критерий Сильвестра

Критерий положительной определенности матрицы

В математике критерий Сильвестра является необходимым и достаточным критерием для определения того, является ли эрмитова матрица положительно определенной . Он назван в честь Джеймса Джозефа Сильвестра .

Критерий Сильвестра утверждает, что эрмитова матрица M размера n × n является положительно определенной тогда и только тогда, когда все следующие матрицы имеют положительный определитель :

• верхний левый угол 1 на 1 M ,
• верхний левый угол 2х2 M ,
• верхний левый угол 3х3 M ,
• ${\displaystyle {}\quad \vdots }$
• Сам М.

Другими словами, все ведущие главные миноры должны быть положительными. Используя соответствующие перестановки строк и столбцов M , можно также показать, что положительность любой вложенной последовательности из n главных миноров M эквивалентна тому, что M является положительно определенным. ^[1]

Аналогичная теорема верна и для характеристики положительно-полуопределенных эрмитовых матриц, за исключением того, что уже недостаточно рассматривать только ведущие главные миноры: эрмитова матрица M является положительно-полуопределенной тогда и только тогда, когда все главные миноры M неотрицательны . ^{[2] [3]}

Доказательство для случая положительно определенных матриц.

Предположим, что это эрмитова матрица . Позвольте быть главными второстепенными матрицами, т.е. матрицами верхнего левого угла. Будет показано, что если положительно определен, то главные миноры положительны; то есть для всех . ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M_{n}^{\dagger }=M_{n}}$ ${\displaystyle M_{k},k=1,\ldots n}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle \det M_{k}>0}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle M_{k}}$является положительно определенным. Действительно, выбирая

${\displaystyle x=\left({\begin{array}{c}x_{1}\\\vdots \\x_{k}\\0\\\vdots \\0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}{\vec {x}}\\0\\\vdots \\0\end{array}}\right)}$

мы можем заметить, что эквивалентно, собственные значения положительны, и это означает, что, поскольку определитель является произведением собственных значений. ${\displaystyle 0<x^{\dagger }M_{n}x={\vec {x}}^{\dagger }M_{k}{\vec {x}}.}$ ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle \det M_{k}>0}$

Для доказательства обратного импликации воспользуемся индукцией . Общий вид эрмитовой матрицы: ${\displaystyle (n+1)\times (n+1)}$

${\displaystyle M_{n+1}=\left({\begin{array}{cc}M_{n}&{\vec {v}}\\{\vec {v}}^{\dagger }&d\end{array}}\right)\qquad (*)}$,

где – эрмитова матрица, – вектор, – действительная константа. ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle d}$

Предположим, что критерий справедлив для . Если предположить, что все главные миноры из положительны, то следует, что , , и это положительно определено по индуктивной гипотезе. Обозначим ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle M_{n+1}}$ ${\displaystyle \det M_{n+1}>0}$ ${\displaystyle \det M_{n}>0}$ ${\displaystyle M_{n}}$

${\displaystyle x=\left({\begin{array}{c}{\vec {x}}\\x_{n+1}\end{array}}\right)}$

затем

${\displaystyle x^{\dagger }M_{n+1}x={\vec {x}}^{\dagger }M_{n}{\vec {x}}+x_{n+1}{\vec {x}}^{\dagger }{\vec {v}}+{\bar {x}}_{n+1}{\vec {v}}^{\dagger }{\vec {x}}+d|x_{n+1}|^{2}}$

После заполнения квадратов это последнее выражение будет равно

${\displaystyle ({\vec {x}}^{\dagger }+{\vec {v}}^{\dagger }M_{n}^{-1}{\bar {x}}_{n+1})M_{n}({\vec {x}}+x_{n+1}M_{n}^{-1}{\vec {v}})-|x_{n+1}|^{2}{\vec {v}}^{\dagger }M_{n}^{-1}{\vec {v}}+d|x_{n+1}|^{2}}$

${\displaystyle =({\vec {x}}+{\vec {c}})^{\dagger }M_{n}({\vec {x}}+{\vec {c}})+|x_{n+1}|^{2}(d-{\vec {v}}^{\dagger }M_{n}^{-1}{\vec {v}})}$

где (обратите внимание, что это существует, потому что все собственные значения положительны.) Первый член положителен по индуктивному предположению. Теперь рассмотрим знак второго слагаемого. Используя формулу определителя блочной матрицы ${\displaystyle {\vec {c}}=x_{n+1}M_{n}^{-1}{\vec {v}}}$ ${\displaystyle M_{n}^{-1}}$ ${\displaystyle M_{n}}$

${\displaystyle \det \left({\begin{array}{cc}A&B\\C&D\end{array}}\right)=\det A\det(D-CA^{-1}B)}$

мы получим ${\displaystyle (*)}$

${\displaystyle \det M_{n+1}=\det M_{n}(d-{\vec {v}}^{\dagger }M_{n}^{-1}{\vec {v}})>0}$, что подразумевает . ${\displaystyle d-{\vec {v}}^{\dagger }M_{n}^{-1}{\vec {v}}>0}$

Следовательно, ${\displaystyle x^{\dagger }M_{n+1}x>0.}$

Доказательство для случая положительных полуопределенных матриц.

Пусть это эрмитова матрица размера n x n . Пусть полуопределено. По сути то же доказательство, что и для строго положительно определенного случая, показывает, что все главные миноры (не обязательно ведущие главные миноры) неотрицательны. ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle M_{n}}$

Для обратного импликации достаточно показать, что если имеет все неотрицательные главные миноры, то для всех t>0 все ведущие главные миноры эрмитовой матрицы строго положительны, где – единичная матрица n x n . Действительно, из положительно определенного случая мы бы знали, что матрицы строго положительно определенные. Поскольку предел положительно определенных матриц всегда положительно полуопределенен, можно сделать вывод. ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle M_{n}+tI_{n}}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle M_{n}+tI_{n}}$ ${\displaystyle t\to 0}$

Чтобы показать это, пусть – k- я главная главная подматрица Мы знаем, что это полином от t , связанный с характеристическим полиномом через ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle M_{n}.}$ ${\displaystyle q_{k}(t)=\det(M_{k}+tI_{k})}$ ${\displaystyle p_{M_{k}}}$

$${\displaystyle q_{k}(t)=(-1)^{k}p_{M_{k}}(-t).}$$

Характеристическом полиноме#Свойства

$${\displaystyle q_{k}(t)=\sum _{j=0}^{k}t^{k-j}\operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{j}M_{k}\right),}$$

j- ${\textstyle \operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{j}M_{k}\right)}$ ${\displaystyle M_{k}.}$

Из Minor_(linear_algebra)#Multilinear_algebra_approach мы знаем, что элементы матричного разложения (для j > 0 ) являются просто минорами В частности, диагональные элементы являются главными минорами , которые, конечно, также являются главными минорами , и поэтому неотрицательны. Поскольку след матрицы представляет собой сумму диагональных элементов, отсюда следует, что ${\displaystyle \bigwedge ^{j}M_{k}}$ ${\displaystyle M_{k}.}$ ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle M_{n}}$

$${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{j}M_{k}\right)\geq 0.}$$

j > 0.j = 0t > 0 ${\displaystyle t^{k-j}}$ ${\displaystyle q_{k}(t)}$ ${\displaystyle q_{k}(t)>0}$

Примечания

1. Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Матричный анализ , Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-38632-6. См. теорему 7.2.5.
2. Карл Д. Мейер, Матричный анализ и прикладная линейная алгебра. См. раздел 7.6 Положительно определенные матрицы , стр. 566.
3. Пруссинг, Джон Э. (1986), «Основной второстепенный тест для полуопределенных матриц» (PDF) , Journal of Guidance, Control и Dynamics , 9 (1): 121–122, Bibcode : 1986JGCD....9. .121P, doi : 10.2514/3.20077, заархивировано из оригинала (PDF) 07 января 2017 г. , получено 28 сентября 2017 г.

Рекомендации

• Гилберт, Джордж Т. (1991), «Положительно определенные матрицы и критерий Сильвестра», The American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 98 (1): 44–46, doi : 10.2307/2324036, ISSN  0002-9890, JSTOR  2324036.
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Матричный анализ , Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-38632-6. Теорема 7.2.5.
• Карл Д. Мейер (июнь 2000 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , SIAM , ISBN 0-89871-454-0.