Оператор Гильберта–Шмидта

Тема по математике

В математике оператор Гильберта–Шмидта , названный в честь Дэвида Гильберта и Эрхарда Шмидта , — это ограниченный оператор , действующий в гильбертовом пространстве и имеющий конечную норму Гильберта–Шмидта. ${\displaystyle A\colon H\to H}$ ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle \|A\|_{\operatorname {HS} }^{2}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|_{H}^{2},}$$

где — ортонормированный базис . ^{[1] [2]} Множество индексов не обязательно должно быть счетным. Однако сумма справа должна содержать не более счетного числа ненулевых членов, чтобы иметь смысл. ^[3] Это определение не зависит от выбора ортонормированного базиса. В конечномерном евклидовом пространстве норма Гильберта–Шмидта идентична норме Фробениуса . ${\displaystyle \{e_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\text{HS}}}$

‖·‖ГСхорошо определен

Норма Гильберта–Шмидта не зависит от выбора ортонормированного базиса. Действительно, если и являются такими базисами, то Если то Как и для любого ограниченного оператора, Заменяя на в первой формуле, получаем Независимость следует. ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle \{f_{j}\}_{j\in I}}$ $${\displaystyle \sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}=\sum _{i,j}\left|\langle Ae_{i},f_{j}\rangle \right|^{2}=\sum _{i,j}\left|\langle e_{i},A^{*}f_{j}\rangle \right|^{2}=\sum _{j}\|A^{*}f_{j}\|^{2}.}$$ ${\displaystyle e_{i}=f_{i},}$ ${\textstyle \sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}=\sum _{i}\|A^{*}e_{i}\|^{2}.}$ ${\displaystyle A=A^{**}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\textstyle \sum _{i}\|A^{*}e_{i}\|^{2}=\sum _{j}\|Af_{j}\|^{2}.}$

Примеры

Важный класс примеров предоставляют интегральные операторы Гильберта–Шмидта . Каждый ограниченный оператор с конечномерным диапазоном (они называются операторами конечного ранга) является оператором Гильберта–Шмидта. Тождественный оператор в гильбертовом пространстве является оператором Гильберта–Шмидта тогда и только тогда, когда гильбертово пространство конечномерно. Для любых и в , определим с помощью , который является непрерывным линейным оператором ранга 1 и, таким образом, оператором Гильберта–Шмидта; более того, для любого ограниченного линейного оператора в (и в ), . ^[4] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x\otimes y:H\to H}$ ${\displaystyle (x\otimes y)(z)=\langle z,y\rangle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} \left(A\left(x\otimes y\right)\right)=\left\langle Ax,y\right\rangle }$

Если — ограниченный компактный оператор с собственными значениями , где каждое собственное значение повторяется с той же частотой, что и его кратность, то является оператором Гильберта–Шмидта тогда и только тогда, когда , в этом случае норма Гильберта–Шмидта равна . ^[5] ${\displaystyle T:H\to H}$ ${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2},\dots }$ ${\displaystyle |T|={\sqrt {T^{*}T}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\ell _{i}^{2}<\infty }$ ${\displaystyle T}$ ${\textstyle \left\|T\right\|_{\operatorname {HS} }={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }\ell _{i}^{2}}}}$

Если , где — пространство меры, то интегральный оператор с ядром является оператором Гильберта–Шмидта и . ^[5] ${\displaystyle k\in L^{2}\left(\mu \times \mu \right)}$ ${\displaystyle \left(X,\Omega ,\mu \right)}$ ${\displaystyle K:L^{2}\left(\mu \right)\to L^{2}\left(\mu \right)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \left\|K\right\|_{\operatorname {HS} }=\left\|k\right\|_{2}}$

Пространство операторов Гильберта–Шмидта

Произведение двух операторов Гильберта–Шмидта имеет конечную норму следового класса ; следовательно, если A и B — два оператора Гильберта–Шмидта, скалярное произведение Гильберта–Шмидта можно определить как

$${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\text{HS}}=\operatorname {Tr} (A^{*}B)=\sum _{i}\langle Ae_{i},Be_{i}\rangle .}$$

Операторы Гильберта–Шмидта образуют двусторонний *-идеал в банаховой алгебре ограниченных операторов на H. Они также образуют гильбертово пространство, обозначаемое как B _HS ( H ) или B ₂ ( H ) , которое, как можно показать, естественным образом изометрически изоморфно тензорному произведению гильбертовых пространств

$${\displaystyle H^{*}\otimes H,}$$

где H ^∗ — двойственное пространство к H . Норма, индуцируемая этим скалярным произведением, — это норма Гильберта–Шмидта, при которой пространство операторов Гильберта–Шмидта является полным (тем самым превращая его в гильбертово пространство). ^[4] Пространство всех ограниченных линейных операторов конечного ранга (т.е. имеющих конечномерную область значений) является плотным подмножеством пространства операторов Гильберта–Шмидта (с нормой Гильберта–Шмидта). ^[4]

Множество операторов Гильберта–Шмидта замкнуто в топологии нормы тогда и только тогда, когда H конечномерно.

Характеристики

• Каждый оператор Гильберта–Шмидта T  : H → H является компактным оператором . ^[5]
• Ограниченный линейный оператор T  : H → H является оператором Гильберта–Шмидта тогда и только тогда, когда то же самое верно для оператора , и в этом случае нормы Гильберта–Шмидта оператора T и | T | равны. ^[5] ${\textstyle \left|T\right|:={\sqrt {T^{*}T}}}$
• Операторы Гильберта–Шмидта являются ядерными операторами второго порядка и, следовательно, компактными операторами . ^[5]
• Если и являются операторами Гильберта–Шмидта между гильбертовыми пространствами, то композиция является ядерным оператором . ^[3] ${\displaystyle S:H_{1}\to H_{2}}$ ${\displaystyle T:H_{2}\to H_{3}}$ ${\displaystyle T\circ S:H_{1}\to H_{3}}$
• Если T  : H → H — ограниченный линейный оператор, то имеем . ^[5] ${\displaystyle \left\|T\right\|\leq \left\|T\right\|_{\operatorname {HS} }}$
• T является оператором Гильберта–Шмидта тогда и только тогда, когда след неотрицательного самосопряженного оператораконечен, и в этом случае. ^{[1] [2]} ${\displaystyle \operatorname {Tr} }$ ${\displaystyle T^{*}T}$ ${\displaystyle \|T\|_{\text{HS}}^{2}=\operatorname {Tr} (T^{*}T)}$
• Если T  : H → H — ограниченный линейный оператор на H и S  : H → H — оператор Гильберта–Шмидта на H, то , , и . ^[5] В частности, композиция двух операторов Гильберта–Шмидта снова является оператором Гильберта–Шмидта (и даже оператором следового класса ). ^[5] ${\displaystyle \left\|S^{*}\right\|_{\operatorname {HS} }=\left\|S\right\|_{\operatorname {HS} }}$ ${\displaystyle \left\|TS\right\|_{\operatorname {HS} }\leq \left\|T\right\|\left\|S\right\|_{\operatorname {HS} }}$ ${\displaystyle \left\|ST\right\|_{\operatorname {HS} }\leq \left\|S\right\|_{\operatorname {HS} }\left\|T\right\|}$
• Пространство операторов Гильберта–Шмидта на H является идеалом пространства ограниченных операторов , содержащим операторы конечного ранга. ^[5] ${\displaystyle B\left(H\right)}$
• Если A — оператор Гильберта–Шмидта на H, то где — ортонормированный базис H , а — норма Шаттена для p = 2. В евклидовом пространстве также называется нормой Фробениуса . $${\displaystyle \|A\|_{\text{HS}}^{2}=\sum _{i,j}|\langle e_{i},Ae_{j}\rangle |^{2}=\|A\|_{2}^{2}}$$ ${\displaystyle \{e_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle \|A\|_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\text{HS}}}$

Смотрите также

• Внутренний продукт Фробениуса  – бинарная операция, берет две матрицы и возвращает скаляр
• Теорема Сазонова
• Класс трассировки  – Компактный оператор, для которого можно определить конечную трассировку.

Ссылки

1. Moslehian, MS «Оператор Гильберта–Шмидта (из MathWorld)».
2. Войцеховский, МИ (2001) [1994], "Оператор Гильберта-Шмидта", Энциклопедия математики , EMS Press
3. Schaefer 1999, стр. 177.
4. Conway 1990, стр. 268.
5. Конвей 1990, стр. 267.

• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Шефер, Хельмут Х. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 3. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.