Структура Ходжа

Алгебраическая структура

В математике структура Ходжа , названная в честь В. В. Д. Ходжа , является алгебраической структурой на уровне линейной алгебры , подобной той, которую теория Ходжа даёт группам когомологий гладкого и компактного кэлерова многообразия . Структуры Ходжа были обобщены для всех комплексных многообразий (даже если они являются сингулярными и неполными ) в виде смешанных структур Ходжа , определенных Пьером Делинем (1970). Разновидностью структуры Ходжа является семейство структур Ходжа, параметризованных многообразием, впервые изученное Филлипом Гриффитсом (1968). Все эти концепции были далее обобщены на смешанные модули Ходжа над комплексными многообразиями Морихико Сайто (1989).

Структуры Ходжа

Определение структур Ходжа

Чистая структура Ходжа целого веса n состоит из абелевой группы и разложения ее комплексификации в прямую сумму комплексных подпространств , где , со свойством, что комплексно сопряженное число равно : ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{p,q}}$ ${\displaystyle p+q=n}$ ${\displaystyle H^{p,q}}$ ${\displaystyle H^{q,p}}$

${\displaystyle H:=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} =\bigoplus \nolimits _{p+q=n}H^{p,q},}$

${\displaystyle {\overline {H^{p,q}}}=H^{q,p}.}$

Эквивалентное определение получается путем замены разложения прямой суммы на фильтрацию Ходжа , конечную убывающую фильтрацию на комплексные подпространства, подчиненные условию ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F^{p}H(p\in \mathbb {Z} ),}$

${\displaystyle \forall p,q\ :\ p+q=n+1,\qquad F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}}=0\quad {\text{and}}\quad F^{p}H\oplus {\overline {F^{q}H}}=H.}$

Соотношение между этими двумя описаниями выглядит следующим образом:

${\displaystyle H^{p,q}=F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}},}$

${\displaystyle F^{p}H=\bigoplus \nolimits _{i\geq p}H^{i,n-i}.}$

Например, если — компактное кэлерово многообразие , — -я когомологическая группа X с целыми коэффициентами, то — его -я когомологическая группа с комплексными коэффициентами, а теория Ходжа обеспечивает разложение в прямую сумму, как указано выше, так что эти данные определяют чистую структуру Ходжа веса . С другой стороны, спектральная последовательность Ходжа–де Рама обеспечивает убывающую фильтрацию по, как во втором определении. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }=H^{n}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H=H^{n}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H^{n}}$ ${\displaystyle F^{p}H}$

Для приложений в алгебраической геометрии, а именно, классификации комплексных проективных многообразий по их периодам , множество всех структур Ходжа веса на слишком велико. Используя билинейные соотношения Римана , в данном случае называемые билинейными соотношениями Ходжа-Римана , его можно существенно упростить. Поляризованная структура Ходжа веса n состоит из структуры Ходжа и невырожденной целочисленной билинейной формы на ( поляризации ), которая расширяется до по линейности, и удовлетворяет условиям: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle (H_{\mathbb {Z} },H^{p,q})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(\varphi ,\psi )&=(-1)^{n}Q(\psi ,\varphi )&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\psi \in H^{p',q'};\\Q(\varphi ,\psi )&=0&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\psi \in H^{p',q'},p\neq q';\\i^{p-q}Q\left(\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\ \varphi \neq 0.\end{aligned}}}$

С точки зрения фильтрации Ходжа эти условия подразумевают, что

${\displaystyle {\begin{aligned}Q\left(F^{p},F^{n-p+1}\right)&=0,\\Q\left(C\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ for }}\varphi \neq 0,\end{aligned}}}$

где — оператор Вейля на , заданный на . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C=i^{p-q}}$ ${\displaystyle H^{p,q}}$

Еще одно определение структуры Ходжа основано на эквивалентности между -градуировкой на комплексном векторном пространстве и действием группы окружности U(1) . В этом определении действие мультипликативной группы комплексных чисел, рассматриваемой как двумерный действительный алгебраический тор, дано на . ^[2] Это действие должно обладать свойством, что действительное число a действует посредством a ⁿ . Подпространство - это подпространство, на котором действует как умножение на ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{p,q}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle z^{\,p}{\bar {z}}^{\,q}.}$

А-Структура Ходжа

В теории мотивов становится важным разрешить более общие коэффициенты для когомологий. Определение структуры Ходжа модифицируется путем фиксации нётерова подкольца A поля действительных чисел , для которого есть поле. Затем чистая A -структура Ходжа веса n определяется, как и прежде, заменяя на A . Существуют естественные функторы изменения базы и ограничения, связывающие A -структуры Ходжа и B -структуры для A подкольца B . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Смешанные структуры Ходжа

Жан-Пьер Серр заметил в 1960-х годах на основе гипотез Вейля , что даже сингулярные (возможно, приводимые) и неполные алгебраические многообразия должны допускать «виртуальные числа Бетти». Точнее, можно было бы приписать любому алгебраическому многообразию X многочлен P _X ( t ), называемый его виртуальным многочленом Пуанкаре , со свойствами

• Если X невырожденный и проективный (или полный) $${\displaystyle P_{X}(t)=\sum \operatorname {rank} (H^{n}(X))t^{n}}$$
• Если Y — замкнутое алгебраическое подмножество X и U = X  \  Y $${\displaystyle P_{X}(t)=P_{Y}(t)+P_{U}(t)}$$

Существование таких многочленов следовало бы из существования аналога структуры Ходжа в когомологиях общего (сингулярного и неполного) алгебраического многообразия. Новая особенность заключается в том, что n -я когомология общего многообразия выглядит так, как если бы она содержала части разного веса. Это привело Александра Гротендика к его предполагаемой теории мотивов и мотивировало поиск расширения теории Ходжа, который достиг кульминации в работе Пьера Делиня . Он ввел понятие смешанной структуры Ходжа, разработал методы работы с ними, дал их конструкцию (основанную на разрешении особенностей Хейсукэ Хиронаки ) и связал их с весами на l-адических когомологиях , доказав последнюю часть гипотез Вейля .

Пример кривых

Чтобы мотивировать определение, рассмотрим случай приводимой комплексной алгебраической кривой X, состоящей из двух неособых компонент и , которые трансверсально пересекаются в точках и . Далее предположим, что компоненты не компактны, но могут быть компактифицированы путем добавления точек . Первая группа когомологий кривой X (с компактным носителем) является двойственной к первой группе гомологий, что проще визуализировать. В этой группе есть три типа одноциклов. Во-первых, есть элементы, представляющие малые петли вокруг проколов . Затем есть элементы , которые происходят из первых гомологий компактификации каждой из компонент. Одноцикл в ( ), соответствующий циклу в компактификации этой компоненты, не является каноническим: эти элементы определяются по модулю промежутка . Наконец, по модулю первых двух типов группа порождается комбинаторным циклом , который идет от к по пути в одном компоненте и возвращается по пути в другом компоненте . Это предполагает, что допускает возрастающую фильтрацию ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \beta _{j}}$ ${\displaystyle X_{k}\subset X}$ ${\displaystyle k=1,2}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}(X)}$

${\displaystyle 0\subset W_{0}\subset W_{1}\subset W_{2}=H^{1}(X),}$

чьи последовательные факторы W _n / W _{n −1} происходят из когомологий гладких полных многообразий, следовательно, допускают (чистые) структуры Ходжа, хотя и с разными весами. Дополнительные примеры можно найти в "A Naive Guide to Mixed Hodge Theory". ^[3]

Определение смешанной структуры Ходжа

Смешанная структура Ходжа на абелевой группе состоит из конечной убывающей фильтрации F ^p на комплексном векторном пространстве H (комплексификация ), называемой фильтрацией Ходжа , и конечной возрастающей фильтрации W _i на рациональном векторном пространстве (полученном путем расширения скаляров до рациональных чисел), называемой весовой фильтрацией , при условии, что n -ный ассоциированный градуированный фактор по отношению к весовой фильтрации вместе с фильтрацией, индуцированной F на ее комплексификации, является чистой структурой Ходжа веса n , для всех целых n . Здесь индуцированная фильтрация на ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Q} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Q} }}$

${\displaystyle \operatorname {gr} _{n}^{W}H=W_{n}\otimes \mathbb {C} /W_{n-1}\otimes \mathbb {C} }$

определяется как

${\displaystyle F^{p}\operatorname {gr} _{n}^{W}H=\left(F^{p}\cap W_{n}\otimes \mathbb {C} +W_{n-1}\otimes \mathbb {C} \right)/W_{n-1}\otimes \mathbb {C} .}$

Можно определить понятие морфизма смешанных структур Ходжа, который должен быть совместим с фильтрациями F и W, и доказать следующее:

Теорема. Смешанные структуры Ходжа образуют абелеву категорию . Ядра и коядра в этой категории совпадают с обычными ядрами и коядрами в категории векторных пространств, с индуцированными фильтрациями.

Полные когомологии компактного кэлерова многообразия имеют смешанную структуру Ходжа, где n- е пространство весовой фильтрации W _n является прямой суммой групп когомологий (с рациональными коэффициентами) степени, меньшей или равной n . Поэтому можно думать о классической теории Ходжа в компактном комплексном случае как о дающей двойную градуировку на группе комплексных когомологий, которая определяет возрастающую фильтрацию F ^p и убывающую фильтрацию W _n , которые совместимы определенным образом. В общем случае полное пространство когомологий все еще имеет эти две фильтрации, но они больше не происходят из разложения прямой суммы. В связи с третьим определением чистой структуры Ходжа можно сказать, что смешанная структура Ходжа не может быть описана с использованием действия группы Важным пониманием Делиня является то, что в смешанном случае существует более сложная некоммутативная проалгебраическая группа, которая может быть использована для того же эффекта с использованием формализма Таннакиана . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}.}$

Более того, категория (смешанных) структур Ходжа допускает хорошее понятие тензорного произведения, соответствующего произведению многообразий, а также связанные с ним понятия внутреннего Hom и дуального объекта , превращая ее в категорию Таннаки . Согласно философии Таннаки–Крейна , эта категория эквивалентна категории конечномерных представлений определенной группы, которую Делин, Милн и др. явно описали, см. Делин и Милн (1982) ^[4] и Делин (1994). Описание этой группы было переработано в более геометрических терминах Капрановым (2012). Соответствующий (гораздо более сложный) анализ для рациональных чистых поляризуемых структур Ходжа был выполнен Патрикисом (2016).

Смешанная структура Ходжа в когомологиях (теорема Делиня)

Делинь доказал, что n- я группа когомологий произвольного алгебраического многообразия имеет каноническую смешанную структуру Ходжа. Эта структура функториальна и совместима с произведениями многообразий ( изоморфизм Кюннета ) и произведением в когомологиях. Для полного неособого многообразия X эта структура чиста по весу n , и фильтрация Ходжа может быть определена через гиперкогомологии усеченного комплекса де Рама.

Доказательство состоит примерно из двух частей, заботящихся о некомпактности и сингулярностях. Обе части используют разрешение сингулярностей (благодаря Хиронаке) существенным образом. В сингулярном случае многообразия заменяются симплициальными схемами, что приводит к более сложной гомологической алгебре, и используется техническое понятие структуры Ходжа на комплексах (в отличие от когомологий).

Используя теорию мотивов , можно уточнить весовую фильтрацию на когомологиях с рациональными коэффициентами до когомологии с целыми коэффициентами. ^[5]

Примеры

• Структура Тейта –Ходжа — это структура Ходжа с базовым модулем, заданным (подгруппой ), с Поэтому она является чистой с весом −2 по определению и является единственной одномерной чистой структурой Ходжа веса −2 с точностью до изоморфизмов. В более общем случае ее n -я тензорная степень обозначается как она является одномерной и чистой с весом −2 n . ${\displaystyle \mathbb {Z} (1)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (1)\otimes \mathbb {C} =H^{-1,-1}.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (n);}$
• Когомологии компактного кэлерова многообразия имеют структуру Ходжа, а n- я группа когомологий является чистой группой веса n .
• Когомологии комплексного многообразия (возможно, сингулярного или несобственного) имеют смешанную структуру Ходжа. Это было показано для гладких многообразий Делинем (1971), Делинем (1971a) и в общем случае Делинем (1974).
• Для проективного многообразия с нормальными перекрестными сингулярностями существует спектральная последовательность с вырожденной E ₂ -страницей, которая вычисляет все ее смешанные структуры Ходжа. E ₁ -страница имеет явные члены с дифференциалом, исходящим из симплициального множества. ^[6] ${\displaystyle X}$
• Любое гладкое многообразие X допускает гладкую компактификацию с дополнением нормального перекрестного дивизора. Соответствующие логарифмические формы могут быть использованы для явного описания смешанной структуры Ходжа на когомологиях X. ^[7]
• Структура Ходжа для гладкой проективной гиперповерхности степени была явно разработана Гриффитсом в его статье "Периодические интегралы алгебраических многообразий". Если - многочлен, определяющий гиперповерхность , то градуированное кольцо факторов Якоби содержит всю информацию о средних когомологиях . Он показывает, что Например, рассмотрим поверхность K3, заданную , следовательно, и . Тогда градуированное кольцо Якоби равно Изоморфизм для примитивных групп когомологий тогда читается отсюда Обратите внимание, что - векторное пространство, натянутое на которое, является 19-мерным. Существует дополнительный вектор в , заданный классом Лефшеца . Из теоремы Лефшеца о гиперплоскости и двойственности Ходжа, остальная часть когомологий находится в , поскольку является -мерным. Следовательно, ромб Ходжа читается как ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n+1}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle R(f)={\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{0}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n+1}}}\right)}}}$$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle H^{p,n-p}(X)_{\text{prim}}\cong R(f)_{(n+1-p)d-n-2}}$$ ${\displaystyle g=x_{0}^{4}+\cdots +x_{3}^{4}}$ ${\displaystyle d=4}$ ${\displaystyle n=2}$ $${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{3},x_{1}^{3},x_{2}^{3},x_{3}^{3})}}}$$ $${\displaystyle H^{p,n-p}(X)_{prim}\cong R(g)_{(2+1-p)4-2-2}=R(g)_{4(3-p)-4}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0,2}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{8}=\mathbb {C} \cdot x_{0}^{2}x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}\\H^{1,1}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{4}\\H^{2,0}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{0}=\mathbb {C} \cdot 1\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle R(g)_{4}}$ $${\displaystyle {\begin{array}{rrrrrrrr}x_{0}^{2}x_{1}^{2},&x_{0}^{2}x_{1}x_{2},&x_{0}^{2}x_{1}x_{3},&x_{0}^{2}x_{2}^{2},&x_{0}^{2}x_{2}x_{3},&x_{0}^{2}x_{3}^{2},&x_{0}x_{1}^{2}x_{2},&x_{0}x_{1}^{2}x_{3},\\x_{0}x_{1}x_{2}^{2},&x_{0}x_{1}x_{2}x_{3},&x_{0}x_{1}x_{3}^{2},&x_{0}x_{2}^{2}x_{3},&x_{0}x_{2}x_{3}^{2},&x_{1}^{2}x_{2}^{2},&x_{1}^{2}x_{2}x_{3},&x_{1}^{2}x_{3}^{2},\\x_{1}x_{2}^{2}x_{3},&x_{1}x_{2}x_{3}^{2},&x_{2}^{2}x_{3}^{2}\end{array}}}$$ ${\displaystyle H^{1,1}(X)}$ ${\displaystyle [L]}$ ${\displaystyle H^{k,k}(X)}$ ${\displaystyle 1}$
• Мы также можем использовать предыдущий изоморфизм для проверки рода плоской кривой степени. Поскольку является гладкой кривой, а теорема Эресмана о расслоении гарантирует, что любая другая гладкая кривая рода диффеоморфна, мы имеем, что род тогда тот же самый. Таким образом, используя изоморфизм примитивных когомологий с градуированной частью кольца Якоби, мы видим, что Это подразумевает, что размерность такая, как и требовалось. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x^{d}+y^{d}+z^{d}}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle H^{1,0}\cong R(f)_{d-3}\cong \mathbb {C} [x,y,z]_{d-3}}$$ $${\displaystyle {2+d-3 \choose 2}={d-1 \choose 2}={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}}$$
• Числа Ходжа для полного пересечения также легко вычисляются: существует комбинаторная формула, найденная Фридрихом Хирцебрухом . ^[8]

Приложения

Механизм, основанный на понятиях структуры Ходжа и смешанной структуры Ходжа, является частью все еще во многом предположительной теории мотивов , разработанной Александром Гротендиком . Арифметическая информация для невырожденного алгебраического многообразия X , закодированная собственным значением элементов Фробениуса, действующих на его l-адических когомологиях , имеет нечто общее со структурой Ходжа, возникающей из X, рассматриваемого как комплексное алгебраическое многообразие. Сергей Гельфанд и Юрий Манин заметили около 1988 года в своих Методах гомологической алгебры , что в отличие от симметрий Галуа, действующих на другие группы когомологий, происхождение «симметрий Ходжа» весьма загадочно, хотя формально они выражаются через действие довольно простой группы на когомологиях де Рама. С тех пор тайна углубилась с открытием и математической формулировкой зеркальной симметрии. ${\displaystyle R_{\mathbf {C/R} }{\mathbf {C} }^{*}}$

Вариация структуры Ходжа

Вариация структуры Ходжа (Гриффитс (1968), Гриффитс (1968a), Гриффитс (1970)) — это семейство структур Ходжа, параметризованных комплексным многообразием X. Точнее, вариация структуры Ходжа веса n на комплексном многообразии X состоит из локально постоянного пучка S конечно порожденных абелевых групп на X вместе с убывающей фильтрацией Ходжа F на S ⊗ O _X , при соблюдении следующих двух условий:

• Фильтрация индуцирует структуру Ходжа веса n на каждом стебле пучка S
• ( Трансверсальность Гриффитса ) Естественная связность на S ⊗ O _X отображается в ${\displaystyle F^{n}}$ ${\displaystyle F^{n-1}\otimes \Omega _{X}^{1}.}$

Здесь естественная (плоская) связность на S ⊗ O _{X ,} индуцированная плоской связностью на S и плоской связностью d на O _X , а O _X — пучок голоморфных функций на X , а — пучок 1-форм на X . Эта естественная плоская связность является связностью Гаусса–Манина ∇ и может быть описана уравнением Пикара–Фукса . ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}}$

Аналогичным образом можно определить вариацию смешанной структуры Ходжа, добавив градуировку или фильтрацию W к S. Типичные примеры можно найти в алгебраических морфизмах . Например, ${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} \\f(x,y)=y^{6}-x^{6}\end{cases}}}$

имеет волокна

${\displaystyle X_{t}=f^{-1}(\{t\})=\left\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{6}-x^{6}=t\right\}}$

которые являются гладкими плоскими кривыми рода 10 для и вырождаются в особую кривую при Тогда пучки когомологий ${\displaystyle t\neq 0}$ ${\displaystyle t=0.}$

${\displaystyle \mathbb {R} f_{*}^{i}\left({\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {C} ^{2}}\right)}$

дают вариации смешанных структур Ходжа.

Модули Ходжа

Модули Ходжа являются обобщением вариации структур Ходжа на комплексном многообразии. Их можно неформально рассматривать как нечто вроде пучков структур Ходжа на многообразии; точное определение Saito (1989) довольно технично и сложно. Существуют обобщения на смешанные модули Ходжа и на многообразия с особенностями.

Для каждого гладкого комплексного многообразия существует абелева категория смешанных модулей Ходжа, связанная с ним. Они ведут себя формально как категории пучков над многообразиями; например, морфизмы f между многообразиями индуцируют функторы f _∗ , f* , f _! , f ^! между ( производными категориями ) смешанных модулей Ходжа, аналогичными тем, что есть для пучков.

Смотрите также

• Смешанная структура Ходжа
• гипотеза Ходжа
• Якобианский идеал
• Структура Ходжа–Тейта , p -адический аналог структур Ходжа.

Примечания

1. В терминах спектральных последовательностей, см. гомологическую алгебру , фильтрацию Ходжа можно описать следующим образом:

   ${\displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{p+q}(\operatorname {gr} _{n}^{W}H)\Rightarrow H^{p+q},}$

   используя обозначения в #Определение смешанной структуры Ходжа. Важным фактом является то, что это вырождено в члене E ¹ , что означает, что спектральная последовательность Ходжа–де Рама, а затем разложение Ходжа, зависит только от комплексной структуры, а не от метрики Кэлера на M .
2. Точнее, пусть S — двумерная коммутативная вещественная алгебраическая группа, определяемая как ограничение Вейля мультипликативной группы с на , другими словами, если A — алгебра над , то группа S ( A ) точек S со значениями A является мультипликативной группой Тогда — группа ненулевых комплексных чисел. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ;}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle A\otimes \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle S(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$
3. Дёрфи, Алан (1981). «Наивное руководство по смешанной теории Ходжа». Комплексный анализ особенностей : 48–63. hdl :2433/102472.
4. Вторая статья под названием «Таннакианские категории» Делиня и Милна была посвящена этой теме.
5. Жилле, Анри ; Суле, Кристоф (1996). «Происхождение, мотивы и К -теория». Журнал для королевы и математики . 1996 (478): 127–176. arXiv : alg-geom/9507013 . Бибкод : 1995alg.geom..7013G. дои : 10.1515/crll.1996.478.127. MR  1409056. S2CID  16441433., раздел 3.1
6. Джонс, Б.Ф., «Смешанная структура Ходжа Делиня для проективных многообразий только с нормальными особенностями пересечения» (PDF) , Рабочий семинар по теории Ходжа, весна 2005 г.
7. Николаеску, Ливиу, «Смешанные структуры Ходжа на гладких алгебраических многообразиях» (PDF) , Рабочий семинар по теории Ходжа, весна 2005 г.
8. "Ходж-ромб полных пересечений". Stack Exchange . 14 декабря 2013 г.

Вводные ссылки

• Дебарр, Оливье, Периоды и модули
• Арапура, Дону, Комплексные алгебраические многообразия и их когомологии (PDF) , стр. 120–123, архивировано из оригинала (PDF) 2020-01-04(Предоставляет инструменты для вычисления чисел Ходжа с использованием когомологий пучков)
• Наивное руководство по смешанной теории Ходжа
• Димка, Александру (1992). Особенности и топология гиперповерхностей . Universitext. Нью-Йорк: Springer-Verlag . С. 240, 261. doi :10.1007/978-1-4612-4404-2. ISBN 0-387-97709-0. MR  1194180. S2CID  117095021.(Приводит формулу и генераторы для смешанных чисел Ходжа аффинного слоя Милнора взвешенного однородного многочлена, а также формулу для дополнений взвешенных однородных многочленов во взвешенном проективном пространстве.)

Обзорные статьи

• Арапура, Дону (2006), Смешанные структуры Ходжа, связанные с геометрическими вариациями (PDF) , arXiv : math/0611837 , Bibcode : 2006math.....11837A

Ссылки

• Делинь, Пьер (1971b), Траво де Гриффитс , Сем. Бурбаки Эксп. 376, Лект. конспекты по математике. Том 180, стр. 213–235.
• Делинь, Пьер (1971), «Теория Ходжа. I» (PDF) , Actes du Congrès International des Mathématiciens (Ницца, 1970) , том. 1, Готье-Вилларс, стр. 425–430, MR  0441965, заархивировано из оригинала (PDF) 2 апреля 2015 г.Это создает смешанную структуру Ходжа на когомологиях комплексного многообразия.
• Делинь, Пьер (1971a), Теория де Ходж. II., Инст. Hautes Études Sci. Опубл. Математика. № 40, стр. 5–57, МР  0498551.Это создает смешанную структуру Ходжа на когомологиях комплексного многообразия.
• Делинь, Пьер (1974), Теория де Ходж. III., Инст. Hautes Études Sci. Опубл. Математика. № 44, стр. 5–77, МР  0498552.Это создает смешанную структуру Ходжа на когомологиях комплексного многообразия.
• Делинь, Пьер (1994), «Структуры смешанных уравнений Ходжа», Motives (Сиэтл, Вашингтон, 1991), часть 1, Труды симпозиумов по чистой математике , т. 55, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 509–514, MR  1265541
• Делинь, Пьер ; Милн, Джеймс (1982), «Таннакские категории», Циклы Ходжа, мотивы и разновидности Шимуры Пьера Делиня, Джеймса С. Милна, Артура Огуса, Куанг-йен Ши , Конспекты лекций по математике , том. 900, Springer-Verlag , стр. 1–414.. Аннотированную версию этой статьи можно найти на домашней странице Дж. Милна.
• Гриффитс, Филлип (1968), «Периоды интегралов на алгебраических многообразиях I (Построение и свойства модулярных многообразий)», American Journal of Mathematics , 90 (2): 568–626, doi :10.2307/2373545, JSTOR  2373545
• Гриффитс, Филлип (1968a), «Периоды интегралов на алгебраических многообразиях II (Локальное исследование отображения периодов)», American Journal of Mathematics , 90 (3): 808–865, doi :10.2307/2373485, JSTOR  2373485
• Гриффитс, Филлип (1970), «Периоды интегралов на алгебраических многообразиях III. Некоторые глобальные дифференциально-геометрические свойства отображения периодов», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 38 : 228–296, doi :10.1007/BF02684654, S2CID  11443767
• Капранов, Михаил (2012), «Вещественные смешанные структуры Ходжа», Журнал некоммутативной геометрии , 6 (2): 321–342, arXiv : 0802.0215 , doi : 10.4171/jncg/93, MR  2914868, S2CID  56416260
• Овсеевич, Александр И. (2001) [1994], "Структура Ходжа", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press
• Патрикис, Стефан (2016), «Группы Мамфорда-Тейта поляризуемых структур Ходжа», Труды Американского математического общества , 144 (9): 3717–3729, arXiv : 1302.1803 , doi : 10.1090/proc/13040, MR  3513533, S2CID  40142493
• Сайто, Морихико (1989), Введение в смешанные модули Ходжа. Actes du Colloque de Theorie de Hodge (Luminy, 1987). , Астериск № 179–180, стр. 145–162, MR  1042805.
• Шнелл, Кристиан (2014), Обзор теории смешанных модулей Ходжа Морихико Сайто (PDF) , arXiv : 1405.3096
• Стинбринк, Джозеф Х.М. (2001) [1994], «Вариация структуры Ходжа», Энциклопедия математики , EMS Press