Теорема Хальперна–Лейхли

Результат разбиения о конечных произведениях бесконечных деревьев

В математике теорема Халперна –Лойхли является результатом разбиения о конечных произведениях бесконечных деревьев . Ее первоначальной целью было дать модель для теории множеств, в которой теорема о простом идеале Буля верна, но аксиома выбора ложна. Ее часто называют теоремой Халперна–Лойхли, но правильное приписывание теоремы, как она сформулирована ниже, — это теорема Халперна–Лойхли–Лейвера–Пинкуса или HLLP (названная в честь Джеймса Д. Халперна, Ганса Лойхли, Ричарда Лейвера и Дэвида Пинкуса), после Милликена (1979).

Пусть d , r < ω, — последовательность конечно-разветвленных деревьев высоты ω. Пусть ${\displaystyle \langle T_{i}:i\in d\rangle }$

${\displaystyle \bigcup _{n\in \omega }\left(\prod _{i<d}T_{i}(n)\right)=C_{1}\cup \cdots \cup C_{r},}$

то существует последовательность поддеревьев, сильно вложенных в , такая, что ${\displaystyle \langle S_{i}:i\in d\rangle }$ ${\displaystyle \langle T_{i}:i\in d\rangle }$

${\displaystyle \bigcup _{n\in \omega }\left(\prod _{i<d}S_{i}(n)\right)\subset C_{k}{\text{ for some }}k\leq r.}$

В качестве альтернативы, пусть

${\displaystyle S_{\langle T_{i}:i\in d\rangle }^{d}=\bigcup _{n\in \omega }\left(\prod _{i<d}T_{i}(n)\right)}$

и

${\displaystyle \mathbb {S} ^{d}=\bigcup _{\langle T_{i}:i\in d\rangle }S_{\langle T_{i}:i\in d\rangle }^{d}.}$.

Теорема HLLP утверждает, что не только разбиение коллекции является регулярным для каждого d  <  ω , но и что однородное поддерево, гарантированное теоремой, сильно вложено в ${\displaystyle \mathbb {S} ^{d}}$

${\displaystyle T=\langle T_{i}:i\in d\rangle .}$

Ссылки

• Halpern, James D.; Läuchli, Hans (1966), "Теорема о разбиении", Transactions of the American Mathematical Society , 124 : 360–367, doi : 10.1090/s0002-9947-1966-0200172-2 , MR  0200172
• Милликен, Кит Р. (1979), «Теорема Рамсея для деревьев», Журнал комбинаторной теории , Серия A, 26 (3): 215–237, doi : 10.1016/0097-3165(79)90101-8 , MR  0535155
• Милликен, Кит Р. (1981), «Теорема о разбиении для бесконечных поддеревьев дерева», Труды Американского математического общества , 263 (1): 137–148, doi : 10.1090/s0002-9947-1981-0590416-8 , MR  0590416
• Пинкус, Дэвид; Хэлперн, Джеймс Д. (1981), «Разделы произведений», Труды Американского математического общества , 267 (2): 549–568, doi : 10.1090/s0002-9947-1981-0626489-3 , MR  0626489