Преобразование Боголюбова

Математические операции в квантовой оптике, общей теории относительности и других областях физики

В теоретической физике преобразование Боголюбова , также известное как преобразование Боголюбова–Валатина , было независимо разработано в 1958 году Николаем Боголюбовым и Джоном Джорджем Валатином для нахождения решений теории БКШ в однородной системе. ^{[1] [2]} Преобразование Боголюбова является изоморфизмом либо канонической алгебры коммутационных соотношений , либо канонической алгебры антикоммутационных соотношений . Это индуцирует автоэквивалентность на соответствующих представлениях. Преобразование Боголюбова часто используется для диагонализации гамильтонианов , что дает стационарные решения соответствующего уравнения Шредингера . Преобразование Боголюбова также важно для понимания эффекта Унру , излучения Хокинга , излучения Дэвиса-Фуллинга (модель движущегося зеркала), эффектов спаривания в ядерной физике и многих других тем.

Преобразование Боголюбова часто используется для диагонализации гамильтонианов с соответствующим преобразованием функции состояния. Собственные значения оператора, вычисленные с диагонализированным гамильтонианом на преобразованной функции состояния, таким образом, остаются такими же, как и раньше.

Пример одиночной бозонной моды

Рассмотрим каноническое коммутационное соотношение для операторов рождения и уничтожения бозонов в базисе гармонического осциллятора

${\displaystyle \left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1.}$

Определить новую пару операторов

${\displaystyle {\hat {b}}=u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },}$

${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }=u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}},}$

для комплексных чисел u и v , где последнее является эрмитово сопряженным первым.

Преобразование Боголюбова — это каноническое преобразование, отображающее операторы и в и . Чтобы найти условия на константы u и v , такие, чтобы преобразование было каноническим, вычисляется коммутатор, а именно, ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {b}}}$ ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$

${\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]=\left[u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}\right]=\cdots =\left(|u|^{2}-|v|^{2}\right)\left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right].}$

Тогда очевидно, что это условие, при котором преобразование является каноническим. ${\displaystyle |u|^{2}-|v|^{2}=1}$

Поскольку форма этого условия предполагает гиперболическую тождественность

${\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1,}$

константы u и v можно легко параметризовать как

${\displaystyle u=e^{i\theta _{1}}\cosh r,}$

${\displaystyle v=e^{i\theta _{2}}\sinh r.}$

Это интерпретируется как линейное симплектическое преобразование фазового пространства . Сравнивая с разложением Блоха–Мессии , два угла и соответствуют ортогональным симплектическим преобразованиям (т.е. вращениям), а фактор сжатия соответствует диагональному преобразованию. ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle r}$

Приложения

Наиболее выдающееся применение принадлежит самому Николаю Боголюбову в контексте сверхтекучести . ^{[3] [4]} Другие приложения включают гамильтонианы и возбуждения в теории антиферромагнетизма . ^[5] При вычислении квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени определение вакуума изменяется, и возможно преобразование Боголюбова между этими различными вакуумами. Это используется при выводе излучения Хокинга . Преобразования Боголюбова также широко используются в квантовой оптике, особенно при работе с гауссовыми унитарными функциями (такими как светоделители, фазовращатели и операции сжатия).

Фермионный режим

Для антикоммутационных соотношений

${\displaystyle \left\{{\hat {a}},{\hat {a}}\right\}=0,\left\{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right\}=1,}$

преобразование Боголюбова ограничено . Поэтому единственная нетривиальная возможность соответствует взаимозамене частица-античастица (или взаимозамене частица-дырка в системах многих тел) с возможным включением фазового сдвига. Таким образом, для одной частицы преобразование может быть реализовано только (1) для фермиона Дирака , где частица и античастица различны (в отличие от фермиона Майораны или кирального фермиона ), или (2) для многофермионных систем, в которых имеется более одного типа фермионов. ${\displaystyle uv=0,|u|^{2}+|v|^{2}=1}$ ${\displaystyle u=0,|v|=1,}$

Приложения

Наиболее выдающееся применение снова принадлежит самому Николаю Боголюбову, на этот раз для теории сверхпроводимости БКШ . ^[5] [ ^{6] [7] [8]} Точка, где необходимость выполнения преобразования Боголюбова становится очевидной, заключается в том, что в приближении среднего поля гамильтониан системы может быть записан в обоих случаях как сумма билинейных членов в исходных операторах создания и уничтожения, включающих конечные члены, т. е. необходимо выйти за рамки обычного метода Хартри–Фока . В частности, в гамильтоновом формализме среднего поля Боголюбова–де Жена со сверхпроводящим спаривающим членом, таким как , преобразованные Боголюбовым операторы уничтожают и создают квазичастицы (каждая с четко определенной энергией, импульсом и спином, но в квантовой суперпозиции электронного и дырочного состояний), и имеют коэффициенты и , заданные собственными векторами матрицы Боголюбова–де Жена. Этот метод применим и в ядерной физике , поскольку он может описывать «энергию спаривания» нуклонов в тяжелом элементе. ^[9] ${\displaystyle \langle a_{i}^{+}a_{j}^{+}\rangle }$ ${\displaystyle \Delta a_{i}^{+}a_{j}^{+}+{\text{h.c.}}}$ ${\displaystyle b,b^{\dagger }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

Пример многомодового режима

Рассматриваемое гильбертово пространство снабжено этими операторами и в дальнейшем описывает многомерный квантовый гармонический осциллятор (обычно бесконечномерный).

Основное состояние соответствующего гамильтониана уничтожается всеми операторами уничтожения:

${\displaystyle \forall i\qquad a_{i}|0\rangle =0.}$

Все возбужденные состояния получаются как линейные комбинации основного состояния, возбужденного некоторыми операторами рождения :

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{i_{k}}^{\dagger }|0\rangle .}$

Операторы создания и уничтожения можно переопределить с помощью линейного переопределения:

${\displaystyle a'_{i}=\sum _{j}(u_{ij}a_{j}+v_{ij}a_{j}^{\dagger }),}$

где коэффициенты должны удовлетворять определенным правилам, чтобы гарантировать, что операторы уничтожения и операторы рождения , определяемые эрмитово сопряженным уравнением, имеют одинаковые коммутаторы для бозонов и антикоммутаторы для фермионов. ${\displaystyle u_{ij},v_{ij}}$ ${\displaystyle a_{i}^{\prime \dagger }}$

Приведенное выше уравнение определяет преобразование Боголюбова операторов.

Основное состояние, уничтоженное всеми, отличается от исходного основного состояния , и их можно рассматривать как преобразования Боголюбова друг друга с использованием соответствия оператор-состояние. Их также можно определить как сжатые когерентные состояния . Волновая функция БКШ является примером сжатого когерентного состояния фермионов. ^[10] ${\displaystyle a'_{i}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$

Единое матричное описание

Поскольку преобразования Боголюбова являются линейной рекомбинацией операторов, удобнее и нагляднее записывать их в терминах матричных преобразований. Если пара аннигиляторов преобразуется как ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}=U{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}}$

где матрица . Тогда естественно ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha ^{\dagger }\\\beta ^{\dagger }\end{pmatrix}}=U^{*}{\begin{pmatrix}a^{\dagger }\\b^{\dagger }\end{pmatrix}}}$

Для фермионных операторов требование коммутационных соотношений отражается в двух требованиях к форме матрицы ${\displaystyle U}$

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}u&v\\-v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}}$

и

${\displaystyle |u|^{2}+|v|^{2}=1}$

Для операторов бозонов коммутационные соотношения требуют

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}}$

и

${\displaystyle |u|^{2}-|v|^{2}=1}$

Эти условия можно записать единообразно как

${\displaystyle U\Gamma _{\pm }U^{\dagger }=\Gamma _{\pm }}$

где

${\displaystyle \Gamma _{\pm }={\begin{pmatrix}1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}}}$

где применяется к фермионам и бозонам соответственно. ${\displaystyle \Gamma _{\pm }}$

Диагонализация квадратичного гамильтониана с использованием матричного описания

Преобразование Боголюбова позволяет нам диагонализировать квадратичный гамильтониан

${\displaystyle {\hat {H}}={\begin{pmatrix}a^{\dagger }&b^{\dagger }\end{pmatrix}}H{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}}$

просто диагонализацией матрицы . В обозначениях выше важно различать оператор и числовую матрицу . Этот факт можно увидеть, переписав как ${\displaystyle \Gamma _{\pm }H}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

${\displaystyle {\hat {H}}={\begin{pmatrix}\alpha ^{\dagger }&\beta ^{\dagger }\end{pmatrix}}\Gamma _{\pm }U(\Gamma _{\pm }H)U^{-1}{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}}$

и тогда и только тогда, когда диагонализируется , т.е. ${\displaystyle \Gamma _{\pm }U(\Gamma _{\pm }H)U^{-1}=D}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Gamma _{\pm }H}$ ${\displaystyle U(\Gamma _{\pm }H)U^{-1}=\Gamma _{\pm }D}$

Ниже перечислены полезные свойства преобразований Боголюбова.

Смотрите также

• Преобразование Гольштейна – Примакова
• Преобразование Жордана–Вигнера
• Преобразование Джордана – Швингера
• преобразование Клейна

Ссылки

1. Валатин, Дж. Г. (март 1958 г.). «Комментарии к теории сверхпроводимости». Il Nuovo Cimento . 7 (6): 843–857. Bibcode : 1958NCim....7..843V. doi : 10.1007/bf02745589. S2CID  123486856.
2. Боголюбов, Н. Н. (март 1958). «О новом методе в теории сверхпроводимости». Иль Нуово Чименто . 7 (6): 794–805. Бибкод : 1958NCim....7..794B. дои : 10.1007/bf02745585. S2CID  120718745.
3. Н. Н. Боголюбов: К теории сверхтекучести , J. Phys. (СССР), 11, с. 23 (1947), (Изв. Акад. Наук сер. Физ. 11, с. 77 (1947)).
4. Боголюбов [так в оригинале], Н. "К теории сверхтекучести" (PDF) . Успехи физических наук . Физический институт им. П. Н. Лебедева . Получено 27 апреля 2017 г. .
5. См., например, учебник Чарльза Киттеля : Квантовая теория твердого тела , Нью-Йорк, Wiley, 1987.
6. Боболюбов, НН (1 января 1958 г.). «Новый метод в теории сверхпроводимости. I». Советская физика (СССР) ЖЭТФ . 7 (1): 41–46.
7. Боголюбов, НН (июль 1958). "Новый метод в теории сверхпроводимости III" (PDF) . Советская физика (СССР) ЖЭТФ . 34 (7): 51–55. Архивировано из оригинала (PDF) 2020-07-27 . Получено 2017-04-27 .
8. Боголюбов, НН; Толмачев, ВВ; Ширков, ДВ (ноябрь 1958). "Новый метод в теории сверхпроводимости". Fortschritte der Physik . 6 (11–12): 605–682. Bibcode :1958ForPh...6..605B. doi :10.1002/prop.19580061102.
9. Струтинский, В. М. (апрель 1967). «Оболочечные эффекты в ядерных массах и энергиях деформации». Nuclear Physics A. 95 ( 2): 420–442. Bibcode :1967NuPhA..95..420S. doi :10.1016/0375-9474(67)90510-6.
10. Svozil, K. (1990-12-24). "Сжатые фермионные состояния". Physical Review Letters . 65 (26). Американское физическое общество (APS): 3341–3343. Bibcode : 1990PhRvL..65.3341S. doi : 10.1103/physrevlett.65.3341. ISSN  0031-9007. PMID  10042844.

Дальнейшее чтение

Вся тема и множество конкретных приложений рассматриваются в следующих учебниках:

• Блезо, Ж.-П.; Рипка, Г. (1985). Квантовая теория конечных систем . MIT Press. ISBN 0-262-02214-1.
• Феттер, А.; Валецка, Дж. (2003). Квантовая теория многочастичных систем . Довер. ISBN 0-486-42827-3.
• Киттель, Ч. (1987). Квантовая теория твёрдых тел . Wiley. ISBN 0-471-62412-8.
• Вагнер, М. (1986). Унитарные преобразования в физике твердого тела . Elsevier Science. ISBN 0-444-86975-1.