Состояние Хокинса–Саймона

Результат по математической экономике о существовании неотрицательного равновесного вектора выпуска

Условие Хокинса–Саймона относится к результату в математической экономике , приписываемому Дэвиду Хокинсу и Герберту А. Саймону , ^[1] , который гарантирует существование неотрицательного выходного вектора, который решает соотношение равновесия в модели «затраты–выпуск» , где спрос равен предложению . Точнее, оно устанавливает условие, при котором система «затраты–выпуск» ${\displaystyle [\mathbf {I} -\mathbf {A} ]}$

${\displaystyle [\mathbf {I} -\mathbf {A} ]\cdot \mathbf {x} =\mathbf {d} }$

имеет решение для любого . Вот единичная матрица и называется матрицей ввода-вывода или матрицей Леонтьева в честь Василия Леонтьева , который эмпирически оценил ее в 1940-х годах. ^[2] Вместе они описывают систему, в которой ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} \geq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {d} \geq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}+d_{i}=x_{i}\quad i=1,2,\ldots ,n}$

где — количество i -го товара, используемого для производства одной единицы j - го товара, — количество произведенного j -го товара, — объем конечного спроса на товар i . Переставленное и записанное в векторной нотации, это дает первое уравнение. ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle d_{i}}$

Определим , где — матрица с . ^[3] Тогда теорема Хокинса–Саймона утверждает, что следующие два условия эквивалентны ${\displaystyle [\mathbf {I} -\mathbf {A} ]=\mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} =\left[b_{ij}\right]}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle b_{ij}\leq 0,i\neq j}$

(i) Существует такое, что . ${\displaystyle \mathbf {x} \geq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {B} \cdot \mathbf {x} >0}$

(ii) Все последовательные главные миноры положительны , то есть ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle b_{11}>0,{\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{vmatrix}}>0,\ldots ,{\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\dots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\dots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\dots &b_{nn}\end{vmatrix}}>0}$

Для доказательства см. Morishima (1964), ^[4] Nikaido (1968), ^[3] или Murata (1977). ^[5] Условие (ii) известно как условие Хокинса–Саймона . Эта теорема была независимо открыта Давидом Котелянским, ^{[6] так как} Феликс Гантмахер называет ее леммой Котелянского . ^[7]

Смотрите также

• Диагонально доминирующая матрица
• Теорема Перрона–Фробениуса
• Критерий Сильвестра

Ссылки

1. Хокинс, Дэвид; Саймон, Герберт А. (1949). «Некоторые условия макроэкономической стабильности». Econometrica . 17 (3/4): 245–248. JSTOR  1905526.
2. Леонтьев, Василий (1986). Экономика «затраты-выпуск» (2-е изд.). Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 0-19-503525-9.
3. Nikaido, Hukukane (1968). Выпуклые структуры и экономическая теория. Academic Press. С. 90–92.
4. Моришима, Мичио (1964). Равновесие, стабильность и рост: многосекторальный анализ. Лондон: Oxford University Press. С. 15–17.
5. Мурата, Ясуо (1977). Математика для устойчивости и оптимизации экономических систем. Нью-Йорк: Academic Press. С. 52–53.
6. Котелянский, Д.М. (1952). «О некоторых свойствах матриц с переменными элементами» [О некоторых свойствах матриц с положительными элементами] (PDF) . Мат. Сб. НС 31 (3): 497–506.
7. Гантмахер, Феликс (1959). Теория матриц. Т. 2. Нью-Йорк: Челси. С. 71–73.

Дальнейшее чтение

• Маккензи, Лайонел (1960). «Матрицы с доминирующими диагоналями и экономическая теория». В Arrow, Kenneth J. ; Karlin, Samuel ; Suppes, Patrick (ред.). Математические методы в социальных науках . Stanford University Press. стр. 47–62. OCLC  25792438.
• Такаяма, Акира (1985). «Теоремы Фробениуса, доминирующие диагональные матрицы и их приложения». Математическая экономика (второе изд.). Нью-Йорк: Cambridge University Press. С. 359–409.