stringtranslate.com

Навигация по дуге большого круга

Ортодромический курс, нарисованный на земном шаре

Навигация по большому кругу или ортодромическая навигация (относится к ортодромическому курсу ; от древнегреческого ορθός ( orthós )  «прямой угол» и δρόμος ( drómos )  «путь») — это практика навигации судна ( корабля или самолета ) по большому кругу . Такие маршруты обеспечивают кратчайшее расстояние между двумя точками на земном шаре. [1]

Курс

Рисунок 1. Путь по большому кругу между (φ 1 , λ 1 ) и (φ 2 , λ 2 ).

Путь большого круга может быть найден с помощью сферической тригонометрии ; это сферическая версия обратной геодезической задачи . Если навигатор начинает в P 1  = (φ 11 ) и планирует пройти по большому кругу до точки в точке P 2  = (φ 22 ) (см. рис. 1, φ — широта, положительная в направлении на север, а λ — долгота, положительная в направлении на восток), начальный и конечный курсы α 1 и α 2 задаются формулами для решения сферического треугольника

где λ 12  = λ 2  − λ 1 [примечание 1] и квадранты α 12 определяются знаками числителя и знаменателя в формулах касательных (например, с помощью функции atan2 ). Центральный угол между двумя точками, σ 12 , определяется как

[примечание 2] [примечание 3]

(Числитель этой формулы содержит величины, которые использовались для определения tan α 1 .) Расстояние вдоль большого круга тогда будет s 12  =  R σ 12 , где R — предполагаемый радиус Земли, а σ 12 выражается в радианах . Используя средний радиус Земли , R  =  R 1  ≈ 6371 км (3959 миль), получаем результаты для расстояния s 12 , которые находятся в пределах 1% от геодезической длины для эллипсоида WGS84 ; подробности см. в разделе Геодезические на эллипсоиде .

Отношение к геоцентрической системе координат

Угол положения точки t в точке s — это угол, под которым пересекаются зеленая и пунктирная большие окружности в точке s . Единичные направления u E , u N и ось вращения ω обозначены стрелками.

Подробная оценка оптимального направления возможна, если морская поверхность аппроксимируется сферической поверхностью. Стандартное вычисление помещает судно на геодезическую широту φ s и геодезическую долготу λ s , где φ считается положительным, если к северу от экватора, и где λ считается положительным, если к востоку от Гринвича . В геоцентрической системе координат с центром в центре сферы декартовы компоненты равны

и целевая позиция -

Северный полюс находится в

Минимальное расстояние d — это расстояние по большой окружности, проходящей через s и t . Оно вычисляется в плоскости, содержащей центр сферы и большую окружность ,

где θ — угловое расстояние между двумя точками, рассматриваемыми из центра сферы, измеренное в радианах . Косинус угла вычисляется путем скалярного произведения двух векторов

Если корабль направится прямо к Северному полюсу, расстояние путешествия составит

Если корабль отправляется из t и плывет прямо к Северному полюсу, расстояние путешествия составит

Вывод

Формула косинуса сферической тригонометрии [4] дает для угла p между большими окружностями, проходящими через s , которые указывают на север с одной стороны и на t с другой стороны

Формула синуса дает

Решая это уравнение относительно sin θ s,t и подставляя в предыдущую формулу, получаем выражение для тангенса позиционного угла:

Дополнительные подробности

Поскольку краткий вывод дает угол между 0 и π , который не раскрывает знак (к западу или востоку от севера?), желателен более явный вывод, который дает отдельно синус и косинус p, так что использование правильной ветви арктангенса позволяет получить угол в полном диапазоне -π≤p≤π .

Вычисление начинается с построения большого круга между s и t . Он лежит в плоскости, содержащей центр сферы, s и t , и построен путем вращения s на угол θ s,t вокруг оси ω . Ось перпендикулярна плоскости большого круга и вычисляется с помощью нормализованного векторного перекрестного произведения двух положений:

Правосторонняя наклонная система координат с центром в центре сферы задается следующими тремя осями: осью s , осью

и ось ω . Положение вдоль большого круга - это

Направление компаса задается путем вставки двух векторов s и s и вычисления градиента вектора относительно θ при θ=0 .

Угол p задается путем разбиения этого направления вдоль двух ортогональных направлений в плоскости, касательной к сфере в точке s . Два направления задаются частными производными s по φ и по λ , нормированными на единичную длину:

u N указывает на север, а u E указывает на восток в позиции s . Угол позиции p проецирует s в эти два направления,

,

где положительный знак означает, что положительные углы положения определяются как север над востоком. Значения косинуса и синуса p вычисляются путем умножения этого уравнения с обеих сторон на два единичных вектора,

Вместо вставки свернутого выражения s при оценке можно использовать тот факт, что тройное произведение инвариантно относительно циклического сдвига аргументов:

Если для вычисления значения используется atan2 , можно сократить оба выражения делением на cos φ t и умножением на sin θ s,t , поскольку эти значения всегда положительны и эта операция не меняет знаков; тогда эффективно

Поиск путевых точек

Чтобы найти путевые точки , то есть положения выбранных точек на большом круге между P 1 и P 2 , мы сначала экстраполируем большой круг обратно к его узлу A , точке, в которой большой круг пересекает экватор в северном направлении: пусть долгота этой точки будет λ 0 — см. рис. 1. Азимут в этой точке, α 0 , определяется как

[примечание 4]

Пусть угловые расстояния вдоль большого круга от A до P 1 и P 2 будут σ 01 и σ 02 соответственно. Тогда, используя правила Непера, имеем

(Если φ 1  = 0 и α 1  =  12 π, используйте σ 01  = 0).

Это дает σ 01 , откуда σ 02  = σ 01  + σ 12 .

Долгота в узле находится из

Рисунок 2. Путь большого круга между узлом (пересечением экватора) и произвольной точкой (φ,λ).

Наконец, вычислим положение и азимут в произвольной точке P (см. рис. 2) с помощью сферической версии прямой геодезической задачи . [примечание 5] Правила Непера дают

[примечание 6]

Функция atan2 должна использоваться для определения σ 01 , λ и α. Например, чтобы найти середину пути, подставьте σ =  1201  + σ 02 ); в качестве альтернативы, чтобы найти точку на расстоянии d от начальной точки, возьмите σ = σ 01  +  d / R . Аналогично, вершина , точка на большом круге с наибольшей широтой, находится путем подстановки σ = + 12 π. Может быть удобно параметризовать маршрут в терминах долготы, используя

[примечание 7]

Широты с регулярными интервалами долготы могут быть найдены, а полученные положения перенесены на карту Меркатора, что позволяет аппроксимировать большой круг серией локсодромий . Путь, определенный таким образом, дает большой эллипс, соединяющий конечные точки, при условии, что координаты интерпретируются как географические координаты на эллипсоиде.

Эти формулы применяются к сферической модели Земли. Они также используются при решении большого круга на вспомогательной сфере , которая является устройством для нахождения кратчайшего пути, или геодезической , на эллипсоиде вращения; см. статью о геодезических на эллипсоиде .

Пример

Рассчитайте маршрут по дуге большого круга от Вальпараисо , φ 1  = −33°, λ 1  = −71,6°, до Шанхая , φ 2  = 31,4°, λ 2  = 121,8°.

Формулы для курса и расстояния дают λ 12  = −166,6°, [примечание 8] α 1  = −94,41°, α 2  = −78,42° и σ 12  = 168,56°. Принимая радиус Земли равным R  = 6371 км, расстояние равно s 12  = 18743 км.

Чтобы вычислить точки вдоль маршрута, сначала найдите α 0  = −56,74°, σ 01  = −96,76°, σ 02  = 71,8°, λ 01  = 98,07° и λ 0  = −169,67°. Затем, чтобы вычислить среднюю точку маршрута (например), возьмите σ =  1201  + σ 02 ) = −12,48° и решите для φ = −6,81°, λ = −159,18° и α = −57,36°.

Если геодезическая вычисляется точно на эллипсоиде WGS84 , [5] результаты будут α 1  = −94,82°, α 2  = −78,29° и s 12  = 18752 км. Средняя точка геодезической φ = −7,07°, λ = −159,31°, α = −57,45°.

Гномоническая карта

Гномоническая карта Адмиралтейства Индийского и Южного океанов, используемая для построения траекторий большого круга

Прямая линия, нарисованная на гномонической карте , является частью большого круга. При переносе на карту Меркатора она становится кривой. Положения переносятся с удобным интервалом долготы , и этот путь наносится на карту Меркатора для навигации.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ В статье о расстояниях по большому кругу используются обозначения Δλ = λ 12 и Δσ = σ 12. Обозначения в этой статье необходимы для учета различий между другими точками, например, λ 01 .
  2. ^ Более простая формула:
    Однако это числовое выражение менее точно, если σ 12 мало.
  3. ^ Эти уравнения для α 1212 пригодны для реализации на современных калькуляторах и компьютерах. Для ручных вычислений с логарифмами обычно использовались аналогии Деламбре [2] :
    Маккоу [3] называет эти уравнения «логарифмическими», имея в виду, что все тригонометрические члены появляются как произведения; это минимизирует количество требуемых поисков в таблице. Кроме того, избыточность в этих формулах служит проверкой в ​​ручных вычислениях. При использовании этих уравнений для определения более короткого пути на большом круге необходимо убедиться, что |λ 12 | ≤ π (в противном случае будет найден более длинный путь).
  4. ^ Более простая формула:
    Однако это менее точно α 0  ≈ ± 12 π.
  5. ^ Прямая геодезическая задача, нахождение положения точки P 2 по заданным P 1 , α 1 и s 12 , также может быть решена с помощью формул для решения сферического треугольника следующим образом:
    Решение для точек маршрута, приведенное в основном тексте, является более общим, чем это решение, поскольку оно позволяет находить точки маршрута на указанных долготах. Кроме того, решение для σ (т. е. положение узла) необходимо при нахождении геодезических на эллипсоиде с помощью вспомогательной сферы.
  6. ^ Более простая формула:
    Однако это менее точно, когда φ ≈ ± 12 π
  7. ^ Используется следующее:
  8. ^ λ 12 уменьшается до диапазона [−180°, 180°] путем прибавления или вычитания 360° по мере необходимости

Ссылки

  1. ^ Адам Вайнтрит; Томаш Нойман (7 июня 2011 г.). Методы и алгоритмы в навигации: морская навигация и безопасность морских перевозок. CRC Press . стр. 139–. ISBN 978-0-415-69114-7.
  2. ^ Тодхантер, И. (1871). Сферическая тригонометрия (3-е изд.). MacMillan. стр. 26.
  3. ^ Маккоу, ГТ (1932). «Длинные линии на Земле». Обзор Империи . 1 (6): 259–263. doi :10.1179/sre.1932.1.6.259.
  4. ^ Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 4.3.149". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия "Прикладная математика". Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
  5. ^ Karney, CFF (2013). «Алгоритмы для геодезических задач». Журнал геодезии . 87 (1): 43–55. arXiv : 1109.4448 . Bibcode :2013JGeod..87...43K. doi : 10.1007/s00190-012-0578-z .

Внешние ссылки