Теорема Пуанкаре–Хопфа

Подсчитывает нули векторного поля на дифференцируемом многообразии, используя его эйлерову характеристику.

В математике теорема Пуанкаре –Хопфа (также известная как формула индекса Пуанкаре–Хопфа , теорема Пуанкаре–Хопфа об индексе или теорема Хопфа об индексе ) является важной теоремой, которая используется в дифференциальной топологии . Она названа в честь Анри Пуанкаре и Хайнца Хопфа .

Теорему Пуанкаре–Хопфа часто иллюстрируют на примере частного случая теоремы о волосатом шаре , которая просто утверждает, что на четномерной n-мерной сфере, не имеющей источников и стоков, не существует гладкого векторного поля .

Согласно теореме Пуанкаре-Хопфа, замкнутые траектории могут охватывать два центра и одно седло или один центр, но никогда только седло. (Здесь для случая гамильтоновой системы )

Официальное заявление

Пусть будет дифференцируемым многообразием размерности и векторным полем на . Предположим, что является изолированным нулем , и зафиксируем некоторые локальные координаты вблизи . Выберем замкнутый шар с центром в , так что это единственный нуль в . Тогда индекс в , , можно определить как степень отображения границы в -сферу , заданную . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {index} _{x}(v)}$ ${\displaystyle u:\partial D\to \mathbb {S} ^{n-1}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle u(z)=v(z)/\|v(z)\|}$

Теорема. Пусть будет компактным дифференцируемым многообразием . Пусть будет векторным полем на с изолированными нулями. Если имеет границу , то мы настаиваем, чтобы была направлена ​​во внешнем нормальном направлении вдоль границы. Тогда имеем формулу ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle \sum _{i}\operatorname {index} _{x_{i}}(v)=\chi (M)\,}$

где сумма индексов берется по всем изолированным нулям и является эйлеровой характеристикой . Особенно полезным следствием является случай, когда существует неисчезающее векторное поле, подразумевающее эйлерову характеристику 0. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \chi (M)}$ ${\displaystyle M}$

Теорема была доказана для двух измерений Анри Пуанкаре ^[1] и позднее обобщена на более высокие измерения Хайнцем Хопфом . ^[2]

Значение

Характеристика Эйлера замкнутой поверхности является чисто топологическим понятием, тогда как индекс векторного поля является чисто аналитическим . Таким образом, эта теорема устанавливает глубокую связь между двумя, казалось бы, не связанными областями математики. Возможно, не менее интересно, что доказательство этой теоремы в значительной степени опирается на интегрирование и, в частности, теорему Стокса , которая утверждает, что интеграл внешней производной дифференциальной формы равен интегралу этой формы по границе. В частном случае многообразия без границы это равносильно утверждению, что интеграл равен 0. Но, исследуя векторные поля в достаточно малой окрестности источника или стока, мы видим, что источники и стоки вносят целые суммы (известные как индекс) в общую сумму, и все они должны в сумме давать 0. Этот результат можно считать ^{[ кем? ]} одним из самых ранних из целой серии теорем (например , теорема об индексе Атьи–Зингера , теорема Де Рама , теорема Гротендика–Римана–Роха ), устанавливающих глубокие связи между геометрическими и аналитическими или физическими понятиями. Они играют важную роль в современных исследованиях обеих областей.

Эскиз доказательства

1. Вложим M в некоторое многомерное евклидово пространство. (Используем теорему вложения Уитни .)
2. Возьмем небольшую окрестность M в этом евклидовом пространстве, N _ε . Расширим векторное поле до этой окрестности так, чтобы оно по-прежнему имело те же нули, а нули имели те же индексы. Кроме того, убедитесь, что расширенное векторное поле на границе N _ε направлено наружу.
3. Сумма индексов нулей старого (и нового) векторного поля равна степени отображения Гаусса из границы N _ε в ( n –1)-мерную сферу. Таким образом, сумма индексов не зависит от самого векторного поля, а зависит только от многообразия M .
   Метод: отсечь все нули векторного поля с малыми окрестностями. Затем использовать тот факт, что степень отображения границы n-мерного многообразия на ( n –1)-мерную сферу, которая может быть продолжена на все n-мерное многообразие, равна нулю. ^{[ необходима цитата ]}
4. Наконец, определим эту сумму индексов как эйлерову характеристику M. Для этого построим очень специфическое векторное поле на M, используя триангуляцию M , для которой ясно, что сумма индексов равна эйлеровой характеристике.

Обобщение

Все еще возможно определить индекс для векторного поля с неизолированными нулями. Построение этого индекса и расширение теоремы Пуанкаре–Хопфа для векторных полей с неизолированными нулями изложено в разделе 1.1.2 (Brasselet, Seade & Suwa 2009).

Другое обобщение, использующее только компактное триангулируемое пространство и непрерывные отображения с конечным числом неподвижных точек, — теорема Лефшеца-Хопфа . Поскольку каждое векторное поле индуцирует поток на многообразии, а неподвижные точки малых потоков соответствуют нулям векторного поля (а индексы нулей равны индексам неподвижных точек), то теорема Пуанкаре-Хопфа немедленно следует из нее.

Смотрите также

• Формула подписи Эйзенбуда–Левина–Химшиашвили
• Теорема Хопфа

Ссылки

1. Анри Пуанкаре, О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями (1881–1882)
2. Х. Хопф, Векторфельдер в n-мерном Mannigfaltigkeiten, Math. Энн. 96 (1926), стр. 209–221.

• «Теорема Пуанкаре–Хопфа», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Брасселе, Жан-Поль; Сеад, Хосе; Сува, Тацуо (2009). Векторные поля на особых многообразиях . Гейдельберг: Спрингер. ISBN 978-3-642-05205-7.