Подразумеваемая волатильность

Финансовая математическая мера

В финансовой математике подразумеваемая волатильность ( IV ) опционного контракта — это такое значение волатильности базового инструмента , которое при входе в модель ценообразования опциона (обычно Блэка-Шоулза ) возвращает теоретическое значение , равное цене опциона. опция. Неопционный финансовый инструмент со встроенной опциональностью, такой как ограничение процентной ставки , также может иметь подразумеваемую волатильность. Подразумеваемая волатильность, прогнозная и субъективная мера, отличается от исторической волатильности, поскольку последняя рассчитывается на основе известных прошлых доходностей ценных бумаг . Чтобы понять, где находится подразумеваемая волатильность с точки зрения базовой, используется рейтинг подразумеваемой волатильности, позволяющий понять ее подразумеваемую волатильность по годовому максимуму и минимуму IV.

Мотивация

Модель ценообразования опционов, такая как Блэк-Шоулз, использует различные исходные данные для получения теоретической стоимости опциона. Входные данные для моделей ценообразования различаются в зависимости от типа оцениваемого опциона и используемой модели ценообразования. Однако в целом стоимость опциона зависит от оценки будущей волатильности реализованной цены σ базового актива. Или математически:

${\displaystyle C=f(\sigma ,\cdot )\,}$

где C — теоретическая стоимость опциона, а f — модель ценообразования, которая зависит от σ наряду с другими входными данными.

Функция f монотонно возрастает по σ, а это означает, что более высокое значение волатильности приводит к более высокой теоретической стоимости опциона. И наоборот, по теореме об обратной функции может существовать не более одного значения σ, которое, будучи применено в качестве входных данных для , приведет к определенному значению для C . ${\displaystyle f(\sigma ,\cdot )\,}$

Другими словами, предположим, что существует некоторая обратная функция g = f ⁻¹ такая, что

${\displaystyle \sigma _{\bar {C}}=g({\bar {C}},\cdot )\,}$

где находится рыночная цена опциона. Стоимость – это волатильность, подразумеваемая рыночной ценой , или подразумеваемая волатильность . ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {C}}\,}$ ${\displaystyle \sigma _{\bar {C}}\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {C}}\,}$

В общем, невозможно дать формулу в закрытом виде для подразумеваемой волатильности, выраженной в цене опциона «колл» (обзор см. в ^[1] ). Однако в некоторых случаях (большой страйк, низкий страйк, короткий срок действия, большой срок действия) можно дать асимптотическое разложение подразумеваемой волатильности с точки зрения цены колл. ^[2] Также был исследован другой подход, основанный на аппроксимациях замкнутой формы. ^{[3] [4]}

Пример

Срок действия европейского опциона колл на одну акцию не выплачивающей дивиденды корпорации XYZ с ценой исполнения 50 долларов истекает через 32 дня. Безрисковая процентная ставка составляет 5%. Акции XYZ в настоящее время торгуются на уровне $51,25, а текущая рыночная цена составляет $2,00. Используя стандартную модель ценообразования Блэка-Шоулза, волатильность, подразумеваемая рыночной ценой, составляет 18,7%, или: ${\displaystyle C_{XYZ}}$ ${\displaystyle C_{XYZ}}$ ${\displaystyle C_{XYZ}}$

${\displaystyle \sigma _{\bar {C}}=g({\bar {C}},\cdot )=18.7\%}$

Для проверки мы применяем подразумеваемую волатильность к модели ценообразования f и получаем теоретическое значение в размере 2,0004 доллара США:

${\displaystyle C_{theo}=f(\sigma _{\bar {C}},\cdot )=\$2.0004}$

что подтверждает наши расчеты подразумеваемой волатильности рынка.

Решение функции обратной модели ценообразования

В общем, функция модели ценообразования f не имеет решения в замкнутой форме для своей обратной функции g . Вместо этого для решения уравнения часто используется метод поиска корня :

${\displaystyle f(\sigma _{\bar {C}},\cdot )-{\bar {C}}=0\,}$

Хотя существует множество методов поиска корней, два из наиболее часто используемых — это метод Ньютона и метод Брента . Поскольку цены опционов могут меняться очень быстро, часто важно использовать наиболее эффективный метод при расчете подразумеваемой волатильности.

Метод Ньютона обеспечивает быструю сходимость; однако для этого требуется первая частная производная теоретической стоимости опциона с учетом волатильности; т. е. , который также известен как вега (см. «Греки» ). Если функция модели ценообразования дает решение в замкнутой форме для vega , что имеет место для модели Блэка – Шоулза , то метод Ньютона может быть более эффективным. Однако для большинства практических моделей ценообразования, таких как биномиальная модель , это не так, и вега должна быть получена численно. Когда вам приходится решать вегу численно, можно использовать метод Кристофера и Салкина или, для более точного расчета подразумеваемой волатильности вне денег, можно использовать модель Коррадо-Миллера. ^[5] ${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial \sigma }}\,}$

В частности, в случае модели Блэка [-Шоулза-Мертона] метод Джекеля «Давайте будем рациональными» ^[6] вычисляет подразумеваемую волатильность с максимально достижимой машинной точностью (стандартная 64-битная с плавающей запятой) для всех возможных входных значений за доли микросекунды. время. Алгоритм включает в себя начальное предположение, основанное на согласованных асимптотических разложениях, плюс (всегда точно) два шага улучшения Хаусхолдера (порядка сходимости 4), что делает эту процедуру трехшаговой (т. е. неитеративной). Эталонная реализация ^[7] на C++ находится в свободном доступе. Помимо вышеупомянутых методов поиска корней , существуют также методы, которые напрямую аппроксимируют многомерную обратную функцию . Часто они основаны на полиномах или рациональных функциях . ^[8]

Для модели Башелье («нормальной», в отличие от «логарифмически нормальной») Джекель ^[9] опубликовал полностью аналитическую и сравнительно простую двухэтапную формулу, которая дает полностью достижимую (стандартная 64-битная с плавающей запятой) машинную точность для всех возможных входных значений. .

Параметризация подразумеваемой волатильности

С появлением больших данных и науки о данных параметризация подразумеваемой волатильности приобрела центральное значение для целей последовательной интерполяции и экстраполяции. Классическими моделями являются модели SABR и SVI с расширением IVP. ^[10]

Подразумеваемая волатильность как мера относительной стоимости

Как заявил Брайан Бирн, подразумеваемая волатильность опциона является более полезным показателем относительной стоимости опциона, чем его цена. Причина в том, что цена опциона самым непосредственным образом зависит от цены его базового актива. Если опцион удерживается как часть дельта-нейтрального портфеля (то есть портфеля, который застрахован от небольших изменений цены базового актива), то следующим наиболее важным фактором в определении стоимости опциона будет его подразумеваемая волатильность. Подразумеваемая волатильность настолько важна, что опционы часто котируются с точки зрения волатильности, а не цены, особенно среди профессиональных трейдеров.

Пример

Опцион колл торгуется по цене 1,50 доллара США, а базовая цена — 42,05 доллара США. Подразумеваемая волатильность опциона определена на уровне 18,0%. Некоторое время спустя опцион торгуется по цене 2,10 доллара США при базовой цене 43,34 доллара США, что дает подразумеваемую волатильность 17,2%. Несмотря на то, что цена опциона выше при втором измерении, он все равно считается более дешевым из-за волатильности. Причина в том, что базовый актив, необходимый для хеджирования опциона колл, может быть продан по более высокой цене.

В качестве цены

Другой способ взглянуть на подразумеваемую волатильность — это думать о ней как о цене, а не как о показателе будущих движений акций. С этой точки зрения, это просто более удобный способ сообщить о ценах опционов, чем валюта. Цены по своей природе отличаются от статистических величин: можно оценить волатильность будущих базовых доходов, используя любой из большого количества методов оценки; однако сумма, которую получает один, — это не цена. Цена требует наличия двух контрагентов: покупателя и продавца. Цены определяются спросом и предложением. Статистические оценки зависят от временного ряда и математической структуры используемой модели. Ошибочно путать цену, подразумевающую сделку, с результатом статистической оценки, которая является лишь результатом вычислений. Подразумеваемая волатильность — это цены: они были получены на основе реальных транзакций. В этом свете неудивительно, что подразумеваемая волатильность может не соответствовать тому, что предсказывает конкретная статистическая модель.

Однако приведенная выше точка зрения игнорирует тот факт, что значения подразумеваемой волатильности зависят от модели, используемой для их расчета: разные модели, применяемые к одним и тем же рыночным ценам опционов, будут давать разные подразумеваемые волатильности. Таким образом, если принять этот взгляд на подразумеваемую волатильность как на цену, то нужно также признать, что не существует уникальной цены подразумеваемой волатильности и что покупатель и продавец в одной и той же сделке могут торговать по разным «ценам».

Непостоянная подразумеваемая волатильность

В целом, опционы, основанные на одном и том же базовом активе, но с разными значениями страйк и временем истечения, будут давать разную подразумеваемую волатильность. Это можно рассматривать как свидетельство того, что волатильность базового актива не является постоянной, а вместо этого зависит от таких факторов, как уровень цен или время, или это можно рассматривать как свидетельство того, что изменения цены базового актива не соответствуют распределению, которое предполагается в рассматриваемой модели. (например, Блэк-Шоулз). Существует несколько известных параметризаций поверхности волатильности (Шенбушера, SVI и gSVI), а также их методологий деарбитража. ^[11] Для получения дополнительной информации см. стохастическую волатильность и волатильную улыбку .

Инструменты волатильности

Инструменты волатильности — это финансовые инструменты, которые отслеживают стоимость подразумеваемой волатильности других производных ценных бумаг. Например, индекс волатильности CBOE ( VIX ) рассчитывается на основе средневзвешенной подразумеваемой волатильности различных опционов на индекс S&P 500 . Существуют также другие часто упоминаемые индексы волатильности, такие как индекс VXN ( показатель волатильности фьючерсов на индекс Nasdaq 100), QQV (показатель волатильности QQQ), IVX - индекс подразумеваемой волатильности (ожидаемая волатильность акций в будущем периоде для любой ценной бумаги США и биржевые инструменты), а также опционы и производные фьючерсы, основанные непосредственно на самих этих индексах волатильности.

Смотрите также

• Форвардная волатильность
• Опцион на реализованную дисперсию
• Риск волатильности

Рекомендации

1. Орландо, Джузеппе; Тальялатела, Джованни (15 августа 2017 г.). «Обзор расчета подразумеваемой волатильности». Журнал вычислительной и прикладной математики . 320 : 202–220. дои : 10.1016/j.cam.2017.02.002 . ISSN  0377-0427.
2. Асимптотические разложения логнормальной подразумеваемой волатильности, Grunspan, C. (2011)
3. Мининни, Микеле; Орландо, Джузеппе; Тальялатела, Джованни (01.06.2021). «Проблемы аппроксимации формулы вызова Блэка и Шоулза с гиперболическими касательными». Решения в экономике и финансах . 44 (1): 73–100. arXiv : 1810.04623 . дои : 10.1007/s10203-020-00305-8. ISSN  1129-6569. S2CID  224879802.
4. Мининни, Микеле; Орландо, Джузеппе; Тальялатела, Джованни (2022), Обобщенный вывод подразумеваемой волатильности Блэка-Шоулза через гиперболические тангенсы, Argumenta O Economica, 2022, Nr 2 (49) , получено 11 декабря 2022 г.
5. Акке, Рональд. «Численные методы подразумеваемой волатильности». РонАкке.com . Проверено 9 июня 2014 г.
6. Джекель, П. (январь 2015 г.), «Давайте будем рациональными», Wilmott Magazine , 2015 (75): 40–53, doi : 10.1002/wilm.10395
7. Джекель, П. (2013). «Эталонная реализация программы «Давайте будем рациональными»». www.jaeckel.org .
8. Салазар Селис, О. (2018). «Параметризованное барицентрическое приближение для обратных задач с применением формулы Блэка – Шоулза». Журнал IMA численного анализа . 38 (2): 976–997. doi : 10.1093/imanum/drx020. hdl : 10067/1504500151162165141 .
9. Джекель, П. (март 2017 г.). «Подразумеваемая нормальная волатильность». Журнал Уилмотт : 52–54. Примечание. Версия для печати содержит ошибки набора формул, которые были верны на сайте www.jaeckel.org.
10. Махдави-Дамгани, Бабак (25 июня 2015 г.). «Введение в параметризацию поверхности подразумеваемой волатильности (IVP)». ССНН  2686138.
11. Махдави Дамгани, Бабак (2013). «Деарбитраж со слабой улыбкой: применение для снижения риска». Уилмотт . 2013 (1): 40–49. дои : 10.1002/wilm.10201. S2CID  154646708.

дальнейшее чтение

• Беккерс, С. (1981), «Стандартные отклонения, подразумеваемые в ценах опционов, как предсказатели будущей изменчивости цен на акции», Journal of Banking and Finance , 5 (3): 363–381, doi : 10.1016/0378-4266(81)90032 -7 , получено 7 июля 2009 г.
• Мэйхью, С. (1995), «Подразумеваемая волатильность», Financial Analysts Journal , 51 (4): 8–20, doi : 10.2469/faj.v51.n4.1916
• Коррадо, CJ; Су, Т. (1997), «Асимметрия подразумеваемой волатильности, асимметрия фондового индекса и эксцесс, подразумеваемые S» (PDF) , The Journal of Derivatives (ЛЕТО 1997 г.), doi : 10.3905/jod.1997.407978, S2CID  154383156 , получено в 2009-07 гг. -07
• Гранспан, К. (2011), «Заметки об эквивалентности нормальной и логнормальной подразумеваемой волатильности: подход, основанный на модели», SSRN  1894652
• Грунспен, К. (2011), «Асимптотические разложения для подразумеваемой логнормальной волатильности в модельно-свободном подходе», SSRN  1965977
• Триппи, Роберт (1978). «Ожидания волатильности акций, подразумеваемые опционной премией». Журнал финансов . 33 : 1–15 – через JSTOR.

Внешние ссылки

• Расчет подразумеваемой волатильности от Serdar SEN
• Визуальный калькулятор подразумеваемой волатильности
• Рассчитать бета в Excel