложение V.9.3.)
  3. ^ (Хартшорн 1966, раздел III.1.)
  4. ^ (Коллар и Мори 1998, следствие 5.69.)
  5. ^ (Эйзенбуд 1995, Следствие 21.19.)
  6. ^ (Коллар и Мори 1998, теоремы 5.20 и 5.22.)
  7. ^ (Коллар 2013, пример 3.6.)

Ссылки

Внешние ссылки