Гипоэллиптический оператор

В теории уравнений в частных производных — оператор в частных производных , определенный на открытом подмножестве. ${\displaystyle P}$

${\displaystyle U\subset {\mathbb {R} }^{n}}$

называется гипоэллиптическим, если для каждого распределения , определенного на открытом подмножестве такого, что ( гладкое ) , должно также быть . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle V\subset U}$ ${\displaystyle Pu}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

Если это утверждение справедливо с заменой на вещественно-аналитическое , то говорят, что аналитически гипоэллиптическое . ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle P}$

Любой эллиптический оператор с коэффициентами гипоэллиптичен. В частности, лапласиан является примером гипоэллиптического оператора (лапласиан также аналитически гипоэллиптичен). Кроме того, оператор уравнения теплопроводности ( ) ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle P(u)=u_{t}-k\,\Delta u\,}$

${\displaystyle P=\partial _{t}-k\,\Delta _{x}\,}$

(где ) гипоэллиптичен, но не эллиптичен. Однако оператор волнового уравнения ( ) ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle P(u)=u_{tt}-c^{2}\,\Delta u\,}$

${\displaystyle P=\partial _{t}^{2}-c^{2}\,\Delta _{x}\,}$

(где ) не является гипоэллиптическим. ${\displaystyle c\neq 0}$

Рекомендации

• Симакура, Норио (1992). Операторы частных дифференциальных эллиптического типа: перевод Норио Симакуры . Американское математическое общество, Провиденс, ISBN Род-Айленда 0-8218-4556-Х.
• Егоров, Ю. В.; Шульце, Берт-Вольфганг (1997). Псевдодифференциальные операторы, особенности, приложения . Биркхойзер. ISBN 3-7643-5484-4.
• Владимиров В.С. (2002). Методы теории обобщенных функций . Тейлор и Фрэнсис. ISBN 0-415-27356-0.
• Фолланд, Великобритания (2009). Анализ Фурье и его приложения . АМС. ISBN 978-0-8218-4790-9.

В эту статью включены материалы Hypoelliptic на PlanetMath , которые доступны под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .