Групповая скорость

Физическое количество

Дисперсия частот в группах гравитационных волн на поверхности глубокой воды.  красный квадрат движется с фазовой скоростью , а      зеленые кружки распространяются с групповой скоростью. В этом глубоководном случае фазовая скорость в два раза превышает групповую скорость . Красный квадрат обгоняет два зеленых круга при движении слева направо от фигуры.

Новые волны, кажется, возникают в задней части группы волн, растут по амплитуде, пока не оказываются в центре группы, и исчезают на фронте группы волн.

Для поверхностных гравитационных волн скорости частиц воды в большинстве случаев намного меньше фазовой скорости.

Распространение волнового пакета, демонстрирующего фазовую скорость, превышающую групповую скорость, без дисперсии.

Это показывает волну с групповой скоростью и фазовой скоростью, идущую в разных направлениях. ^[1] Групповая скорость положительна (т. е. огибающая волны движется вправо), а фазовая скорость отрицательна (т. е. пики и впадины движутся влево).

Групповая скорость волны — это скорость , с которой общая форма огибающей амплитуд волны, известная как модуляция или огибающая волны , распространяется в пространстве.

Например, если бросить камень в середину очень тихого пруда, в воде появится круговой узор волн со спокойным центром, также известный как капиллярная волна . Расширяющееся кольцо волн — это волновая группа или волновой пакет , внутри которого можно различить отдельные волны, движущиеся быстрее, чем группа в целом. Амплитуды отдельных волн растут по мере их выхода из заднего края группы и уменьшаются по мере приближения к переднему фронту группы.

История

Идея групповой скорости, отличной от фазовой скорости волны , была впервые предложена У. Р. Гамильтоном в 1839 году, а первое полное рассмотрение было сделано Рэлеем в его «Теории звука» в 1877 году. ^[2]

Определение и интерпретация

  Волновой пакет .

  Огибающая волнового пакета . Оболочка движется с групповой скоростью.

Групповая скорость v _g определяется уравнением: ^{[3] [4] [5] [6]}

${\displaystyle v_{\rm {g}}\ \equiv \ {\frac {\partial \omega }{\partial k}}\,}$

где ω — угловая частота волны (обычно выражается в радианах в секунду ), а k — угловое волновое число (обычно выражается в радианах на метр). Фазовая скорость равна: v _p = ω / k .

Функция ω ( k ) , которая определяет ω как функцию от k , известна как дисперсионное соотношение .

• Если ω прямо пропорциональна k , то групповая скорость в точности равна фазовой скорости. Волна любой формы будет распространяться неискаженно с этой скоростью.
• Если ω — линейная функция от k , но не прямо пропорциональная ( ω = ak + b ) , то групповая скорость и фазовая скорость различны. Огибающая волнового пакета (см. рисунок справа) будет двигаться с групповой скоростью, а отдельные пики и впадины внутри огибающей будут двигаться с фазовой скоростью.
• Если ω не является линейной функцией от k , огибающая волнового пакета будет искажаться по мере его распространения. Поскольку волновой пакет содержит диапазон разных частот (и, следовательно, разных значений k ), групповая скорость ∂ω/∂k будет разной для разных значений k . Следовательно, оболочка не движется с одной скоростью, а компоненты ее волнового числа ( k ) движутся с разными скоростями, искажая оболочку. Если волновой пакет имеет узкий диапазон частот и ω ( k ) приблизительно линейна в этом узком диапазоне, искажение импульса будет небольшим по сравнению с небольшой нелинейностью. См. дальнейшее обсуждение ниже. Например, для глубоководных гравитационных волн , , и, следовательно, v _g = v _p /2 . ${\textstyle \omega ={\sqrt {gk}}}$
  Это лежит в основе картины Кельвина для носовой волны всех кораблей и плавучих объектов. Независимо от того, насколько быстро они движутся, пока их скорость постоянна, след с каждой стороны образует угол 19,47 ° = arcsin (1/3) с линией движения. ^[7]

Вывод

Один из выводов формулы групповой скорости следующий. ^{[8] [9]}

Рассмотрим волновой пакет как функцию положения x и времени t : α ( x , t ) .

Пусть A ( k ) будет его преобразованием Фурье в момент времени t = 0 ,

${\displaystyle \alpha (x,0)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{ikx}.}$

По принципу суперпозиции волновой пакет в любой момент времени t

${\displaystyle \alpha (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(kx-\omega t)},}$

где ω неявно является функцией k .

Предположим, что волновой пакет α почти монохроматичен , так что _A ( k ) имеет резкий пик около центрального волнового числа k0 .

Тогда линеаризация дает

${\displaystyle \omega (k)\approx \omega _{0}+\left(k-k_{0}\right)\omega '_{0}}$

где

${\displaystyle \omega _{0}=\omega (k_{0})}$и ${\displaystyle \omega '_{0}=\left.{\frac {\partial \omega (k)}{\partial k}}\right|_{k=k_{0}}}$

(обсуждение этого шага см. в следующем разделе). Затем, после некоторой алгебры,

${\displaystyle \alpha (x,t)=e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\right)}\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\right)}.}$

В этом выражении есть два фактора. Первый фактор описывает идеальную монохроматическую волну с волновым вектором k ₀ с пиками и впадинами, движущимися с фазовой скоростью внутри огибающей волнового пакета. ${\displaystyle e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\right)}}$ ${\displaystyle \omega _{0}/k_{0}}$

Другой фактор,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\right)}}$,

дает огибающую волнового пакета. Эта функция конверта зависит от положения и времени только через комбинацию . ${\displaystyle (x-\omega '_{0}t)}$

Следовательно, огибающая волнового пакета движется со скоростью

${\displaystyle \omega '_{0}=\left.{\frac {d\omega }{dk}}\right|_{k=k_{0}}~,}$

что объясняет формулу групповой скорости.

Другие выражения

Для света показатель преломления n , длина волны в вакууме λ ₀ и длина волны в среде λ связаны соотношением

${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {2\pi c}{\omega }},\;\;\lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi v_{\rm {p}}}{\omega }},\;\;n={\frac {c}{v_{\rm {p}}}}={\frac {\lambda _{0}}{\lambda }},}$

где vp  =  ω / k _– фазовая скорость .

Таким образом, групповую скорость можно рассчитать по любой из следующих формул:

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\rm {g}}&={\frac {c}{n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}}}={\frac {c}{n-\lambda _{0}{\frac {\partial n}{\partial \lambda _{0}}}}}\\&=v_{\rm {p}}\left(1+{\frac {\lambda }{n}}{\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\right)=v_{\rm {p}}-\lambda {\frac {\partial v_{\rm {p}}}{\partial \lambda }}=v_{\rm {p}}+k{\frac {\partial v_{\rm {p}}}{\partial k}}.\end{aligned}}}$

Дисперсия

Искажение групп волн эффектами дисперсии более высокого порядка для поверхностных гравитационных волн на глубокой воде (при v _g = ½ v _p ).

Это показывает суперпозицию трех волновых компонентов — соответственно 22, 25 и 29 длин волн, укладывающихся в периодическую горизонтальную область длиной 2 км. Амплитуды волн составляющих составляют соответственно 1, 2 и 1 метр.

Частью предыдущего вывода является приближение ряда Тейлора , которое:

${\displaystyle \omega (k)\approx \omega _{0}+(k-k_{0})\omega '_{0}(k_{0})}$

Если волновой пакет имеет относительно большой разброс частот, или если дисперсия ω(k) имеет резкие изменения (например, из-за резонанса ), или если пакет перемещается на очень большие расстояния, это предположение неверно, и более высокий порядок члены в разложении Тейлора становятся важными.

В результате оболочка волнового пакета не только перемещается, но и искажается способом, который можно описать дисперсией групповой скорости материала . Грубо говоря, разные частотные компоненты волнового пакета движутся с разной скоростью: более быстрые компоненты движутся к передней части волнового пакета, а более медленные — к задней. В конце концов волновой пакет растягивается. Это важный эффект при распространении сигналов по оптическим волокнам и при создании мощных короткоимпульсных лазеров.

Связь с фазовой скоростью, показателем преломления и скоростью передачи

Суперпозиция одномерных плоских волн (синего цвета), каждая из которых движется с разной фазовой скоростью (отмечена синими точками), приводит к образованию гауссова волнового пакета (красного цвета), который распространяется с групповой скоростью (отмечена красной линией).

Групповая скорость совокупности волн определяется как

${\displaystyle v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}.}$

Когда несколько синусоидальных волн распространяются вместе, результирующая суперпозиция волн может привести к образованию волны «огибающей», а также волны «несущей», которая лежит внутри огибающей. Это обычно происходит в беспроводной связи, когда для отправки данных используется модуляция (изменение амплитуды и/или фазы). Чтобы получить некоторое представление об этом определении, мы рассмотрим суперпозицию (косинусных) волн f(x, t) с их соответствующими угловыми частотами и волновыми векторами.

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,t)&=\cos(k_{1}x-\omega _{1}t)+\cos(k_{2}x-\omega _{2}t)\\&=2\cos \left({\frac {(k_{2}-k_{1})x-(\omega _{2}-\omega _{1})t}{2}}\right)\cos \left({\frac {(k_{2}+k_{1})x-(\omega _{2}+\omega _{1})t}{2}}\right)\\&=2f_{1}(x,t)f_{2}(x,t).\end{aligned}}}$

Итак, мы имеем произведение двух волн: огибающей, образованной f ₁ и несущей, образованной f ₂ . Скорость огибающей волны мы называем групповой скоростью. Мы видим, что фазовая скорость f ₁ равна

${\displaystyle {\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{k_{2}-k_{1}}}.}$

В непрерывном дифференциальном случае это становится определением групповой скорости.

В контексте электромагнетики и оптики частота — это некоторая функция ω ( k ) волнового числа, поэтому в целом фазовая скорость и групповая скорость зависят от конкретной среды и частоты. Отношение между скоростью света c и фазовой скоростью vp известно как показатель преломления , n = _c / v _p = ck / ω .

Таким образом, мы можем получить другую форму групповой скорости для электромагнетизма. Записывая n = n (ω) , быстрый способ получить эту форму — наблюдать

${\displaystyle k={\frac {1}{c}}\omega n(\omega )\implies dk={\frac {1}{c}}\left(n(\omega )+\omega {\frac {\partial }{\partial \omega }}n(\omega )\right)d\omega .}$

Затем мы можем переставить приведенное выше, чтобы получить

${\displaystyle v_{g}={\frac {\partial w}{\partial k}}={\frac {c}{n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}}}.}$

Из этой формулы мы видим, что групповая скорость равна фазовой скорости только тогда, когда показатель преломления не зависит от частоты . В этом случае среду называют недисперсионной, в отличие от дисперсионной , где от частоты ω зависят различные свойства среды . Это соотношение известно как дисперсионное соотношение среды. ${\textstyle \partial n/\partial \omega =0}$ ${\displaystyle \omega (k)}$

В трех измерениях

Для волн, распространяющихся в трех измерениях, таких как световые волны, звуковые волны и волны материи, формулы для фазовой и групповой скорости обобщаются простым образом: ^[10]

• Одно измерение: ${\displaystyle v_{\rm {p}}=\omega /k,\quad v_{\rm {g}}={\frac {\partial \omega }{\partial k}},\,}$
• Три измерения: ${\displaystyle (v_{\rm {p}})_{i}={\frac {\omega }{{k}_{i}}},\quad \mathbf {v} _{\rm {g}}={\vec {\nabla }}_{\mathbf {k} }\,\omega \,}$

где

$${\displaystyle {\vec {\nabla }}_{\mathbf {k} }\,\omega }$$

градиентчастоты ωединичным векторомk ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$

Если волны распространяются через анизотропную (т. е. не вращательно-симметричную) среду, например кристалл , то вектор фазовой скорости и вектор групповой скорости могут указывать в разных направлениях.

В средствах массовой информации с потерями или прибылью

Групповую скорость часто рассматривают как скорость, с которой энергия или информация передаются по волне. В большинстве случаев это верно, и групповую скорость можно рассматривать как скорость сигнала формы волны . Однако, если волна распространяется через поглощающую или усиливающую среду, это не всегда справедливо. В этих случаях групповая скорость может не быть четко определенной величиной или не иметь значимой величины.

В своем тексте «Распространение волн в периодических структурах» ^[11] Бриллюэн утверждал, что в не чисто диссипативной среде («если происходит еще и поглощение») групповая скорость перестает иметь ясный физический смысл. Пример передачи электромагнитных волн через атомный газ приводит Лаудон. ^[12] Другим примером являются механические волны в солнечной фотосфере : волны затухают (из-за радиационного теплового потока от пиков к впадинам), и в связи с этим скорость энергии часто существенно ниже групповой скорости волн. ^[13]

Несмотря на эту неоднозначность, обычным способом распространения понятия групповой скорости на сложные среды является рассмотрение пространственно затухающих плоских волновых решений внутри среды, которые характеризуются комплексным волновым вектором. Затем мнимая часть волнового вектора произвольно отбрасывается и к действительной части волнового вектора применяется обычная формула для групповой скорости, т. е.

${\displaystyle v_{\rm {g}}=\left({\frac {\partial \left(\operatorname {Re} k\right)}{\partial \omega }}\right)^{-1}.}$

Или, что то же самое, в терминах действительной части комплексного показателя преломления n = n + iκ , имеем ^[14]

${\displaystyle {\frac {c}{v_{\rm {g}}}}=n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}.}$

Можно показать, что это обобщение групповой скорости по-прежнему связано с кажущейся скоростью пика волнового пакета. ^[15] Однако приведенное выше определение не является универсальным: в качестве альтернативы можно рассмотреть временное затухание стоячих волн (действительное k , комплексное ω ) или позволить групповой скорости быть комплексной величиной. ^{[16] [17]} Различные соображения дают разные скорости, но все определения совпадают для случая среды без потерь и без выигрыша.

Приведенное выше обобщение групповой скорости для сложных сред может вести себя странно, и пример аномальной дисперсии служит хорошей иллюстрацией. На краях области аномальной дисперсии становится бесконечной (превышая даже скорость света в вакууме) и легко может стать отрицательной (ее знак противоположен Re k ) внутри зоны аномальной дисперсии. ^{[18] [19] [20]} ${\displaystyle v_{\rm {g}}}$ ${\displaystyle v_{\rm {g}}}$

Сверхсветовые групповые скорости

С 1980-х годов различные эксперименты подтвердили, что групповая скорость (как определено выше) импульсов лазерного света, посылаемых через материалы с потерями или материалы с усилением, может значительно превышать скорость света в вакууме c . Также было замечено, что пики волновых пакетов движутся быстрее, чем c .

Однако во всех этих случаях нет никакой возможности, чтобы сигналы могли передаваться быстрее, чем скорость света в вакууме , поскольку высокое значение _vg не помогает ускорить истинное движение острого волнового фронта, которое могло бы произойти при начало любого реального сигнала. По сути, кажущееся сверхсветовым пропускание является артефактом узкополосного приближения, использованного выше для определения групповой скорости, и происходит из-за резонансных явлений в промежуточной среде. При широкополосном анализе видно, что кажущаяся парадоксальной скорость распространения огибающей сигнала на самом деле является результатом локальной интерференции более широкой полосы частот в течение многих циклов, все из которых распространяются совершенно причинно и с фазовой скоростью. Результат подобен тому, что тени могут перемещаться быстрее света, даже если вызывающий их свет всегда распространяется со скоростью света; поскольку измеряемое явление лишь слабо связано с причинностью, оно не обязательно соблюдает правила причинного распространения, даже если при нормальных обстоятельствах это происходит и приводит к общей интуиции. ^{[14] [18] [19] [21] [22]}

Смотрите также

• Распространение волн
• Дисперсия (волны на воде)
• Дисперсия (оптика)
• Скорость распространения волны
• Групповая задержка
• Разброс групповой скорости
• Дисперсия групповой задержки
• Фазовая задержка
• Фазовая скорость
• Скорость сигнала
• Медленный свет
• Скорость фронта
• Волна материи # Групповая скорость
• Солитон

Рекомендации

Примечания

1. Немировский, Джонатан; Рехтсман, Микаэль С; Сегев, Мордехай (9 апреля 2012 г.). «Отрицательное радиационное давление и отрицательный эффективный показатель преломления за счет диэлектрического двойного лучепреломления». Оптика Экспресс . 20 (8): 8907–8914. Бибкод : 2012OExpr..20.8907N. дои : 10.1364/OE.20.008907 . ПМИД  22513601.
2. Бриллюэн, Леон (1960), Распространение волн и групповая скорость , Нью-Йорк: Academic Press Inc., OCLC  537250
3. Бриллюэн, Леон (2003) [1946], Распространение волн в периодических структурах: электрические фильтры и кристаллические решетки , Дувр, с. 75, ISBN 978-0-486-49556-9
4. Лайтхилл, Джеймс (2001) [1978], Волны в жидкостях , Cambridge University Press, стр. 242, ISBN 978-0-521-01045-0
5. Лайтхилл (1965)
6. Хейс (1973)
7. ГБ Уизем (1974). Линейные и нелинейные волны (John Wiley & Sons Inc., 1974), стр. 409–410. Онлайн-сканирование.
8. Гриффитс, Дэвид Дж. (1995). Введение в квантовую механику . Прентис Холл . п. 48. ИСБН 9780131244054.
9. Дэвид К. Ферри (2001). Квантовая механика: введение для физиков-устройств и инженеров-электриков (2-е изд.). ЦРК Пресс. стр. 18–19. Бибкод : 2001qmid.book.....F. ISBN 978-0-7503-0725-3.
10. Динамика атмосферных и океанических жидкостей: основы и крупномасштабная циркуляция, Джеффри К. Валлис, стр. 239.
11. Бриллюэн, Л. (1946). Распространение волн в периодических структурах. Нью-Йорк: МакГроу Хилл. п. 75.
12. Лаудон, Р. (1973). Квантовая теория света . Оксфорд.
13. Уорролл, Г. (2012). «О влиянии радиационной релаксации на поток механико-волновой энергии в солнечной атмосфере». Солнечная физика . 279 (1): 43–52. Бибкод : 2012SoPh..279...43W. doi : 10.1007/s11207-012-9982-z. S2CID  119595058.
14. Бойд, RW; Готье, диджей (2009). «Управление скоростью световых импульсов» (PDF) . Наука . 326 (5956): 1074–7. Бибкод : 2009Sci...326.1074B. CiteSeerX 10.1.1.630.2223 . дои : 10.1126/science.1170885. PMID  19965419. S2CID  2370109. 
15. Морен, Дэвид (2009). «Дисперсия» (PDF) . люди.fas.harvard.edu . Архивировано (PDF) из оригинала 21 мая 2012 г. Проверено 11 июля 2019 г.
16. Мускетти, Л.; Дум, Коннектикут (1993). «Реальная групповая скорость в среде с диссипацией». Физика жидкостей B: Физика плазмы . 5 (5): 1383. Бибкод : 1993PhFlB...5.1383M. дои : 10.1063/1.860877.
17. Герасик, Владимир; Стастна, Марек (2010). «Комплексная групповая скорость и перенос энергии в поглощающих средах». Физический обзор E . 81 (5): 056602. Бибкод : 2010PhRvE..81e6602G. doi : 10.1103/PhysRevE.81.056602. ПМИД  20866345.
18. Доллинг, Гуннар; Энкрич, Кристиан; Вегенер, Мартин; Сукулис, Костас М.; Линден, Стефан (2006), «Одновременная отрицательная фаза и групповая скорость света в метаматериале», Science , 312 (5775): 892–894, Бибкод : 2006Sci...312..892D, doi :10.1126/science.1126021 , PMID  16690860, S2CID  29012046
19. Бигелоу, Мэтью С.; Лепешкин Ник Н.; Шин, Хидык; Бойд, Роберт В. (2006), «Распространение плавных и прерывистых импульсов через материалы с очень большими или очень малыми групповыми скоростями», Journal of Physics: Condensed Matter , 18 (11): 3117–3126, Bibcode : 2006JPCM.. .18.3117B, номер документа : 10.1088/0953-8984/18/11/017, S2CID  38556364
20. Витаячумнанкул, В.; Фишер, Б.М.; Фергюсон, Б.; Дэвис, БР; Эбботт, Д. (2010), «Систематический взгляд на распространение сверхсветовых волн», Proceedings of the IEEE , 98 (10): 1775–1786, doi : 10.1109/JPROC.2010.2052910, S2CID  15100571
21. Геринг, Джордж М.; Швайнсберг, Аарон; Барси, Кристофер; Костински, Натали; Бойд, Роберт В. (2006), «Наблюдение обратного распространения импульса через среду с отрицательной групповой скоростью», Science , 312 (5775): 895–897, Бибкод : 2006Sci...312..895G, doi : 10.1126/science.1124524, PMID  16690861, S2CID  28800603
22. Швайнсберг, А.; Лепешкин Н.Н.; Бигелоу, Миссисипи; Бойд, RW; Харабо, С. (2005), «Наблюдение сверхсветового и медленного распространения света в оптическом волокне, легированном эрбием» (PDF) , Europhysical Letters , 73 (2): 218–224, Бибкод : 2006EL.....73.. 218S, CiteSeerX 10.1.1.205.5564 , номер документа : 10.1209/epl/i2005-10371-0, S2CID  250852270 

дальнейшее чтение

• Кроуфорд-младший, Фрэнк С. (1968). Волны (Курс физики Беркли, Том 3) , McGraw-Hill, ISBN 978-0070048607 Бесплатная онлайн-версия 
• Типлер, Пол А.; Ллевелин, Ральф А. (2003), Современная физика (4-е изд.), Нью-Йорк: WH Freeman and Company, стр. 223, ISBN 978-0-7167-4345-3.
• Био, Массачусетс (1957), «Общие теоремы об эквивалентности групповой скорости и переноса энергии», Physical Review , 105 (4): 1129–1137, Бибкод : 1957PhRv..105.1129B, doi : 10.1103/PhysRev.105.1129
• Уизем, Великобритания (1961), «Групповая скорость и распространение энергии для трехмерных волн», Communications on Pure and Applied Mathematics , 14 (3): 675–691, CiteSeerX  10.1.1.205.7999 , doi : 10.1002/cpa.3160140337
• Лайтхилл, М.Дж. (1965), «Групповая скорость», Журнал прикладной математики IMA , 1 (1): 1–28, doi : 10.1093/imamat/1.1.1
• Бретертон, Флорида ; Гарретт, CJR (1968), «Волновые поезда в неоднородных движущихся средах», Труды Лондонского королевского общества , серия A, Математические и физические науки, 302 (1471): 529–554, Бибкод : 1968RSPSA.302..529B, doi :10.1098/rspa.1968.0034, S2CID  202575349
• Хейс, В.Д. (1973), «Групповая скорость и распространение волн с нелинейной дисперсией», Труды Лондонского королевского общества , серия A, Математические и физические науки, 332 (1589): 199–221, Бибкод : 1973RSPSA.332..199H , doi : 10.1098/rspa.1973.0021, S2CID  121521673
• Уизем, Великобритания (1974), Линейные и нелинейные волны , Уайли, ISBN 978-0471940906

Внешние ссылки

• У Грега Игана на веб-сайте есть отличный Java-апплет, который иллюстрирует очевидную разницу между групповой скоростью и фазовой скоростью .
• У Маартена Амбаума есть веб-страница с фильмом, демонстрирующим важность групповой скорости для развития погодных систем ниже по течению.
• Фаза и групповая скорость - различные соотношения фазовой и групповой скорости (анимация)